福建省高考模擬試卷數(shù)學(xué)試題(理科)(已整理)

1、2010年福建省高考模擬試卷數(shù)學(xué)試題（一）（理科）、選擇題：本大題有 10小題，每小題5分，共50分.每小題都有四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的1 .設(shè)a R,若（a i）2i （ i為虛數(shù)單位）為正實(shí)數(shù)，則a （）A. 2B. 12 .已知E, F, G, H是空間四點(diǎn)，命題甲:EF和GH不相交，則甲是乙成立的（）A.充分不必要條件C.充要條件3 .曲線 y sin x , y cosx 與直線 x 0 , x2A .0 （sin x cosx）dxC. 0D.1E , F , G , H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線B .必要不充分條件D.既不充分也不必要條件一所圍成的平面區(qū)域的面積為（

2、）2B. 2 04 （sin x cosx）dx2 ,C. 0 (cosx sin x)dxD . 2 04 (cosx sin x)dx4.下列向量中與向量 aA. （-4,5.函數(shù)f （x）A .奇函數(shù) C.偶函數(shù)6) xlg(1(2, 3)平行的是B. (4, 6)*2)是()C. (-3,2)D. (3, 2)B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)6 .設(shè)函數(shù) y f (x)在區(qū)間(0,)內(nèi)是減函數(shù)，則 a f (sin -) , b f (sin-) , c f(sin-) 643的大小關(guān)系是()A. c b a B. bca C. bac D. abc7 .設(shè)Sn為等

3、差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，且a3 a7 10 ,則S9()A. 45B. 50C. 55D. 900.0350.0300.0250.0200.0150.010頻率8 .統(tǒng)計某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)水平測試成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，若滿分為100分，規(guī)定不低于60分為及格,A. 20%B. 25%則及格率是（C. 6%)D. 80%9.將函數(shù)A. ysin x的圖像按向量sin（x 1）aB.（1,1）平移得到的圖像對應(yīng)的一個函數(shù)解析式是（y 1 sin(x1)C. ysin(x 1)D.y 1 sin(x1)10.設(shè) a1a2,，an是2,，n的一個排列,把排在ai的左邊且比ai小的

4、數(shù)的個數(shù)稱為ai的順序數(shù)（i 1, 2 L為0.則在的順序數(shù)為A . 48二、填空題1至8這八個數(shù)字構(gòu)成的全排列中,3的不同排列的種數(shù)為（B. 96（本大題有 4小題，每小題5分,11 .命題“ x R, sinx 1”的否定是4, 5,同時滿足3, 2, 1中，5的順序數(shù)為1, 3的順序數(shù)8的順序數(shù)為2, 7的順序數(shù)為3, 5C. 144共20分)D. 19212.已知某算法的流程圖如圖所示，若將輸出的數(shù)組（x, y）依 次記為（xy1），（x2, y2）, L ,則程序運(yùn)行結(jié)束時輸出的最后一個數(shù)組為13.曲線y14.若實(shí)數(shù)開始2x lnx在點(diǎn)（1,2）處的切線方程是2xx, y滿足不等式組

5、x3x0,3 0,則3xy的最小值是”8 0,15 .定義：我們把階乘的定義引申，定義 n! n(n 2)(n 4),若n為偶數(shù)，則乘至 2,反之，則乘至1,而0! = 0。我們稱之為雙階乘(Double Factorial) n對夫婦任意地排成一列，則每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是 。(結(jié)果用含雙階乘的形式表示)三、解答題(本大題有 6小題，共74分)16 .(本題滿分13分)某投資公司在 2010年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn) 有兩個項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車。據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30% ,也可能虧損15% ,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為7和

6、2 ;99項(xiàng)目二：通信設(shè)備。據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50% ,可能虧損30%,也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為3、1和1。5315針對以上兩個投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個合理的項(xiàng)目，并說明理由。17 .(本題滿分13分)如圖5,已知直角梯形 ACDE所在的平面垂直于平面 ABC,BAC ACD 90 , EAC 60 , AB AC AE。(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn) P,使得DP 平面EAB ?請證明你的結(jié)論；(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值。18 .(本題滿分13分)一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m

7、的四分之一圓弧，AB , DC分別與圓弧BC相切于B , C兩點(diǎn)，EF / AB , GH / CD , 且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m。(1)若水平放置的木棒 MN的兩個端點(diǎn) M , N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P。設(shè) CMN (rad)，試用 表示木棒MN的長度f()；(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值。2219 .(本題滿分13分)已知橢圓C:x2 / 1(a b 0)的某個焦點(diǎn)為F ,雙曲線 a b22G:( yr 1 (a,b 0)的某個焦點(diǎn)為F . a b2(1)請在上補(bǔ)充條件，使得橢圓的方程為 y2 1 ;3友情提示：不可

