(整理)計算方法練習(xí)題

1、練習(xí)題1.2.2.對兩個不同數(shù)的近似數(shù),誤差越小,有效數(shù)位越多3.3.一個近似數(shù)的有效數(shù)位愈多,其相對誤差限愈小.、是非題* , . 、1. x =-12.0326作為x的近似值一定具有 6位有效數(shù)字,且其誤差限4.5.5.3.14和3.142作為冗的近似值有效數(shù)字位數(shù)相同.24.1 -工、廣一用 2近似表小cosx產(chǎn)生舍入京差.、填空題1.y =12 1.為了使計算xT,2,3(x-1)(X-1)的乘除法次數(shù)盡量少,應(yīng)將該表達(dá)式改寫為2.* 一 、,一 一 八一 一, 、 2. x = 0003457是x舍入得到的近似值,它有位有效數(shù)字,誤差限,相對誤差限為3.3.誤差的來源是4.4. 截斷

2、誤差為5.5. 設(shè)計算法應(yīng)遵循的原那么是三、選擇題* . . 1. X=0026900作為x的近似值,它的有效數(shù)字位數(shù)為().(A) 7;(B) 3;(C)不能確定(D) 5.2.舍入誤差是()產(chǎn)生的誤差.(A)只取有限位數(shù)(B)模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值(C)觀察與測量(D)數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實際值3,用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是()誤差.(A).模型 (B).觀測 (C).截斷(D).舍入14,用s*= 2 gt 2.設(shè)計算球體積允許的相對誤差限為 1%,問測量球直徑的相對誤差限最大為多少?表示自由落體運(yùn)動距離與時間的關(guān)系式(g為重力加速度),st是在時間t內(nèi)的實際距離,那么s

3、t $是()誤差.(A).舍入 (B).觀測 (C).模型 (D).截斷5. 1.41300作為中屹的近似值,有()位有效數(shù)字.(A) 3;(B) 4;(C) 5;(D) 6.四、計算題221.1, 3.142, 3.141, 7分別作為冗的近似值,各有幾位有效數(shù)字？x 112(2) x 1 t3. 3.利用等價變換使以下表達(dá)式的計算結(jié)果比擬精確:1 1 一x 一 (,| x 卜:：二 1(1) 1 2x 1 x(4) ln( . x4. 4.真空中自由落體運(yùn)動距離s與時間t的關(guān)系式是s= 2 gt2 , g為重力加速 度.現(xiàn)設(shè)g是精確的,而對t有±0.1秒的測量誤差,證實：當(dāng)t增加

4、時,距 離的絕對誤差增加,而相對誤差卻減少. 1 - x) x >> 15*,采用迭代法計算V7 ,取X0 = 21 /7、Xk 1 =-(xk )I 2Xkk=0,1,假設(shè)xk是"的具有n位有效數(shù)字的近似值,求證xk書是后的具有2n位有效 數(shù)字的近似值.練習(xí)題二一、是非題1. 1,單點割線法的收斂階比雙點割線法低.()2. 2.牛頓法是二階收斂的.()3. 3,求方程x3 -x-1 =0在區(qū)間1, 2內(nèi)根的迭代法總是收斂的.()4. 4.迭代法的斂散性與迭代初值的選取無關(guān).()5. 5,求非線性方程f (x)=0根的方法均是單步法.()二、填空題1. 1,用二分法求非線

5、性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時,二分n次后的誤差 限為;2. 2,設(shè)f (x)可微,求方程x = f (x)的牛頓迭代格式是 ；3. 3,用二分法求方程x3+x-1=0在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為,要求準(zhǔn)確到10“,那么至少應(yīng)二分 次；4. 4,T)=*+口屋2-5),要使迭代格式人書.仇)局部收斂到x*=V5,那么口 的取值范圍是;5. 5.求方程x3+x-4=0根的單點割線法是 ,其收 斂階為;雙點割線法是,其收斂階為 0三、計算題21. 1,用二分法求方程x X-1=0的正根,使誤差小于0.05.2. 2,求方程x3-x2-1=0在X.=1,5附近的一個根,

