[小學(xué)一年級(jí)]一年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題

1、同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對(duì)的數(shù)相加之和都等于10 :91+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結(jié)果，可以使計(jì)算又快又準(zhǔn)。例1計(jì)算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對(duì)于這道題，當(dāng)然可以從左往右逐步相加：1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果， 但缺點(diǎn)是麻煩、容易由錯(cuò)；而且一步由錯(cuò)，以后步步都錯(cuò)。 若是利用湊十法，就能克服這種缺點(diǎn)。二、湊整法同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如:1+19=20 11+9=303+

2、17=20 13+37=504+16=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如：15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100 等等巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100 等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。例2計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：這是求1到19共10個(gè)單

3、數(shù)之和，用湊整法做：100例3計(jì)算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個(gè)雙數(shù)之和，用湊整法做：110例4計(jì)算2+13+25+44+18+37+56+75解：用湊整法：三、用已知求未知利用已經(jīng)獲得較簡(jiǎn)單的知識(shí)來解決面臨的更復(fù)雜的難 題這是人們認(rèn)識(shí)事物的一般過程，湊十法、湊整法的實(shí)質(zhì)就 是這個(gè)道理，可見把這種認(rèn)識(shí)規(guī)律用于計(jì)算方面，可使計(jì)算 更快更準(zhǔn)。下面再舉兩個(gè)例子。例5計(jì)算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3,已經(jīng)知道從1開始的前10個(gè)單數(shù)之和 以及從2開始的前10個(gè)雙數(shù)之和，巧

4、用這些結(jié)果計(jì)算這道 題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)=100+110(這步利用了例 2和例3的結(jié)果)=210例 6 計(jì)算 5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個(gè)自然數(shù)之和等于 55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) - (1+2+3+4(熟練后，此步驟可省略)=55-10=45四、改變運(yùn)算順序在只有加減運(yùn)算的算式中，有時(shí)改變加、減的運(yùn)算順序 可使計(jì)算顯得十

5、分巧妙！例7計(jì)算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進(jìn)行加減運(yùn)算，是能夠得由正確結(jié)果的。但因?yàn)樗闶捷^長(zhǎng)，多次加減又繁又慢且容易由錯(cuò)o 如果改變一下運(yùn)算順序，先減后加，就使運(yùn)算顯得非?！捌?亮”。下式括號(hào)中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9 ) + (8-7 ) + (6-5 ) + (4-3 ) + (2-1 ) =1+1+1+1+1=5號(hào)搬家 例8計(jì)算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運(yùn)算，而且 1-2不夠減。我們可以采用帶 著加減號(hào)搬家的方法解決。要注意每個(gè)數(shù)自己的符號(hào)就是這 個(gè)數(shù)前面的那個(gè)“ +”

6、號(hào)或“-”號(hào)，搬家時(shí)要帶著符號(hào)一起 搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+ (3-2 ) + (5-4 ) + (7-6 ) + (9-8 ) + (11-10 ) 先減后加=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運(yùn)算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5 ” 搬到了 “ -4”的前面，把“ +11 ”搬到了 “ -10 ”的前 面，這就叫帶著符號(hào)搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計(jì)算 簡(jiǎn)便。習(xí)題一1 .計(jì)算：13+14+15+16+17+252 .計(jì)算：2+3+4+5+15+16+17+18+203 .計(jì)算：21+22+23+2

7、4+25+26+27+28+294 計(jì)算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+205 .計(jì)算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06 .計(jì)算：10-20+30-40+50-60+70-80+907 .計(jì)算：(2+4+6+8+10) - (1+3+5+7+9)8 .計(jì)算：(2+4+6+-+20 ) - (1+3+5+-+19 )9 .計(jì)算：(2+4+6+- +100 ) - (1+3+5+-+99 )第二講速算與巧算(二)例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿 1塊，妹妹拿2塊；哥 哥拿3塊,妹妹拿4塊；接著哥哥拿 5塊、7塊、9塊、11

8、塊、13塊、15塊，妹妹拿 6塊、8塊、10塊、12塊、14 塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？解：方法1 :先算哥哥共拿了多少塊？再算妹妹共拿了多少塊？72-64=8(塊)方法2:這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算 共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8 （塊）可以看由方法2要比方法1巧妙!平時(shí)注意積累，記住一些有趣的和重要的運(yùn)算結(jié)果，非 常有助于速算。比如，請(qǐng)同學(xué)記住幾個(gè)自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3

9、+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2星期天，小明家來了 9名小客人。小明拿由一包 糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個(gè)人，每人都要 分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會(huì)分？ ”結(jié)果 大家都無法分，你能幫他們分好嗎？解：按小明提的要求確實(shí)無法分。因?yàn)橐沟妹總€(gè)人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）而小明這包糖一

