2019屆高考數學(理)沖刺大題提分(8)立體幾何動點與設未知量(含答案)

1、I大q精卜|4立體幾何：動點與設未知6又 PE _L平面 ABCD ,以E為原點，分別以EB, EC, EP為x, y, z軸，建立空間直角坐標系E-xyz,則 E(0,0,0), B(1,0,0 ), P(0,0,®, C(0J3,0 ), D(-2,73,0 ).假設棱PD上存在點M ,設點M坐標為(x, y,z), PM =九彘(0 M九Ml ),貝 U (x, y,zJ3 尸，”(一2,依一73),M (-2九,4九,73(1 九)， . EM = (-2 九點九點(1 九)，EC =(0,V3,0 ),設平面CEM的法向量為n=(x,y,z ),n EM - 2x 3 y

2、3 1 - z=0y =0則 T _1, ，解得4 尸 .n EC = '_ 3y =02 x = ;3 1 -Qz令 z=2Z,則 x=M§(1九)，彳n n= (73(1 -?J,0,2?J. PE_L平面 ABCD , 平面 ABCD 的法向量 m =(0,0,1 ), n m22 c0sn,m>= J rj = f 2=，n1m . 4 2 3 1-' 27 2 -6' 3二面角 M EC -D的大小為60 s,"= ,即3九2 +2九一1 =0 ,解得 九=，,或九=一1 (舍去). 7 2 -6 '323PM 1 .，在PD

3、上存在點M ,當匚M=時，二面角 M EC -D的大小為60 .PD 31. 2019躍華中學如圖所示，正四棱椎 P-ABCD中，底面ABCD的邊長為2,側棱長為2a.(1)若點E為PD上的點，且PB/平面EAC，試確定E點的位置；, 一 、，一” , 一 T 4一 一一、(2)在(1)的條件下，點 F為線段PA上的一點且PF =KPA,若平面AEC和平面BDF所成的銳一一一,1二面角的余弦值為 一，求實數K的值.142. 2019湖北聯考如圖，在四棱錐 PABCD中，AB ± PC , AD/ BC , AD _LCD ,且PC =BC =2AD =2CD =2品,PA =2 .(

4、1)證明：PA_L平面 ABCD;(2)在線段PD上，是否存在一點M ,使得二面角M -AC -D的大小為60°?如果存在，求EM的PD值；如果不存在，請說明理由.3. 2019西城44中如圖，在四棱錐 P -ABCD中，底面ABCD是平行四邊形， /BCD =135。，側面 PAB，底面 ABCD ,2BAP=90©, AB=AC=PA=2, E , F 分別為 BC , AD 的中點，點 M 在線 段PD上.(1)求證：EF _L平面PAC ;(2)若M為PD的中點，求證： ME/平面PAB ;PD(3)如果直線ME與平面PBC所成的角和直線 ME與平面ABCD所在的角

5、相等，求-PM的值.11.【答案】（1） E為PD中點；（2）人.5【解析】（1）設BD交AC于點O ,連結OE , PB/ 平面 AEC ,平面 AECn 平面 BDP =OE , /. PB/ OE , 又。為BD的中點，在4BDP中，E為PD中點.(2)連結OP ,由題意得 PO，平面ABCD，且AC _LBD ,，以。為原點，OC、OD、OP所成直線為x, y, z軸，建立空間直角坐標系,OP =JpD2 -OD2 =氓, . A(-拒0,0 ), B(0,-V2,0 ), C(亞,0,0 ), D(0,&), P(0,0j6),則 e",豆，逅 ,OC=(尬,0,0

6、 ), CE =f-V2,2,6 I, OD =(0,72,0 ),I 22 J '2 I 22 ' f設平面AEC的法向量m=（x,y,z ）,m OC -、2x =0則$ T L 匹而 ，令z=1,得平面AEC的一個法向量m=(0,-T3,1),m CE- - 2x jy-z=0設平面BDF的法向量n=(x,y,z工_ _ _ 由 PF =?lPA,得 F =(-£,0,而一76九)，DF =( A2%-V2,V6J6九),1 九)<0,1 ,n DF=g"y 十®"0,令 z'得 .受 n OD = .'2y=