6、將方程改寫為以下等價形 式,并建立相應(yīng)迭代公式.1 / IX = 12, Xk v1x2 -： 1xk 1 (3)x-1,迭代公式收-1 ;試分析每種迭代公式的收斂性,并選取收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字 的近似值. = 1-2(1) X ,迭代公式Xk ；1(2) X3 =1 +x2 ,迭代公式人由=(1 +Xk )3 ；3. 3. 用牛頓切線法求 迷的近似值.取=2,計算三次,保存三位小數(shù).4. 4.用割線法求方程x3-3x-1=0的在.=1.5附近的一個根,精確到小數(shù)點后第二位.* 四、證實題方程fx=o,試導(dǎo)出求根公式xk 1 = xk -2f (Xk)f(xJ2f (Xk)2 -f

7、 (Xk)f(Xk)并證實：當(dāng)X*是方程f(x)=°的單根時,公式是3階收斂的練習(xí)題二一、是非題1. 1.單點割線法的收斂階比雙點割線法低.()2. 2.牛頓法是二階收斂的.()3. 3.求方程X3 -X-1 =0在區(qū)間1, 2內(nèi)根的迭代法總是收斂的.()4. 4.迭代法的斂散性與迭代初值的選取無關(guān).()5. 5.求非線性方程f (x)=0根的方法均是單步法.()二、填空題2. 1.用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時,二分n次后的誤差 限為;6. 2.設(shè)f (x)可微,求方程x=f(x)的牛頓迭代格式是 ;7. 3.用二分法求方程x3+x-1=0在區(qū)間0,1內(nèi)

8、的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)3何為,要求準(zhǔn)確到10 ,那么至少應(yīng)二分 次；8. 4.中(x)=x+Xx2-5),要使迭代格式xk+=*(xk)局部收斂到x*=J5,那么a 的取值范圍是;9. 5.求方程x3+x-4=0根的單點割線法是 ,其收 斂階為;雙點割線法是,其收斂階為 0三、計算題5. 1.用二分法求方程x2-x-1=0的正根,使誤差小于0.05.6. 2,求方程x3-x2-1=0在x0 =5附近的一個根,將方程改寫為以下等價形 式,并建立相應(yīng)迭代公式.1,1X =1一 Xk1 =1 7x2 ,迭代公式Xk ；1.2 O=1 +x2 ,迭代公式人書=1 +Xk ；1x-1 ,迭代公式1x

9、k 1 二Qx -1 ;試分析每種迭代公式的收斂性,并選取收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似值7. 3. 用牛頓切線法求 后的近似值.取X0=2,計算三次,保存三位小數(shù).8. 4, 用割線法求方程x33x-1=0的在x0=5附近的一個根,精確到小數(shù)點后第二位.四、證實題方程f(x)=0,試導(dǎo)出求根公式x =x2f (xk)f(xk)k1 k 2f (xk)2 -f (xk)f(xk)并證實：當(dāng)x*是方程f(x)=0的單根時,公式是3階收斂的練習(xí)題四一、是非題3 -11A= 25-31 .矩陣 12 5 一具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢.3-11A = 15-32. 1 2 5 .是弱對角優(yōu)勢矩陣.3.

10、高斯一塞德爾迭代法一定比雅可比迭代法收斂快.4. 11M 11<1是迭代格式xk+=Mx"+ f收斂的必要條件.* .、一一 、一 5 ,逐次超松弛迭代法是高斯一賽德爾迭代法的一種加速方法.二、填空題3x1 +5x2 =11. 1.解方程組4+2x2 =0的雅可比迭代格式分量形式為,該迭代矩陣的譜半徑PB1=;3x1 +5x2 =12. 2.解方程組 小+2%=0的高斯一賽德爾迭代 格式分量形 式為,迭代矩陣B2=,該迭代矩陣的譜半徑PB2=；3. 3.幕法的迭代公式為 ;* .4 . QR算法是用來求 矩陣的全部特征值的一種萬法.* .一 、 .、5 .雅可比方法是用來求 矩