10、共才 54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1 塊糖，比如說，應(yīng)該得 10 塊糖的小朋友只分到了 9 塊，但是這樣一來，他就和另一個(gè)先分得 9 塊糖的那個(gè)小朋友一樣多了， 這又不符合小明提出 “每 人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。（注意： “按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學(xué)上“無解”也叫問題的答案。 ）例 3 時(shí)鐘 1 點(diǎn)鐘敲 1 下， 2 點(diǎn)鐘敲 2 下， 3 點(diǎn)鐘敲 3 下，照這樣敲下去，從 1點(diǎn)到12點(diǎn)，這12個(gè)小時(shí)時(shí) 鐘共敲了幾下？解：這是一道美國(guó)小學(xué)奧林匹克試題，要求在 3 分鐘內(nèi)就要得出答案。方法 1 ：湊十法方法 2 ：如果能記住從1 到 10 前十

11、個(gè)自然數(shù)之和是55 ，計(jì)算會(huì)更快。（ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10） +11+12=55+11+12=78 （下）習(xí)題二1 三個(gè)小朋友分5 塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？2 把16 只小雞分別裝進(jìn)5 個(gè)籠子里，每個(gè)籠子里都要有雞，而且每個(gè)籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？按同樣要求， 把 15 只小雞裝進(jìn)5 個(gè)籠子能辦得到嗎？按同樣要求，把14只小雞分裝到5個(gè)籠子能辦得到嗎？3 把100 塊糖分給 10 個(gè)小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？把 99 塊糖按同樣要求分給10 個(gè)小朋友， 你能分嗎？4 從 1 到

12、20 這 20 個(gè)數(shù)中， 所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？5 小方家的鐘除了幾點(diǎn)鐘敲幾下外，每半點(diǎn)鐘也敲一下。比如說， 0 點(diǎn)半敲 1 下， 1 點(diǎn)鐘敲 1 下， 1 點(diǎn)半敲 1 下，2點(diǎn)敲2下，2點(diǎn)半敲1下，照這樣敲下去，從夜里 0點(diǎn)開始，計(jì)到白天中午12 點(diǎn)鐘，在這12 個(gè)小時(shí)之內(nèi)時(shí)鐘共敲了多少下？習(xí)題二解答1 答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第 1 個(gè)人分 1 塊，第 2個(gè)人分 2 塊，第 3 個(gè)人分 3 塊，這樣三個(gè)人共需要有1+2+3=6 （塊） ，但總的糖塊數(shù)只有5 塊，不夠分。如果第3 個(gè)人也分得 2 塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2 個(gè)人分得糖塊數(shù)一樣多了

13、，又不符合分糖的要求了。2 5 只籠子裝 16 只小雞的裝法是1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 。1+2+3+4+6=16 （只）1+1+1+2+1+3+1+4十1+2+3+4+5=15（只）5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠 雞數(shù)不等，無法分裝。3 .記住 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個(gè)人的分法是：各人所得 糖塊數(shù)分別為 1, 3 ,5 , 7, 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19。99塊糖按要求分給10個(gè)小朋友無法分。4 .解：方法1 :單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1

14、00雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2 :改變運(yùn)算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105 .解：先記錄時(shí)鐘敲的整點(diǎn)數(shù)和半點(diǎn)數(shù)如下:列算式求和，并改變運(yùn)算順序：1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+

15、11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90 (下)11第四講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)時(shí)， 注意不應(yīng)漏掉， 不應(yīng)重復(fù)。 如果漏掉了，要加上；如果重復(fù)了，要減掉。例 1 小朋友排隊(duì)，小紅前面4 個(gè)人，后面3 個(gè)人，問這隊(duì)共有幾個(gè)人？解： 這隊(duì)的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅， 所以是 4+3+1=8 （人）例 2 排好隊(duì)， 來報(bào)數(shù)， 正著報(bào)數(shù)我報(bào)七， 倒著報(bào)數(shù)我報(bào)九，一共多少小朋友？解：見下圖正著報(bào)數(shù)“我”報(bào)了一次， 倒著報(bào)數(shù) “我”又報(bào)了一次，所以把兩次報(bào)數(shù)加起來時(shí)， “我”被加了兩次。因此算這隊(duì)的總?cè)藬?shù)時(shí)，應(yīng)從兩次報(bào)數(shù)之和減 1 。7+9-1=15 （人） 。也可

