中考專題復(fù)習(xí)最短路徑問(wèn)題

1、中考專題復(fù)習(xí)最短路徑問(wèn)題集團(tuán)標(biāo)準(zhǔn)化工作小組 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#中考專題復(fù)習(xí)路徑最短問(wèn)題一、具體內(nèi)容包括：螞蟻沿正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐外 側(cè)面吃食問(wèn)題；線段（之和）最短問(wèn)題； 二、原理：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短。（構(gòu)建“對(duì)稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化） 三、例題：例1、如右圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方 體木塊，一只螞蟻要從木塊的點(diǎn)A沿木 塊側(cè)面爬到點(diǎn)B處，則它爬行的最短路 徑是 o如右圖是一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，已知 AB=3, BC=4, CD=2,假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A 處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則 螞蟻爬行的最短路徑是 O例2、如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵 站，

2、分別向張村、李莊送水，水泵站修 在河邊什么地方可使所用/根隹最短。 如圖，直線L同側(cè)有兩點(diǎn)月1,已知 A、B到直線L徜理喧距離分別為1和 3,兩點(diǎn)的水平距離為3.要在直線L上 找一個(gè)點(diǎn)P,使PA+PB的和最小。請(qǐng)?jiān)?圖中找出點(diǎn)P的位置，并計(jì)算PA+PB的 最小值。要在河邊修建一個(gè)水泵站，向張村、 李莊鋪設(shè)管道送水，若張村、李莊到河 邊的垂直距離分別為1Km和3Km,張村 與李莊的水平距離為3Km,則所用水管 最短長(zhǎng)度為 O四、練習(xí)題（鞏固提高）（一）1、如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，已 知AB二5, BC二3, CD=4,假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn) A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處， 則螞蟻爬行的最短路徑 是

3、O圓周長(zhǎng)為16cm,則所纏金絲帶長(zhǎng)度的最 小值為 O3、如圖是一個(gè)圓柱體木塊,一只螞蟻 要沿圓柱體的表面從A點(diǎn)爬到點(diǎn)B處吃 到食物，知圓柱體的高為5 cm,底面圓 的周長(zhǎng)為24cm,則螞蟻爬行的最短路徑 為。4、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DM = 2, N是ACDM的周長(zhǎng)聲一2、現(xiàn)安鋒如圖可力的圓柱體側(cè)面A局與B點(diǎn)E間纏一性絲帶（金絲帶的I J 度忽必不計(jì)），圈柱體高為6cm,底幅B上的動(dòng)A 點(diǎn)，DN+MN的最 小值第4題第6題5、在菱形ABCD中,AB二2, ZBAD=60° ，點(diǎn) E是中點(diǎn)，P是對(duì)角線 ACAB的口 AC上的 D一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 .BPE+PB的最小值

4、A 為 o6、3圖，在ABC 中，AC = BC = 2, ZACB=90°, D 是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值為7、AB 是。的直徑，AB=2, 0C 是。0 的半徑，0CJ_AB,點(diǎn)D在福莊上，AD =2CD,點(diǎn)P港竦修0C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+PD的品小值為一 一（-）8、如圖，點(diǎn)P關(guān)于0A、0B的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D,連接CD,交0A于 M,交 0B 于 N,若 CD = 18cm,則4PMN9、已鄉(xiāng)直平會(huì)BAB的垂E,且0BAC = 5, BC = 8,則aAEC的周長(zhǎng)為10、已知，如圖，在aABC中，AB< AC, BC邊上的垂直平分線DE

5、交BC于點(diǎn) D,交AC于點(diǎn)E, AC = 8, £JBE的周長(zhǎng)為14,則AB的長(zhǎng)。11、如圖，在銳角ABC中，AB =4娘，ZBAG=45°, NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D, M、N分別是AD和AB上的動(dòng) 點(diǎn)，則BM+MN的最小值是.12、在平面直角坐標(biāo)系中，有A (3,- 2) , B (4, 2)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C(1, n),當(dāng) n =時(shí)，AC + BC 的值最小.第11題第14題第15題13、AABC 中，NC = 90°, AB = 10, AC=6, BC=8,過(guò) AB 邊上一點(diǎn) P 作 PE±AC 于E, PF_LBC于F, E、F是垂足，