11、陣的全部特征值及特征向量的一種 變換方法.三、選擇題1 .解方程組Ax =b的迭代格式x"加=Mxk+f收斂的充要條件是A l|A|<1 ；B IIM |<1 ；C PA<1;D PM<1.2 .幕法的收斂速度與特征值的分布(A)有關(guān)；3.幕法是用來求矩陣(A)按模最大；(C)任意一個；(B)無關(guān);(C)不一定.)特征值及特征向量的迭代法.(B)按模最?。?D)所有的.4.解代數(shù)線性方程組的松弛法收斂的必要條件是(B) 0<co <1 ；(C) 0<co <2；5.反幕法是用來求矩陣(A)按模最大；(D) 0<co <20)

12、特征值及特征向量的迭代法.(B)按模最?。?C)任意一個;四、計算題(D)所有的.1. 1.用簡單迭代法(雅可比迭代法)解線性方程組3x1+ x3 = 5t x1 3x2 x x3 = 1 x1 -x2 +4x3 = -8(0)T.取x =(0,0,0),列表計算三次,保存三位小數(shù).2.用高斯一賽德爾迭代法解線性方程組3x1x3 = 5X1 - 3x2 十兄=-1 , 一 X2 + 4X3 =4(0)T取x =(0,0,0),列表計算三次,保存三位小數(shù).0-13.用幕法求矩陣J-121按模最大特征值及相應(yīng)特征向量,列表計算三次,取x0=1,1,1T ,保存兩位小數(shù).4 ,取6 =1.46,用松

13、弛法解線性方程組2x1 X2 1j - x1 + 2x2 _ x3 = 0-X2 +2& - x4 =1、一 x3 + 4x4 = 0取x=0,0,0T ,列表計算三次,保存三位小數(shù).小數(shù)計算,名=0.1.4 1 0A= 1 2 15.用雅可比方法求實對稱矩陣0 1 1 的特征值及相應(yīng)特征向量按四位2 1 0A= 1 3 16*.用QR算法求矩陣P 1 41的全部特征值.練習(xí)題五、是非題6. 1.在求插值多項式時,插值多項式的次數(shù)越高,誤差越小.x - X1X X27. 2.x0-%-x2表示節(jié)點x0處的二次插值基函數(shù).8. 3.牛頓插值多項式的優(yōu)點是：在計算時,高一級的插值多項式可利

14、用前 一次插值的結(jié)果.9. 4.在拉格朗日插值中,插值節(jié)點 X0,x1,|,xn必須按順序排列.10. 5.利用等距節(jié)點的牛頓插值公式計算x0附近的fx,用后插公式.、填空題6. 1.n =3,那么三次插值基函數(shù) "x=n li(x)= 7. 2. n+1個節(jié)點的拉格朗日插值基函數(shù)li(x)的和.8. 3.f(x)=x4,取節(jié)點xk=k (k：.,三、選擇題x 一 x1 .函數(shù)X.-刈表示線性插值()點的基函數(shù).(A) X0；(B) y0 ;(C) x1(D) Y1o,2.過點(一1,1),.3).,4 *)的二次插值多項式P2(x)中x2的系數(shù)為().(A) £.5(B)

15、 0.5(C) 2(D) -2,),用線性插值求f(2.1)的近似值,其計算公式fQ)定(2.1)= 09. 4. 插值不僅要求插值函數(shù)和被插值函數(shù)在節(jié)點取函數(shù)值而且取導(dǎo)數(shù)值.10. 5. f(-1)=2, f(0)=1,f(2) =3,那么 f1,0=2f0,2 =, "-1,0,2 = ,牛頓二次插值多項式N2 (x) =0f.5)的近似值,取三位小數(shù).2. 2.證實：假設(shè)f (x)二階連續(xù)可彳散,那么對于f (x)的以xo,xi為節(jié)點的一次插值多項式R(x),插值誤差f (x) -P(x)| (x1 x0) max f "(x)8xo宜宜143. 3.設(shè)f(x)=x