16、以這樣想：正著報(bào)數(shù)報(bào)到我為止，倒著報(bào)數(shù)時(shí)，我就不報(bào)了，只報(bào)到我的后面相鄰的那個(gè)人他應(yīng)該報(bào)8 ，所以全隊(duì)總?cè)藬?shù)是：7+ （ 9-1 ） =15 （人） 。例 3 少先隊(duì)員排成隊(duì)去參觀科技館。 從排頭數(shù)起劉平是第 20 個(gè)；從排尾數(shù)起，張英是第 23 個(gè)。已知?jiǎng)⑵降那耙粋€(gè)是張英。問這隊(duì)少先隊(duì)員共有多少人？解：畫示意圖，用點(diǎn)代表少先隊(duì)員。由圖可見，從排頭數(shù)起時(shí)，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時(shí)，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點(diǎn)總?cè)藬?shù)時(shí)，應(yīng)減去多數(shù)的那一次才對(duì)。20+23-2=41 （人） 。例 4 45 個(gè)小朋友排成一隊(duì)去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第 19 個(gè)；從排尾往前數(shù)，

17、小莉是第 12 個(gè)，問小剛和小莉中間有幾個(gè)人？解：畫示意圖。用點(diǎn)“ ”代表人由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45- （ 19+12 ） =14 （人） 。例 5 一班同學(xué)做花，做紅花的有 38 人，做黃花的有39 人， 沒有做花的有3 人。 如果全班 55 人， 那么既做紅花又做黃花的有多少人？解：畫圖如下：由圖可見，做花的人： 55-3=52 （人） 。圖中陰影部分表示兩色花都做的人：38+39-52=25 （人） 。習(xí)題四1 學(xué)生排成一隊(duì)， 在小進(jìn)的前面有6 人， 后面有 8 人，問這隊(duì)共有多少人？2 12 輛汽車組成一列車隊(duì)向前行進(jìn)。從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第 7 輛。問從后面數(shù)它是

18、第幾輛？3 游泳池里男生都戴藍(lán)帽，女生都戴紅帽。池中一個(gè)男生小強(qiáng)邊看邊數(shù)，他看見藍(lán)帽 4 個(gè)，紅帽 5 個(gè)。問池中男女生共多少人？4 說稀奇、道稀奇，鴨子隊(duì)里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請(qǐng)你幫助算一算，小鴨一共有幾只？5 一個(gè)小組的小學(xué)生共有 5 人，已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學(xué)作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有 3 人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 4 人。問語文和數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有幾人？6 在 100 名學(xué)生中統(tǒng)計(jì)，有65 人會(huì)騎自行車，有 73人會(huì)游泳，有 10 人既不會(huì)騎自行車又不會(huì)游泳。問既會(huì)騎自行車又會(huì)游泳的人有多少？7 某班有學(xué)生45 人， 訂閱 中國(guó)少年報(bào) 的有 29 人，訂閱小朋友的有2

19、8 人，其中兩種都訂閱的有16 人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？習(xí)題四解答1 解由圖可知：總?cè)藬?shù)是6+8+1=15 人。2 .解：方法1 :數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用代表紅 色小轎車，用。代表其他車。從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第 6 輛。方法 2 ：算一算；這隊(duì)車共有12 輛，從前面往后數(shù)，14紅色小轎車是第 7 輛， 所以紅色小轎車前面有7-1=6 輛車， 因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車是第 12-6=6 輛。3 解：畫示意圖如下：因?yàn)槟猩?qiáng)邊看邊數(shù)時(shí)，沒有看見自己的藍(lán)帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總?cè)藬?shù)時(shí)，要把他加上，即4+5+1=10 （人） 。4 .解：畫示意圖，用。代表小鴨，用代

20、表小雞。由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和 6+7=13 中，把小雞計(jì)算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時(shí)就要減去兩個(gè)小雞。6+7-2=11 （只） 。5 解：畫示意圖如下：兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的 3 人中，又算在了做完數(shù)學(xué)作業(yè)的 4 人中， 因此這部分人被多算了一次， （如圖中陰影部分所示）所以兩種作業(yè)都做完的人數(shù)是：3+4-5=2 （人） 。6 解：畫圖如下：由圖可知：會(huì)騎車或是會(huì)游泳的總?cè)藬?shù)是100-10=90 （人） 。兩種都會(huì)的人數(shù)是 65+73-90=48 （人） 。（圖中陰影部分所示）因?yàn)橹辽儆? 份刊物的人：28+29-16=41 （人） 。兩種