8、以補(bǔ)充形如a J3,b 1之類的條件。(2)命題一："已知拋物線y2 2Px(p 0)的焦點(diǎn)為F,定點(diǎn)P(m,n)滿足n2 2Pm 0 ,以 PF為直徑的圓交y軸于A、B,則直線PA、PB與拋物線相切”。命題中涉及了這么幾個要素： 對于任意拋物線y2 2px( p 0),定點(diǎn)P,以PF為直徑的圓交y軸于A、B, PA、PB與拋物 線相切。試類比上述命題分別寫出一個關(guān)于橢圓C和雙曲線G的類似正確的命題；(3)證明命題一的正確性.20 .(本題滿分14分)已知函數(shù) f(x) ax x2 xIn a(a 0, a 1).(i)當(dāng)a 1時，求證：函數(shù)f (x)在(0,)上單調(diào)遞增；(n)若函

9、數(shù)y | f(x) t| 1有三個零點(diǎn)，求t的值；(出)若存在xi,X2 1,1,使得| f (xi) f (x2)| e 1,試求a的取值范圍.21 .本題有(1)、(2)、(3)三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多作，則按所 做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將選題號填入括號中。(1)(本小題滿分7分)選彳4 2:矩陣與變換，-2 1，求矩陣A的特征值及對應(yīng)的特征向量。3 0(2)(本小題滿分7分)選彳4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程2 2sin(已知直線l的參數(shù)方程：x t (t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程:y 1 2t(i)將直線l

10、的參數(shù)方程化為普通方程，圓 C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(n)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.(3)(本小題滿分7分)選彳4 5:不等式選講已知函數(shù)f (x) = x- 1 + x- 2。若不等式 a+b + a- b>a f(x) ( (a刮0,a,b R)恒成立，求 實(shí)數(shù)x的范圍。2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)理科試題試題參考解答及評分標(biāo) 準(zhǔn)一、選擇題：本題主要考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算.1 . B2, A 3. D 4. A 5. D 6. D7. A8. D 9. D 10. C二、本大題共4個小題；每小題5分，共20分.本題主要考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算.11. x

11、R,sinx1 12. (27, 6) 13. y x 1 014. 715.n!(2n 1)!(2n)!【15題解析】(理解一)排列的總數(shù)是(2n)!.為了計算有利場合的個數(shù)，可以這樣考慮.首先把n個丈夫進(jìn)行排列，共有 n!種可能.然后讓排在第一的那位丈夫的妻子插人隊(duì)伍，她顯然只有1種可能的位置，即排在最前面，接著讓排在第二位的丈夫的妻子進(jìn)人隊(duì)伍.現(xiàn)在她的丈夫之前已有兩人，因此她有 3種位置可選擇.排在第三位的丈夫的妻子進(jìn)人隊(duì)伍有5種位置可選擇，依次n!(2n 1)!(2n)!最后一位丈夫的妻子有(2n 1)個位置可選擇.因此有利場合總數(shù)是n!1 3 (2n 1) n!(2n 1)!,所以要

12、求的概率是(理解二)對于每個家庭來說，丈夫排在妻子后面的概率都是-,有n對夫妻，因此概率應(yīng)該為211,下面只要想辦法將,化簡為含有雙階乘形式就可以了2n2nn!(2n 1)!1 3(2n 1) n! 1 o(2n)! 2n (2n 1)2 1 2n三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16.解：若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利 1萬元，則1的分布列為1300150P792972八E 1 300 - ( 150) 200 (萬元) 4分99若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利 2萬元，則2的分布列為：25003000P3513115311E 2 500 - ( 300) -

13、 0 200 (萬元) 8分53152 722又 D1 (300 200) ( 150 200) 35000, 10分99232121D 2 (500 200)2-( 300 200)2(0 200)2 一140000 12分5315所以 E 1 E 2, D 1 D 2,這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資. 13分17.解：(1)線段BC的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P.1分證明如下：1 .一取AB的中點(diǎn)F連結(jié)DP、PF、EF,則FPAC, FP 2 AC ,2分2取AC的中點(diǎn)M ,連結(jié)EM、EC ,AE AC 且 EAC 60 , EAC是正三

14、角形， EM AC .，四邊形EMCD為矩形，1 _一. ED MC AC .又. ED AC , 3分2，EDFP 且 ED FP ,四邊形EFPD是平行四邊形. 4分DP/EF，而 EF 平面 EAB, DP 平面 EAB ,DP 平面 EAB. 6 分（2）（解法1）過B作AC的平行線l ,過C作l的垂線交l于G ,連結(jié)DG , EDAC,ED/1 , l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱.8分.平面 EAC 平面 ABC, DC AC , DC 平面 ABC ,又l 平面ABC , l 平面DGC ,l DG ,DGC是所求二面角的平面角. 11分設(shè) AB AC AE 2a ,則