16、+2x-1,利用拉格朗日插值余項求以-1, 0, 1, 2為插值節(jié)點的三次插值多項式.4* .函數(shù)y = f(x)的數(shù)據(jù)f(1) = yc f(2) = yi, f 1)=mo ,用基函數(shù)法求f (x)的二次插值多項式 出使小:丫.？) = yi,H2(1) = mo.x5 .要給出f(x)=e在區(qū)間卜2,2上的等距節(jié)點函數(shù)表,用分段三次Hermite插值求ex的近似值,要使誤差不超過10上,問函數(shù)表的步長h應(yīng)為多少？Xi-1146.的f(x)函數(shù)表f (xi)-245(1) (1)求f(x)的二次插值多項式；(2) (2)用反插值求x,使f (x)=0o練習(xí)題六一、判斷題1. 1.在等距節(jié)點

17、的情況下,才能計算函數(shù)的差分.()2. 2.向前差分與向后差分不存在等量關(guān)系.()3. 3.觀察值就,丫“.=0,1,2,n),用最小二乘法求得的擬合多項式其 次數(shù)為n次.()4. 4.利用最小二乘原理對一組數(shù)據(jù)找出適宜的數(shù)學(xué)公式來擬合,首先應(yīng)確 定公式的類型.()5. 5.數(shù)據(jù)擬合的步驟首先是建立正規(guī)方程組.()二、填空題1. 1,某函數(shù)的二階向前差分&2f1為0.15,那么其二階向后差分 Vq3為2. 2.利用牛頓前插公式計算某點的近似值,應(yīng)首先確定公式中的t,其計算公式為t =03. 3 函數(shù)y = f (x)在a,b上的n +1個節(jié)點xi處的函數(shù)值那么其三次樣 條插信函數(shù)s(x

18、)滿足的條件為 4. 4.(xi,yi)(i =1,2,網(wǎng)),其線性擬合的正規(guī)方程組為 o_ x5. 5,用形如y -ax十b的非線性擬合數(shù)據(jù)(X, yi)做變換 后為線性擬合y = a + bx.三.選擇題1 .()是利用函數(shù)的值求自變量的值.(A)三次樣條插值(B)反插值(C)分段插值(D)愛爾米特插值*2 .記5 =yi _yi" = (1)列出相應(yīng)的差分表；2lll,n,最小二乘法原理要求以下哪個為最小()maxdiZ &Z &Z a(A) 1<<(B) i 白(C) f(D) V3 .當(dāng)線性方程組滿足()時稱為超定方程組.(A) (A)未知數(shù)的個

19、數(shù)等于方程的個數(shù)(B) (B)未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)(C) (C)未知數(shù)的個數(shù)小于方程的個數(shù)(D) (D)未知數(shù)的個數(shù)與方程的個數(shù)大小任意* . .4. x是超定方程組Ax = b的最小二乘解的充分必要條件是().(A) x 是 AT Ax = AT b 的解(B) x 是 AAT x = ATb 的解(C) x是AT x=bT的解(D)三者都不對5.勒讓德多項式1 dnPn(X)=而瓦n(x2 -1)n1日 . 是(A)小于n次的多項式(B)等于n次的多項式(C)大于n次的多項式(D)小于等于n次的多項式四、計算題11 函數(shù)y = f (x)的函數(shù)表如下,解答以下問題xi0.00,10.

20、20.3f(xi)LOI1,31L錮2.CS2. 2, f(1.3) =14.8, f(1.6) =17.4, f (2.4) =18.5, f (3.1) =20.0,按最小二乘 原理求一次多項式擬合上述數(shù)據(jù).3x1 +2x2 =2« 4x1 -5x2 =33. 3.求超定方程組L2x1+x2=11的最小二乘解4. 4.觀察值xi- 2- 1012YiYoY1Y2Y3Y4利用f (x)的二次擬合多項式P2 (x),求f '(0)的近似值.5. 5.用形如y =aln x+b的函數(shù)擬合以下數(shù)據(jù)Xi 35 的 Dfx 353,84245練習(xí)題七一、填空題1. 1. fOi, f