6、則 EF的最小值等于.14、如圖，菱形ABCD中，AB=2, ZBAD二60°，點(diǎn) E、F、P 分別是 AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為 15、如圖，村莊A、B位于一條小河的 兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要 建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD,問(wèn)橋址應(yīng) 如何選擇，才能使A村到B村的路程最 近16、一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸 分別交于點(diǎn)A (2, 0) , B (0, 4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)0A、AB的中點(diǎn) 分別為C、D, P為0B上一動(dòng)點(diǎn)，求PC + PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn) 坐標(biāo).(三)16、如圖，已知NA0B內(nèi)有一點(diǎn)

7、 P,試分別在邊0A和0B上各找一點(diǎn)E、 F,使得4PEF的周長(zhǎng)最小。試畫(huà)出圖 形，并說(shuō)明理由。17、如圖，直線I是第一、三象限的角 平分線.實(shí)驗(yàn)與探究：(1)由圖觀察易知A (0, 2)關(guān)于直線 I的對(duì)稱點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(2, 0),請(qǐng)?jiān)?圖中分別標(biāo)明B (5, 3)、C (-2, 5) 關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)夕、C，的位置，并 寫(xiě)出他們的坐標(biāo)：、C，: 歸納與發(fā)現(xiàn)： (2)結(jié)合以上 三組點(diǎn)的坐標(biāo)， 你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo) 平面內(nèi)任一點(diǎn)P (a, b)關(guān)于第 一、三象限的角 平分線I的對(duì)稱 點(diǎn)P，的坐標(biāo)為:運(yùn)用與拓廣：(3)已知兩點(diǎn) D (1, -3)、E (-1, -4),試在直線I上確定一點(diǎn)Q,使點(diǎn)

8、Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出 Q點(diǎn)坐標(biāo).18、幾何模型：條件：如圖，A、B是直線L同旁的兩個(gè) 定點(diǎn).問(wèn)題：在直線L上確定一點(diǎn)P, 使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4, 連結(jié)A'8交/于點(diǎn)P,則24 + 03 = 43的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形A8CO的邊長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng) 點(diǎn).連結(jié) BD,由正 形對(duì)稱性可 知，B與D 于直線AC 對(duì)稱.連結(jié)ED丈AC于P,則總+ PE的最小值是(2)如圖2, 的半徑為2,點(diǎn)4 B、C在。O上 OA±OBZAOC = 60。，POB 上一動(dòng)'點(diǎn)、,求PA + P

9、C的最小值；(3)如圖 3, NAOB=45° , P 是 NAOB解得：a =-,b = ,c = 0.所求拋物線解析式為A BOC 的周長(zhǎng)二QMC+iB+BC+CA.解析式；(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否 存在點(diǎn)C,使BOC的周長(zhǎng)最小若存 在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.(注意：本題中的結(jié)果均保留 根號(hào))解：(1)過(guò)點(diǎn)B作BD_L戈軸于點(diǎn)D, 由已知可得：0B=0A=2, NB0D=60.在 RtZkOBD 中，Z0DB=90- , Z0BD=30'.0D=1, DB=V3點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1, G).(2)設(shè)所求拋物線的解析式為y = ax2 +bx +

10、c 9由已知可得：解得：k= ,b = -.直線AB的33解析式為V =x +33內(nèi)一點(diǎn)，P0=10, Q、R分別是OA、0B上 的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值.19問(wèn)題與好I(內(nèi)如艙，四邊形48於促»pa施上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，股號(hào)聲島囪最不軌；質(zhì)I 1NZ(2)如圖，若四邊形A3CQ是菱形，AB = 10。，ZABC = 45° , E 為邊8c上的一個(gè)4點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC + PE的最小值；問(wèn)題解決(3)如圖，若四邊形ABCD 是矩形，AB = 1 °。"，BC = 20cm E 為邊際，的一勺*、, P為BD上的 一個(gè)動(dòng)，柒，求修PE的最小發(fā)