21、刊物都沒有訂的人：45-41=4 （人） 。第五講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（三）例1小朋友，張開手， 五個(gè)手指人人有。手指之間幾個(gè)“空” ，請(qǐng)你仔細(xì)瞅一瞅？（注） “瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解： 見右圖看一看、 數(shù)一數(shù)可知： 5 個(gè)手指間有4 個(gè)“空” ?！翱铡庇纸小伴g隔” ，也就是，人的一只手有5 個(gè)手指 4 個(gè)間隔。例 2 小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔 1 米種一棵，共種了 11 棵，問這段馬路有多長(zhǎng)？解：畫示意圖如下：由圖可見，這段馬路的 11 棵樹之間有 10 個(gè)“空” ，也就是 10 個(gè)間隔。每個(gè)間隔長(zhǎng)1 米， 10 個(gè)間隔長(zhǎng) 10 米。也就是說這段馬路長(zhǎng)10 米。 像這類問題一般叫做

22、 “植樹問題” ?？梢缘贸鲆粋€(gè)公式：當(dāng)兩頭都種樹時(shí)：例 3 把一根粗細(xì)一樣的木頭鋸成5 段，需要 4 分鐘。如果把這根木頭鋸成10 段，需要幾分鐘？如果把這根木頭鋸成100 段，需要幾分鐘？解：畫出示意圖：由圖可見，把木頭鋸成5 段，只需鋸4 次。所以鋸一次需 1 分鐘。同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需 9 分鐘。同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需 99 分鐘。例 4 鼓樓的鐘打點(diǎn)報(bào)時(shí)， 5 點(diǎn)鐘打 5 下需要 4 秒鐘。問中午 12 點(diǎn)時(shí)打 12 下需要幾秒鐘？解：畫示意圖。鐘打一下用一個(gè)點(diǎn)代表，打 5 下畫 5 個(gè) 點(diǎn)。由圖可見，鐘打 5 下中間有 4 個(gè)

23、時(shí)間間隔， 4 個(gè)間隔是4 秒鐘，每個(gè)間隔就是1 秒鐘。由此推理鐘打 12 下時(shí)有12-1=11 個(gè)時(shí)間間隔，故用 11 秒鐘。習(xí)題五1 一隊(duì)男生8 人。老師要求在2 名男生中間插進(jìn)1 名女生，問可插進(jìn)多少女生？2 小冬用12 張紙訂成一個(gè)本子。從頭數(shù)起，每隔3紙夾進(jìn)一片樹葉，問這個(gè)本子內(nèi)共放進(jìn)多少片樹葉？3 在一條20 米長(zhǎng)的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，問這段小路上共種多少棵？4 一根鋼管長(zhǎng)6 米，每分鐘鋸下 1 米，幾分鐘鋸?fù)辏? 一根木頭鋸成4 段，要付鋸工費(fèi) 1 元。如果要把這根木頭鋸成13 段，要付鋸工費(fèi)多少元？6 小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢

24、，小明上 2 層，爸爸上1 層。問小明上到五樓時(shí)，爸爸上到幾樓？7 沿著跑道插著11 面旗， 旗與旗離得一樣遠(yuǎn)， 第一面旗插在起點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)起跑經(jīng)過6 秒鐘到達(dá)第 6 面旗，問運(yùn)動(dòng)員到達(dá)第 11 面旗時(shí)，需要跑11 秒鐘嗎？8 三點(diǎn)鐘時(shí)， 掛鐘打響三下， 用了 12 秒。 到六點(diǎn)鐘時(shí)，掛鐘打響六下，要用幾秒鐘？習(xí)題五解答1 解：方法 1 ： 按老師要求， 在 2 名男生中間插進(jìn)1 名女生后，寫出隊(duì)伍的排外情況是：男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù)，可知插進(jìn)的女生共7 人。方法 2 ：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹”把女生看成“間隔” ，就能按植樹問題的公式解這道題。因?yàn)閮深^都是男

25、生，就像兩頭都有樹一樣，女生數(shù)應(yīng)等于男生數(shù)減 1 ，即 8-1=7 （人） 。2 解：畫示意圖如下：可以這樣想：把每3 張紙粘在一起成為一張“厚紙” ，12 張紙共粘成4 張厚紙。按題目要求，相當(dāng)于每?jī)蓮埡窦堉g放入一片樹葉，可知共放入3 片樹葉。3 解：畫示意圖如下： （只畫一旁種樹情況）由圖可見，每5 米為一段， 20 米長(zhǎng)的路可分為 4 段，由于路兩端都要種樹，所以種的棵樹等于段數(shù)加 1 ，即一旁 種樹 4+1=5 （棵） ，兩旁共種 5+5=10 （棵） 。4 解：畫示意圖如下：由圖可見， 把 6 米長(zhǎng)的鋼管鋸成 1 米長(zhǎng)的 6 段， 只需鋸 6-1=5 （次） ，題中說，每分鐘鋸下

