二次函數(shù)中平行四邊形通用解決方法

1、探究(1)在圖1中，已知線段 AB, CD,其中點(diǎn)分別為 E, F。若A (-1, 0), B (3, 0),則E點(diǎn)坐標(biāo)為;若C (-2, 2), D (-2,-1),則F點(diǎn)坐標(biāo)為 ;(2)在圖2中，已知線段 AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為 A (a, b) , B ( c, d),求出圖中AB中點(diǎn) D的坐標(biāo)(用含a, b, c, d的代數(shù)式表示)，并給出求解過程；歸納無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為 A (a, b),B (c,d),AB中點(diǎn)為D(x, y)時(shí)，x=, y=運(yùn)用在圖2中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y的圖象交點(diǎn)為 A, Bo求出交點(diǎn)A, B的坐標(biāo)；若以A, O, B

2、, P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)。以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高.對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來解決.由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解.為此，筆者另辟蹊徑，借 助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決這一類題.1 兩個(gè)結(jié)論，解題的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，這可作為解題的切入點(diǎn)。1.1 線段中點(diǎn)

3、坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A坐標(biāo)為（xi,yi）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（X2,y2）,則線段 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(xiX2yiy2)2,2證明如圖1,設(shè)AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp,yp）.由XP-X1=X2-XP,彳導(dǎo)xp=yp=y1y22,所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（X1 X2 , y1 y2 ）. 221.2平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式虛J ks-jJ圖1一馬 ABCD勺頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（xa，Va）、B（xb, yB）、Qxc, yc）、口 xd, y。，則：xa+xc=xb+xd；圖2yA+yc=yB+yD.證明： 如圖2,連接AC BD,相交于點(diǎn)E. 點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)， . E 點(diǎn)坐標(biāo)為（XA Xc

4、 , yA yC ）.2 2.E點(diǎn)坐標(biāo)為（XB XD2yB yD )2.為圖3又.點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，Xa+xc=xb+xd； yA+yc=y*yD.即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.2一個(gè)基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識(shí)如圖3,已知不在同一直線上的三點(diǎn)A、BC,在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn)D,使以A、B CD為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.答案有三種：以AB為對(duì)角線的DACBD以AC為對(duì)角線的ABCD以BC為對(duì)角線的DABDC.3 兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1 三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題例1已知拋物線y=x2-2x+a(a<0)與y軸相交于點(diǎn) A,頂點(diǎn)為M直線

5、y=1 x-a分別與2x軸、y軸相交于R C兩點(diǎn)，并且與直線 AMf交于點(diǎn)N(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則M ), N();(2)如圖4,將 NAO y軸翻折，若點(diǎn) N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N'恰好落在拋物線上， AN與x軸交于點(diǎn)D,連接CQ求a的值和四邊形 ADCN勺面積；(3)在拋物線y=x2-2x+a(av 0)上是否存在一點(diǎn) P,使彳#以P、A、C N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.解：(1)M1, a-1), N(fa,-1a); (2) a=-_9 ； S 四邊形 ADC=189 ；33416412(3)由已知條件易得 A

6、(0, a)、C(0,-a)、N(二 a ,-a).設(shè) P(m m-2m+a).33當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(解題時(shí)熟練推導(dǎo)出)，得：4a m312-a m 2m a3P(5,-)；28當(dāng)以AN為對(duì)角線時(shí)，得：4 a31-a3_2a m 2m aama5當(dāng)以CN為對(duì)角線時(shí)，得：40 a31 a - a32m a1238F2(-28).在拋物線上存在點(diǎn)pW.,7),使得以P、A、8N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)反思：已知三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)， 可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo), 坐標(biāo)公式列方程(組)求解.這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對(duì)角線不清楚, 往往

7、要以這三條線段分別為對(duì)角線分類，分三種情況討論3.2 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形存在性問題-1)三點(diǎn).例2如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A(-1,0), B(3,0), Q0(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)易求拋物線的表達(dá)式為y=1x2 -x 1；33(2)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0, t)；點(diǎn)P在拋物線上，33圖5盡管點(diǎn)Q在y軸上，也是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但可理解成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了.當(dāng)以AQ為對(duì)角線時(shí)，由四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=3+m. m

8、=4,P1(-4,7);設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m1m2 -m 1).當(dāng)以BQ為對(duì)角線時(shí)，得：-1+m=3+0,m=4,F2(4,與；3當(dāng)以 AB為對(duì)角線時(shí)，得：-1+3=m+),m=2,F3(2, -1).綜上，滿足條件的點(diǎn) P 為 P(-4,7)、P2(4, _5)、P3(2, -1).3反思：這種題型往往特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在 x軸(y軸)或?qū)ΨQ軸 或某一定直線上.設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式.該動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式.本例中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒有用上，可以不

9、設(shè).另外，把在定直線上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論.例3如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0), B(0, -4), C(2,0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m, AAMB勺面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn) P、Q R O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：(1)易求拋物線的解析式為 y=-x2+x-4；2(2) s=-m2

10、-4m - 4<n<0); s 最大=4 (過程略)；(3)盡管是直接寫出點(diǎn) Q的坐標(biāo)，這里也寫出過程.由題意知Q0,0)、B(0, -4).由于點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) Qs, -s),把Q看做定點(diǎn)；設(shè)P(m - n2+m4).2當(dāng)以O(shè)Q為對(duì)角線時(shí)，0 s 0 m12,0 s 4 m m 4 2s=-2 2.5. C1(-2+25 ,2 - 2&) , Q(-2- 2jg,2+ 2灰);當(dāng)以BQ為對(duì)角線時(shí)，0 m 0 s1 20 m m 44 s2 - Si =-4, S2=0（舍）.，Q（-4,4）;當(dāng)以O(shè)B為對(duì)角線時(shí)，0 0sm12,0 4 s - m m 4

11、2si=4, s2=0（舍）.，Q（4, -4）.綜上，滿足條彳牛的點(diǎn) 她 Q（-2+2卮2 - 2、Q（-2- 2痣,2+ 2痣）、Q（-4,4）、Q（4, -4）.反思：該題中的點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（s,-s）,把Q看做定點(diǎn), 就可根據(jù)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組了4 問題總結(jié)這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的 動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余三個(gè)作為定點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類， 分三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組）.這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對(duì)角線

12、入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適 用范圍廣.其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 RtAOB的兩條直角邊 OA OB分別在y軸和x軸上，并 且OA OB的長(zhǎng)分別是方程 x27x+12=0的兩根(OA<0B),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段 AO上以 每秒l個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。(2)求當(dāng)t為何值時(shí)， APQ與4AOB相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn) Q的坐標(biāo).(3)當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M使以A P、。

13、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊,請(qǐng)直接寫出 M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.如圖，拋物線經(jīng)過 A ( - 1, 0), B (5, 0), C (0,互)三點(diǎn).2(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小，求點(diǎn) P的坐標(biāo);N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A, C, M形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線y=2x+4與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，拋物線G: y= - _Lx2+bx+c過A、B兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為 C.4(1)求拋物線解析式及 C點(diǎn)坐標(biāo).(2)向右平移拋物線 G,使平移后的拋物線 G恰好經(jīng)過 ABC的外心，拋物線 G、G相交 于點(diǎn)D,求四邊形 AOCD勺面積.(3)已知拋物線 G的頂點(diǎn)為M,設(shè)P為拋物線Ci對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為拋物線G上一點(diǎn)，是 否存在以點(diǎn) M Q P、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出 P點(diǎn)坐標(biāo)；不存 在，請(qǐng)說明理由.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=-3x