21、(2) =1.2 31 f(x)dx -( 31 f(x)dx1).2. 2, f(0)=3, f(0.5)=4f(0)%),頊-( ). bf3=5 ,那么三點式高斯求積公式為,用拋物線求積公式求得f1=3,那么用三點式可求得,f* V,且fx之3. 3,復(fù)合梯形求積公式為Lfxdx,當(dāng) fxwC2a,b時,其余項 Rnf=04. 4,數(shù)值積分代數(shù)精確度的定義是.bnfxdx :八 Ak fxk5. 5,求積公式ak田的代數(shù)精度以求積公式為最高,具有次代數(shù)精度,其節(jié)點稱為點.二、選擇題1. 1,求積公式研究的誤差為.A.觀測誤差B,模型誤差C,舍入誤差D,截斷誤差h _ b -a2. 2,在

22、a,b上,fX*2,且f x亡C2a,b,步長 n ,那么復(fù)合梯形求積公式的誤差限為.33_b -a_b-aA. 6B, 6, 3b -a 卜2hC.-6-D. 63. 3.梯形公式、拋物線公式及 n階N -C求積公式的代數(shù)精度分別至少為.A. 1,2,nB. 2,3,nC. 1,3,nD. 1,4,n+14. 4.數(shù)值微分的二點公式中,其誤差限為,其中h = x-X.Xo 二 < X1 ch .A. O(h2)B.-f ()2"«c h max f"xC. 2D.2Xo<<125. 5. fxw C40,2,在o, 2內(nèi) f4x-1, o fx

23、dx 有兩位整數(shù),用 復(fù)合拋物線求積公式計算要保證有5位有效數(shù)字,步長最多應(yīng)為.A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4三、判斷題bnfxdx ： J AkfXk1、1、高斯求積公式a«的代數(shù)精度為2n+1.2、2、梯形求積公式和拋物線求積公式都是高精度方法.3、3、在使用插值型求積公式時,勿須進(jìn)行誤差分析.4、4、n越大,N-C求積公式的代數(shù)精確度就越高,相應(yīng)地求積公式的穩(wěn)定 性也越好.5、5、具有n+1各節(jié)點的插值型求積公式至少具有n+1次代數(shù)精度.dx“八、,八,0, 1八等分,并估四、計算題1、1、分別用梯形公式和拋物線公式計算積分 04 + x 計誤差.2、3、2(

24、X3 2)dX .2、n=4,用復(fù)合梯形公式求0(X2)的近似值,取四位小數(shù),并估計誤差.一“1.5exdX1 10'一3、用復(fù)合拋物線公式計算.e dX ,要使截斷誤差不超過2,應(yīng)至少將區(qū)間0, 1.5多少等份？24、 4、設(shè)有求積公式fof(x)dx.Aof(O)+2A1f(1)+3A2f(2) 求慶.,為人使代數(shù)精度盡量高.5、5、利用二次插值推導(dǎo)出數(shù)值微分的三點公式,并由此計算2f(x) = (1+x)在 x=1.0,1.1 和 1.2 處的導(dǎo)數(shù)值.練習(xí)題八一、填空題y,= y + x +1 -1. 1.用Euler方法解常微分方程初值問題、y(0) =1,步長h = 0.1

25、,計算格式為yn*= (), y1=().；y'= f (x, y)=2. 2.求解常微分方程初值問題 Ly(x0)= y0改良的歐拉公式為( )3. 3.常微分方程初值問題的數(shù)值解法一般分為()法和()法.4. 4.求解常微分方程初值問題的 Adams公式是()步法.5. 5.求解常微分方程初值問題的四階R-K方法的局部截斷誤差為( ).二、選擇題21、一個求解常微分方程的差分公式的局部截斷誤差為O(h ),那么該方法的階是().A. 1B. 2C. 0D. 32、求解一階常微分方程初值問題的梯形公式為步法.A.多B. 2C. 3D. 13、梯形公式是求解常微分方程的階方法.A. 2

26、B. 4C. 3D. 54、四階R-K方法每步要計算次f的值.A. 4B. 5C. 2D. 35、改良的Euler公式的局部截斷誤差為._2_3_4_5A. Oh B. Oh C. Oh D.Oh 三、判斷題1、R-K法是一類低精度的方法.2、求解微分方程初值問題的二階 R-K方法是多步法.3、梯形方法是一種隱式的多步法.4、求解微分方程初值問題的向后 Euler法是隱式方法.2、5、求解常微分方程初值問題的預(yù)估一校正公式的局部截斷誤差為Oh四、計算題1、1、用Euler法求解y' = 2x + y(0<x<1):y(0) =1h=0.2,保存兩位小數(shù).2、2、用Euler