26、1 米，就是說鋸1 次需要 1 分鐘，所以鋸5 次需 5 分鐘即 5 分鐘把鋼管鋸?fù)辍? 解： 把一根木頭鋸成4 段只需鋸 4-1=3 次， 按題意付鋸工費(fèi) 1 元。 當(dāng)把這根木頭鋸成13 段時(shí)只需鋸13-1=12次，每鋸 3 次付費(fèi) 1 元，鋸 12 次應(yīng)付鋸工費(fèi) 4 元。6 解：見右圖當(dāng)小明跑五樓時(shí)，實(shí)際上跑過了 4 層樓 梯，所以爸爸此時(shí)只走過了 2 層樓梯，即走到了三樓。7 解：畫出示意圖：在起點(diǎn)插著第一面旗，但在起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)員起跑時(shí)，時(shí)間是從 0 秒開始計(jì)時(shí)的。運(yùn)動(dòng)員跑到第六面旗時(shí)，實(shí)際上是跑了5 段間隔，這時(shí)他用了 6 秒鐘的時(shí)間；當(dāng)他跑到第 11 面旗 時(shí)，實(shí)際上又跑了 5 段間隔，

27、所以又用了 6 秒鐘，總起來共 用了 12 秒鐘，而不是11 秒鐘。8 解： “當(dāng)當(dāng)當(dāng)”鐘打響了三下，三響之間的間隔是兩次，兩個(gè)時(shí)間間隔用12秒，一個(gè)時(shí)間間隔就是12+2=6（秒） 。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5 次，因而鐘打六下要6 X5=30 （秒）。第六講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍(lán)子里一個(gè)一個(gè)地往外拿，邊拿邊數(shù)。 籃子里的雞蛋拿光了， 有多少個(gè)雞蛋也就數(shù)出來了。這種最簡(jiǎn)單的數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)的方法就叫做枚舉法。例 1 用分別寫有數(shù)字1 和 2 的兩張紙片，能夠排出多少個(gè)不同的二位數(shù)？解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉

28、出來，可知能排出兩個(gè)二位數(shù)來。它們是：例 2 用分別寫有數(shù)字0 ， 1 ， 2 的三張紙片能排出多少個(gè)不同的二位數(shù)？解：因?yàn)椤?0 ”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出 4 個(gè)二位數(shù)，它們是：1 作十位數(shù)字，0 或 2 作個(gè)位數(shù)字：2 作十位數(shù)字，0 或 1 作個(gè)位數(shù)字：例 3 用分別寫有數(shù)字1 ， 2 ， 3 的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個(gè)三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)。共 6 個(gè)不同的三位數(shù)。例 4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個(gè)二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自

29、原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個(gè)不同的二位數(shù)？解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個(gè)位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)： 11 ， 12 ， 13 ， 21 ， 22 ，23 ， 31 ， 32 ， 33 。共 9 個(gè)不同的二位數(shù)。例 5 有一群人， 若規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設(shè)這群人是：兩個(gè)人，三個(gè)人，四個(gè)人解：畫圖。用點(diǎn)“ ”代表人。如果兩人握一次手就在兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線。那么，點(diǎn)和點(diǎn)之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。兩個(gè)人：兩點(diǎn)之間只能

30、連一條線，表示兩個(gè)人共握1 次手。三個(gè)人：三點(diǎn)之間有三條連線，表示三個(gè)人共握3 次手。四個(gè)人：四點(diǎn)之間有六條連線，表示四個(gè)人共握6 次手。例 6 鐵路上的火車票價(jià)是根據(jù)兩站距離的遠(yuǎn)近而定的，距離愈遠(yuǎn)，票價(jià)愈高。如果一段鐵路上共有五個(gè)車站，每?jī)?站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價(jià)共有多少種？解：如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個(gè)點(diǎn)代表五個(gè)車站，各點(diǎn)間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價(jià)不同。由圖可見，各段長(zhǎng)度不同的線段就表示各種不同的票價(jià)。數(shù)一數(shù)，票價(jià)種數(shù)是：4+3+2+1=10種。例 7 小明到小華家有甲、 乙兩條路， 小華到小英家有a ，b ， c 三條路（如下圖所示

31、）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多少種不同的走法？解：共有 6 種不同的走法，見下圖。習(xí)題六1 用三張數(shù)字卡片，可以排出多少個(gè)不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大多少？2 有四張數(shù)字卡片從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？3 用兩套數(shù)字卡片可組成多少個(gè)不同的二位數(shù)？4 在一次小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上有五名同學(xué)上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，他們每?jī)蓚€(gè)人都互相握了一次手。問他們共握了多少次手？5 全區(qū)六所小學(xué)舉行小足球賽，每個(gè)學(xué)校派出一個(gè)代表隊(duì)，要求規(guī)定每?jī)蓚€(gè)校隊(duì)之間都要賽一場(chǎng)，問一共要賽多少場(chǎng)？6 右圖是小英家和學(xué)校之間的街道圖。問小英去上學(xué)時(shí)，共有多少種不同的走