15、CD 73a , GC 2a ,GD、GC2 CD2"a,GC 2.7cos cos DGC . 13 分GD 7（解法 2）BAC 90 ,平面 EACD 平面 ABC ,.以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線 AB為x軸，直線 AC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz ,則z軸在平面EACD內(nèi)(如圖).設(shè)ABAC AE 2a ,由已知，得 B(2a,0,0), E(0,a , V3a), D(0,2a,/'3a). EB(2a , a ,3a)ED (0 ,a , 0)，設(shè)平面EBD的法向量為n(x, y , z),EB 且 n EDEBED0, 0 .2ax ay 3az ay 0.0

16、,3 解之得x Yz, y 0.取z 2,得平面EBD的一個法向量為n (.3,0,2).11分又.平面 ABC的一個法向量為n (0,0,1).<3 00021coscos n , n(3)2 02 2202 02 1213分說明：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，二面角的概念、求法等知識, 以及空間想象能力和邏輯推理能力.18. (1)如圖，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為 Q,過Q點(diǎn)作CD垂線，垂足為點(diǎn)T,且交MN或 其延長線與于 S,并連接PQ ,再過N點(diǎn)作TQ的垂線，垂足為 W .在 Rt NWS 中，因?yàn)?NW 2, SNW , ,2所以NS cos因?yàn)镸N與圓弧F

17、G切于點(diǎn)P ,所以PQMN在 Rt QPS,因?yàn)?PQ 1, PQS11所以QS ，QT QS 2在 Rt STM 中，MSTSsinQT QS sin因此 MN NS MS NS若S在線段GT的延長線上,QT QSsin 則 TS QS QT._TS在 Rt STM 中，MS -TS sinQS QT因此 MN NS MS NSsinQS QTf( ) MNQT QSNS -sin2NS(2)因此因?yàn)?(sin設(shè)sinf()g (t)sin cos ) 1sin coscost(1cos(sinQT QSsin1-)sin cos4tgQ24(t2 t 1)因此函數(shù)g(t)22(t 1)4t

18、 2 六 .:在tt2 1(072),貝U sin cost2 12 ，1 t J2,所以g(t) 0恒成立,(1,72是減函數(shù)，所以g(t)min g(揚(yáng)4722,即 MNmin 472 2.答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為472 2 .19.解:(1)補(bǔ)充一：橢圓的離心率為口 W6,且橢圓的長軸長為 2M3 e3、.、, 一 6補(bǔ)充二：橢圓過(J3,o)和(1,)3補(bǔ)充三：橢圓上任一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為2於,且橢圓的一條準(zhǔn)線長為3、. 2類似地還可以有很多補(bǔ)充，這里不再贅述，評卷員視實(shí)際情況給分，本題滿分(2分)2222(2)命題一：已知橢圓C：x2 22

19、 i(a b 0)的某個焦點(diǎn)為F,定點(diǎn)P(m,n)滿足m2 12 1, a ba b222以PF為直徑的圓與圓 x y a交于A、B兩點(diǎn)，則PA、PB與橢圓相切。 5分 2222命題二：已知雙曲線g：、。1 (a,b 0)的某個焦點(diǎn)為F ,定點(diǎn)P(m, n)滿足2 與1, a ba b以PF為直徑的圓與圓 x2 y2 a2交于A、B兩點(diǎn)，則PA、PB與雙曲線相切。9分(3)證明：以PF為直徑的圓的方程為(x m)(x ) y( y n) 0 ,設(shè)A (0, y1), B(0, y2),則 2,、 1一、一i.nyp _2_y1(y1 n) 一 pm 0,直線 pa 的萬程為 y y1 -x x

20、 ,即 px 2yy 2y1 02m2y12 px 2 Vi y 2 Vi 0, ,_,22聯(lián)立 2,消去x得到y(tǒng)4yy 4y1 0 ,所以 0,所以直線PA與拋y 2px物線相切。13分同理可證PB與拋物線相切。xx20.解：(I) f (x) a In a 2x In a 2x (a 1)ln a由于 a 1,故當(dāng) x (0,)時，Ina 0,ax 1 0 ,所以 f (x) 0,故函數(shù)f (x)在(0,)上單調(diào)遞增 4分(n)當(dāng)a 0,a 1時，因?yàn)閒 (0) 0,且f(x)在R上單調(diào)遞增，故f (x) 0有唯一解x 06分所以x, f (x), f(x)的變化情況如下表所示：x(,0)

21、0(0,)f (x)一0十f (x)遞減極小值遞增又函數(shù)y | f (x) t| 1有三個零點(diǎn)，所以方程 f(x) t 1有三個本而t 1 t 1,所以 t 1 ( f (x) min f(0) 1 ,解得 t 2 8 分(出)因?yàn)榇嬖?x，x2 1,1,使得 | f(x1) f(x2)| e 1 ,所以當(dāng) x 1,1時，|(f(x)max (f(x)m" (f(x)maX ( f 詔 e 1由(n)知，f (x)在1,0上遞減，在0,1上遞增，max f ( 1), f (1)所以當(dāng) x 1,1時，(f(x)minf(0) 1,(f(x)max11一而 f(1) f( 1) (a 1 In a) ( 1 In a) a - 2ln a, aa、