27、法求x t2y(x) = ° e dt在x=0.5,1.0,1.5,2.0處的近似值,保存5位小數(shù).3、3、用改良的Euler法(梯形公式)解初值問題 = 8-3y(1<x<2).y(i)=2取步長h =0.2,至少保存5位小數(shù).4、4、用預(yù)估一校正公式求初值問題,2y =xy(0xMl)J(0)=1的數(shù)值解,取步長h=0.2,以四位有效數(shù)字計算.五、證實題對常微分方程初值問題'y'+ y = 0y(0)yn證實梯形公式求得的近似解為-1n_ 2-h-l2 + hJ,并進(jìn)一步證實當(dāng)步長hT 0時,yn >_xe .計算方法練習(xí)冊答案習(xí)題一父；2. M

28、；y =12 (3 (-4 9t)t)t,5. M .1x -1 ；2.4, 1 10/23.略;4.略;5.略.C；2. A; 3. C;4. C;5. A.2x24位,3位,3位；2.0.333%； 3.(1)_21+3x+2x ,arctan(2)1 + x(x + 1),(3)x 1xx x2!2 1x 3!3 (4)-ln(Vx2 +1 +x) ； 4.略;5.略.習(xí)題二3.b - a2nxn 12.4. x ._ xn - f(xn)1 - f (xn)；3.R5(一二,0)4.5Xn 15.xn3 "n -433xnxn - Xo - Xo(Xn -Xo),1,Xn 1

29、 = Xn3,XnXn -433Xn' Xn " Xn J " Xn d(Xn、1 . 1.59375； 2.1收斂,(2)收斂,3發(fā)散,2收斂速度快,x =1.467；3. 2.236； 四、略.4. 1.88.習(xí)題三2,2. 7 ,4,屈；3.4.四、2.8, 7,A = LU-1 3-11<203 2一2 37；1.1.5.B；x=IL 32. B;(2,-2, 1)習(xí)題四2.(k 1)X13.(k 1)X2YkmkXk3.T；B；2.4.x=3 1B；5.(1,1,1)D.T；3.x=(1,1,1,1)T； 4.x= (2, 1, -1)3.父；4.

30、M；5.5-X2312 X1(k)(k)2.(k 1)X1(k 1)X25一 X231(k)(k 1)Xi=Axk 1-max(Yk)1二一Ykmk2.x=A；3.4.A；任意實的非奇異;4. C; 5.5.實對稱.3.14,Vi習(xí)題五(2.444,0.333, -2.531 )= (1, -0.47, 0.14) 41 . M ； 2. 7 ；3. 7 ； 4. M ；B.T略;L M 5.(2.399,0.401,-2.4995.略;6.略.(X - X0)(X - Xi)(x - X3 )、1(X2 X0)(X2 Xi)(X2 X3)； 2. 1； 3. 22.5;-1, 1,4. He

31、rmite ； 5.三、1. A；2. A； 3. D；22,、-,2-(x1) -(x 1)x3 34 . A; 5. C.155 o 1N2(x) = 2 (x 1)-(x 1)( x-1) = - - x x 5, 0.1251 .2222；2 .略；2222x3 +x2 14. H2(x) = y°(x +2x)+y1(x 2x+1) + m°(x +3x2)；5. 0.03; 6.82X 153x231571(2) 21 .習(xí)題六、1. ¥ ; 2.父；3. M ; 4. M ; 5.X -X0、1 . 0.15； 2. h ； 3.略； 3030工Xi4.30 zi 1 30 zi W-1-1y = 一, x =一5. y x.1 . B; 2, C; 3. C; 4, A; 5. B.四、1.略；2. 12.36+2.53X； 3. x= (1.6530, 5 y =0.530841nx 2.93748.0.6612) T1 (-2y0 - y1 y3 2y4)4. 10習(xí)題七5,58