32、法？（不準(zhǔn)故意繞遠(yuǎn)走）7 如右圖所示，一只螞蟻從一個(gè)正方體的 A 點(diǎn)沿著棱爬向 B 點(diǎn)，如不故意繞遠(yuǎn)，一共有幾種不同的走法？習(xí)題六解答1 解：注意， 0 不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有 4 個(gè)。它們是： 407 ， 470 ， 704 ， 740 。最大的數(shù)是740 ，最小的數(shù)是407 。最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333。2 解：注意0 不能當(dāng)作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共 18 個(gè)。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3 解：共組成25 個(gè)不同的二位數(shù)。11 ，

33、12， 13， 14， 15；21 ， 22 ， 23 ， 24 ， 25 ；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，54，55。4 解：畫圖。用點(diǎn)代表人，用兩點(diǎn)之間的連線代表兩個(gè)人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有10 條連線，所以共握手10 次。5 解：共賽15 場(chǎng)。見下圖。方法 1 ：如右圖所示這樣數(shù)：一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5 場(chǎng)；二小再和三小、四小、五小、六小共賽4 場(chǎng)；（二小不能再和一小賽，因?yàn)樗鼈円呀?jīng)比賽過了， 下同）三小再和四小、五小、六小共賽3 場(chǎng)；四小再和五小、六小共賽2 場(chǎng)；五小再和六小共賽

34、1 場(chǎng)。比賽場(chǎng)次總數(shù)： 5+4+3+2+1=15 （場(chǎng)） 。方法2 ：每個(gè)學(xué)校都要和其他的五個(gè)學(xué)校各賽一場(chǎng)，共5場(chǎng)。因而六個(gè)學(xué)校所賽的場(chǎng)次是 5X6=30場(chǎng)。但是這樣計(jì)算還有個(gè)問題，比如說一小和二小賽了一場(chǎng)，這一場(chǎng)比賽被兩個(gè)學(xué)校都計(jì)算在了自己所賽的場(chǎng)次里，因而被計(jì)了兩次。所以總場(chǎng)數(shù)也就多計(jì)了一倍。也就是說，六個(gè)學(xué)校實(shí)際賽的總場(chǎng)次數(shù)是30 +2=15（場(chǎng)）。6 解：小英由家到學(xué)校共有6 種走法，見下圖粗黑線所示。7 解： 螞蟻沿著棱由 A 點(diǎn)爬到 B 點(diǎn)有 6 種不同的走法，見下圖粗黑線所示。第七講 填圖與拆數(shù)（一）例 1 如右圖，把3 、 4 、 6 、 7 四個(gè)數(shù)填在四個(gè)空格里，使橫行、豎行

35、三個(gè)數(shù)相加都得14 。怎樣填？解：先看豎行，最上格中已有個(gè)5。 要使 5+ （ ） =14 ，括號(hào)里的數(shù)就要填9 。把 9 拆成兩個(gè)數(shù)： 9=3+6 ， （因?yàn)?3和 6 是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個(gè)空格里。但進(jìn)一步想，應(yīng)該把哪一個(gè)填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)填剩下的兩個(gè)數(shù)4 和 7 ， 因?yàn)?4 和 7 相加和為 11 ，而 11+3=14 ，可見中間空格應(yīng)填 3 。例 2 如圖所示。 在圓圈里填上不同的數(shù)， 使每條直線上三個(gè)數(shù)相加之和都等于 12 。解：見下圖（ 1 ） 、 （2） 、 （3） 。把 12 分拆成三個(gè)不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式：12=9+2

36、+1 12=8+3+112=7+4+1 12=7+3+212=6+5+1 12=6+4+212=5+4+3從各式中選擇有一個(gè)相同加數(shù)的兩個(gè)式子。 12=1+5+6和 12=1+4+7 兩式，將相同的加數(shù)1 填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外的填法。例 3 如右圖所示。把 1 、 2 、 3 、 4 、 5 五個(gè)數(shù)填入五個(gè)圓圈里，要求分別滿足以下條件：（ 1 ）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8 ；（ 2 ）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9 ；（ 3 ）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。解：見下圖

37、（ 1 ） 、 （ 2 ） 、 （ 3 ）（ 1 ）將 8 分拆成三個(gè)數(shù)之和（注意，這三個(gè)數(shù)要從1 、2 、 3 、 4 、 5 中選取）8=1+2+5 8=1+3+4因?yàn)橹虚g圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“ 1 ”填在中間圓圈里其他四個(gè)數(shù)填在邊上；（ 2 ）解法思路與（1 ）相同，分拆方式如下：9=1+3+5 9=2+3+4（ 3 ）解法思路與（1 ）相同10=1+4+5 10=2+3+5習(xí)題七1 如右圖所示。在正方形的空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個(gè)數(shù)相加得數(shù)都是18 。2 如右圖所示。在正方形空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加都得34 。3 如右圖所示