7、01一,14cos m, n11 3 1 -12解得平面AEC和平面BDF所成的銳二面角的余弦值為292 .【答案】（1）見證明；（2）見解析.【解析】（1）二在底面ABCD中，AD/BC ,AD _LCD ,且 BC =2AD =2CD =2夜,，AB=AC=2, BC =2 J2, . AB _L AC ,又. AB，PC, ACnPC=C, AC =平面 PAC,PCU 平面 PAC，.- AB_L 平面 PAC ,又 PAU 平面 PAC , AB1PA,. PA=AC=2, PC =272 , PA_LAC,又. PA_LAB, ABnAC=A, ABU 平面 ABCD,AC U 平

8、面 ABCD ,PA_L平面 ABCD .(2)方法一：在線段 AD上取點N ,使AN = 2NDJ”又由(1)得 PA_L平面 ABCD , MN，平面 ABCD ,AC U 平面 ABCD , MN ±AC ,作 NO , AC 于 O ,又MNDnO=N , MN =平面 MNO , NOU平面 MNO ,，AC _L平面 MNO ,又MO仁平面MNO ,AC -LMO ,又AC-Lno ,2MON是二面角 M AC -D的一個平面角,、幾PM設=x , PDMN =(1 x )AP =2 2x , ON =AN =xAD =x ,22這樣，二面角 M AC D的大小為60&#

9、176;,口口MN 22x即 tan/MON =tan60o = j3 ,ON x即PM=x=42石，.滿足要求的點 M存在，且 型=42道.PDPD方法二：取BC的中點E,則AE、AD、AP三條直線兩兩垂直，可以分別以直線 AE、AD、AP為x、v、 z軸建立空間直角坐標系,且由（1）知AP =（0,0,2層平面 ACD的一個法向量,設 PM-=x w(0,1 ),則 MN =(1 -x JAP =22x ,AN =xAD =T2x ,AM= (0,72x,2 -2x ), AC =(近乏0 ),設AQ=（a,b,c謖平面ACM的一個法向量，則AQJAQAM = 2xb 2 2x c = 0

10、AC = 2a 2b =013a = -b2x令 b =2x -2 ,則 AQ =(-2x+2,2x-2,V2x ),它背向二面角,M -AC -D的大小為60°,又.平面ACD的法向量AP =（0,0,2 ）,它指向二面角，這樣，二面角即 cosf AP, AQ) = W :AQ =2 2x cos60 a=-,“網 |AQ 2 J(-2+2xj +(22x j +(V2x j2即x =4 -2石，滿足要求的點 M存在，且-PM- =4 -2/3 .PD3 - , 33 .【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】(1)證明：在平行四邊形 ABCD中， AB=AC,

11、 /BCD =135， /ABC =45口, AB _L AC ,. E , F 分別為 BC, AD 的中點，EF/AB,EF ±AC ,.側面 PAB_L底面 ABCD ,且 /BAP =90白，PA_L底面 ABCD ,，PA_L EF 又 PAQAC =A, PA匚平面 PAC , AC 仁平面 PAC，.二 EF_L平面 PAC .(2)證明：為PD的中點，F為AD的中點，MF/PA,又. MF 遼平面 PAB, PAU 平面 PAB, . MF/平面 PAB,同理，得EF/平面PAB ,又. MFnEF=F, MF=平面MEF , EF二平面MEF , 平面MEF/平面

12、又 ME 仁平面 MEF , ME II 平面 PAB .(3)解：.PA_L底面 ABCD , AB -L AC ,，AP , AB , AC 兩兩垂直，故以AB, AC , AP分別為x軸，y軸和z軸建立如圖空間直角坐標系，則 A（0,0,0 ）, B（2,0,0 ）, C（0,2,0 ）, P（0,0,2）, D （-2,2,0 ）, E（1,1,0）,一 F一PB =（2,0, -2）, PD=（-2,2,-2）, BC =（-2,2,0 ）,設.=九（人三10,1】），則PM =（2九,2九,一2%）,PDM （-2九2 九,2 2九），ME =（1 +2兒,1 2人,2九一2 ）, 易得平面ABCD的法向量m =