11、y 20.如圖，磷“生標(biāo)系中/ 標(biāo)為(力)/、：結(jié)0%。/ / 繞原點(diǎn) 誨時(shí)1找牙著 OB. y ="+ ,則有：" 一囪2k + b = 0 E C(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)A、0、B三點(diǎn)的拋物線的<3）存在.B(也寫(xiě)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出)V0B=2,要使B0C的周長(zhǎng)最小，必須 BC+C0最小.,點(diǎn)。與點(diǎn)A關(guān)于直線入二-1對(duì)稱，有 C0=CA.當(dāng)A、C屋點(diǎn)、共線，即點(diǎn)C為直線 AB與夢(mèng)，對(duì)稽軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CA最 dyXstABOC的周長(zhǎng)最小.線AB的解*式為求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一 1,中）.21 >如圖，拋物線y = C+Z?x + c的頂：.ZOCff=

12、60° ,同理可求N0=30° . A ZAC3=90°6分由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知4?=融，BC=AD點(diǎn)戶的坐標(biāo)為,交x軸于A 6兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)。（0，-褥）.（1）求拋物線的表達(dá)式.（2）把/力繞的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180° ,得到四邊形判斷四邊形4妙的形狀，并說(shuō)明 理由.（3）試問(wèn)在線段彳C上是否存在一點(diǎn) F,使得陽(yáng)D的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)寫(xiě)由點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意知M.2>/3解得弋，5 =-3分（列出方程組給1分，解出 給2分）拋物線的解析式為）,卓邛3，分（2）設(shè)點(diǎn)彳（/，0） , B（工2,0）,則學(xué)一喬=0,解得玉=1

13、, -V, = 35分 OA | =1, OB =3.義：tanNOCB='2 =6oc（3）延長(zhǎng)8C至此慢CN = CB.假設(shè) 存在一點(diǎn)尸，使曲的周長(zhǎng)最小.即FD + FB + DB最小.破固定長(zhǎng).只要。用最小.義,： CA1BN:FHFB=FlhFN.當(dāng)M F、。在一條直線上時(shí)， 。小最小.10分義： C為BN的中點(diǎn),:.FC = -AC （即尸為/C的中點(diǎn)）.2又/ （-1, 0） , C （0, 一木）點(diǎn)尸的坐標(biāo)為尸（一1,正）22存在這樣的點(diǎn)尸（-1,2-E）,使得胸的周長(zhǎng)最小.一12分22.已知：直線y = 1工+ 1與y軸交于 2A,與K軸交于。，拋物線y = ；/+/?

14、x + c與直線交于4、£兩點(diǎn),與X軸交于8、C兩點(diǎn)，且8點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0).(1)求拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)，在大軸上移動(dòng)，當(dāng)外£是 直角三角形且以，為直角頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) ，的坐標(biāo).(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)制，使 IAM-MCI的值景大，求出點(diǎn)附的坐 標(biāo).答案：(1)將/ (0, 1) , B (1, 0)坐 標(biāo)代入y = ；/ +x + c得.AO OP由=PF EF，此時(shí)的點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1, 0)或(3, 0) .分(3)拋物線的對(duì)稱軸為33% = -e :B、C關(guān)于工=二對(duì)稱，J22MC = MB.最大.y當(dāng) 4、8、BCJ。由三角形兩邊之吁第三邊得，上時(shí) IAM-M8I要使IAM-MCI最大，即是使解得/? = -2c = 1易知直關(guān)熊的解折式為V = -X + l 工拋物線的解折式為1.22(2)設(shè)點(diǎn)