38、。把適當(dāng)?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上 3 個(gè)圈中的數(shù)相加都是10 。4 如圖所示。從2 、 3 、 4 、 5 、 6 中選取適當(dāng)?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個(gè)大圓上的小圓圈中的四個(gè)數(shù)的和都等于15 ，都等于 16 。5 如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于 10 。6 如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都是 15 。7 如下頁圖所示。把1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9分為三組，填到三個(gè)小三角形的各個(gè)角上的圓圈里，使每個(gè)小三角形的三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和都是 15 。同時(shí)使大三角形三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和也

39、是 15 。習(xí)題七解答1 在圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如 10 、 6 、7 三個(gè)數(shù)。仔細(xì)觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填2，因?yàn)橐箼M行三個(gè)空格里的數(shù)之和是 18 ， （已有的兩個(gè)數(shù)之和是 10+6=16 ）就需要在這個(gè)空格中填上 18-16=2 。當(dāng)然，也可以先填左下角空格的那個(gè)數(shù)，因?yàn)樗诘男毙兄幸延袃蓚€(gè)數(shù)7 和 6 ， 而 7+6=13 ， 所以應(yīng)在這個(gè)空格里填18-13=5 。 接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2 見圖。解法思路與第 1 題相同。 因?yàn)橐竺啃械乃膫€(gè)數(shù)之和是34 ，而第三橫行已有的三個(gè)數(shù)之和為 9+7+12=28 ，所以此行空

40、格中可填6 。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個(gè)數(shù)之和是 13+10+7=30 ，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應(yīng)填4 。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。3 見圖。解法與第 1 題相同。 因?yàn)槿切蔚囊贿呉延袃蓚€(gè)數(shù)3 和2 ，其和為 3+2=5 ，要使這邊的三數(shù)之和是10 ，可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填10-5=5 。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。4 見圖。和是 15 ：因?yàn)榇髨A上有兩個(gè)小圓圈中已有了 1 和 7 ，它們的和是1+7=8 ，所以同一個(gè)大圓上另外的兩個(gè)小圓圈中應(yīng)填的兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)是 15-8=7 ，將 7 分拆成兩個(gè)數(shù)有兩種分拆方式：將 2 和 5

41、填入一個(gè)大圓上的兩個(gè)空圈中，將3 和 4 填入另一個(gè)大圓上的兩個(gè)空圈中。見右圖。和是 16 ,解法 思路和相同。因?yàn)?+7=8 ，16-8=8將 8 分拆成兩個(gè)數(shù)，有兩種分拆方式：將 2 和 6、 3 和 5 分別填入大圓上的空圈中。5 .解：見下圖（1）（4）把10分拆成三個(gè)不同的數(shù)的和，共有4 種分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個(gè)共同加數(shù)的兩個(gè)式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個(gè)加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有6 種符合題目要求的填法，這里只舉其中 4種填法，還有2 種填法你能找出來嗎？6 解見下圖。把15 分拆成三個(gè)不同的數(shù)

42、相加之和，共有 12 種分拆方式：15=1+2+12 15=1+3+1115=1+4+10 15=1+5+9 15=1+6+8 15=2+3+1015=2+4+9 15=2+5+815=2+6+7 15=3+4+815=3+5+7 15=4+5+6因?yàn)轭}目中已有2 、 3 、 8 三個(gè)數(shù)填在3 個(gè)圓圈里，觀察上面各式，既用到 2 、 3 、 8 這三個(gè)數(shù)，又要有另一個(gè)數(shù)是共 同 的 ， 這樣的式子有如下三個(gè) ： 15=1+2+12，15=1+3+11， 15=1+6+8 ，將三式中共用的加數(shù)“ 1 ”寫在中間圓圈里，再在其他三個(gè)圓圈里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。7 解： 見下面兩圖， 將 15 分拆， 采取

43、兩步分拆法如下：適當(dāng)選取四組數(shù)，填入四個(gè)三角形中（ 3 個(gè)小三角形與1 個(gè)大三角形） ，可以得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如 3、 5 、 7 ，將它們分別填在大三角形的三個(gè)角頂圓圈中， 再找分別包含3 、 5 、 7 的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3 ， 8 ， 4 ； 5 ， 9 ， 1 ； 7 ， 6 ， 2 。如上圖所示。第八講 填圖與拆數(shù)（二）本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。例 1 如右圖所示。把三個(gè)1 、三個(gè) 2 、三個(gè) 3 分別填在九個(gè)格內(nèi)， 使橫行、 豎行、 斜行三個(gè)數(shù)加起來的和都等于 6 。解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因?yàn)橹虚g格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)

44、，所以它是關(guān)鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填（ 1 ）嘗試法：若中間填“ 1 ” ，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的數(shù)都是1 ，其和為 3 ，不合題目要求。若中間格填“ 3 ” ，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3 ，其和為 9 ，不合題目要求。若中間格填“2 ” ， 再填其他格， 經(jīng)檢查， 符合題目要求，如圖。（ 2 ）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個(gè)“ 1 ”或一個(gè)“ 3” 。因?yàn)槿籼顑蓚€(gè)1 后，即使再填一個(gè)最大的 3 ，這一行的這三個(gè)數(shù)之和才是5 ，小于 6 ，不符合題目要求；同樣，若填兩個(gè)3 后，即使再填一個(gè)最小的數(shù)1 ，這一行的三個(gè)數(shù)之和就是 7 ，大于

45、6 ，也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個(gè)“2 ” ， 即使在此行里再填一個(gè)2 ，這一行的三個(gè)數(shù)之和也可等于 6 ，符合題要求。由此得出，中間方格必須填“ 2 ” 。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例 2 如圖。把 1 、 2 、 3 、 4 、 5 填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個(gè)數(shù)相加之和都是 8 。解：中間圓圈里的數(shù)是個(gè)關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想： 假如我們已經(jīng)按題目要求把 1 、 2 、 3 、4 、 5 填入了五個(gè)圓圈中，這樣每條斜線上的三個(gè)數(shù)相加都得 8 。那么當(dāng)我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應(yīng)為 8+8=16 ，但是五個(gè)圓圈中所填數(shù)之

46、和應(yīng)為1+2+3+4+5=15，兩個(gè)和數(shù)之差是1 ，即： 16-15=1 。這個(gè)差是如何產(chǎn)生的呢？這是因?yàn)榘褍蓷l斜線上的和數(shù)相加時(shí)，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個(gè)數(shù)多加了一次和就多了 1 ，可見此數(shù)是1 。然后，再求每條斜線兩端的數(shù)。可求出兩數(shù)之和應(yīng)為8-1=7 把 7 分拆成兩個(gè)數(shù)，有兩種分拆方式：把 2 和 5 填入一條斜線兩端的圓圈中。把 3 和 4 填入另一條斜線兩端的圓圈中。例 3 如圖所示。把 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 七個(gè)數(shù)填在右圖中的七個(gè)圓圈里，每個(gè)數(shù)只能用一次，使每條線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于 12 。解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)

47、，應(yīng)該如何確定它呢？與例 2 的想法類似。 假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個(gè)圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12我們?nèi)绻M(jìn)一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應(yīng)為：12+12+12=36。不難看出，這樣就把中間圓圈里那個(gè)數(shù)加了三次。因而它比七個(gè)圓圈中的數(shù)相力口之和:1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是 8 應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的 2 倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是 8 的一半，即 8+2=4下面再確定每條線上另外的兩個(gè)圓圈里的數(shù)，方法如下： 12-4=8例 4 如圖所示。把1 、 2、 3、 4、 5、 6 六個(gè)數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個(gè)數(shù)之和都等于

48、 9 。解：見圖。三個(gè)角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因?yàn)樗鼈冎械拿總€(gè)都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個(gè)數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21 每 條 邊 上 三 個(gè) 數(shù) 之 和 是 9 ，9+9+9=27 這樣算每個(gè)角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個(gè)圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把 6 分拆成三個(gè)數(shù)之和： 6=1+2+3；把 1 、 2 、 3 分別填入三個(gè)角上的圓圈里， 其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習(xí)題八1 見圖。把2 、 3、 4、 5、 6、 7、 8 、 9、 10 、 11 填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓上四個(gè)小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29你能填嗎？2 見圖。把2、 3、 4、

49、 6、 7、 10 、 11 分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個(gè)圓上四個(gè)小圓圈中的數(shù)字和都是24 。你能填嗎？3 見圖。把2 、 3 、 4 、 5 、 6 填入右圖的五個(gè)方格里，使橫行、豎行的三個(gè)數(shù)之和等于：11、12、13。4 見圖。把5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 六個(gè)數(shù)分別填入右圖中的六個(gè)圓圈里，使三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于21 。5 見圖。把1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 這十個(gè)數(shù)分別填入圓圈里，使每個(gè)正方形的四個(gè)數(shù)相加之和都等于 24 。6 見圖。把1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個(gè)圓圈中的數(shù)相加之和都等于 12 。7 見圖。把11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 七個(gè)數(shù)填入右圖的圓圈中，