實數(shù)_知識點+題型歸納

1、第六章實數(shù)知識講解+題型歸納知識講解一、實數(shù)的組成1、實數(shù)又可分為正實數(shù)，零，負實數(shù)2.數(shù)軸：數(shù)軸的三要素原點、正方向 和單位長度。數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)二、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)1 .相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相 反數(shù)。數(shù)a的相反數(shù)是-a。正數(shù)的相反數(shù) 是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，零的相反 數(shù)是零.性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和 為002 .絕對值：表示點到原點的距離，數(shù) a的 絕對值為3 .倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。非0 實數(shù)a的倒數(shù)為-.0沒有倒數(shù)。a4 .相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0;絕對值是它 本身的數(shù)是非負數(shù)（0和正數(shù)）；倒數(shù)是它 本身的數(shù)是土 1.三、平方根與立方根1 .平

2、方根：如果一個數(shù)的平方等于a,這個 數(shù)叫做a的界方根。數(shù)a的平方根記作（a>=0）特性：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為 相反數(shù)，零的平方根還是零。負數(shù)沒有平 方根。正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方 根，零的算術(shù)平方根還是零。開平方：求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開 平方。2 .立方根：如果一個數(shù)的立方等于a,則稱 這個數(shù)為a立方根。數(shù)a的立方根用；1'a表 示。任何數(shù)都有立方根，一個正數(shù)有一個正的 立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根，零 的立方根是零。開立方：求一個數(shù)的立方根（三次方根） 的運算，叫做開立方。四、實數(shù)的運算有理數(shù)的加法法則：a）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕

3、對值相加；b）異號兩數(shù)相加。絕對值相等時和為0;絕 對值不相等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，a并用較大的絕對值減去較小的絕對值.任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。2 .有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加 上這個數(shù)的相反數(shù)。3 .乘法法則：a）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把 絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零.b）幾個不為0的有理數(shù)相乘，積的符號由 負因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為奇 數(shù)時，積為負，為偶數(shù)，積為正c）幾個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)為 0,積 就為04 .有理數(shù)除法法則：a）兩個有理數(shù)相除（除數(shù)不為 0）同號得 正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任 何非0實數(shù)都得0ob）除以一個數(shù)等于乘以這個

4、數(shù)的倒數(shù)。5 .有理數(shù)的乘方：在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)a）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；負數(shù)的偶次 幕是正數(shù)，奇次幕是負數(shù)；0的任何次嘉都是0b） a0=1 （a不等于 0）6.有理數(shù)的運算順序：a）同級運算，先左后右b）混合運算，先算括號內(nèi)的，冉乘方、開 方，接著算乘除，最后是加減。五實數(shù)大小比較的方法5）倒數(shù)法：兩個實數(shù)，倒數(shù)大的反而小（不論正負）題型歸納經(jīng)典例題類型一.有關(guān)概念的識別1.下面幾個數(shù):0.1）數(shù)軸法：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大 于左邊的點表示的數(shù)2）比差法：若a-b>0貝U a>b；若a-b<0則 a<b；若 a-b=0 a=b3）比商法：A.兩個數(shù)均

5、為正數(shù)時，a/b>1則 a>b； a/b<1 則 a<bB.兩個數(shù)均為負數(shù)時，a/b>1則 a<b； a/b<1 則 a>bC. 一正一負時，正數(shù) >負數(shù)234）平方法：a、b均為正數(shù)時，若a2>b2, 則有a>b；均為負數(shù)時相反,其中，無理數(shù)的個數(shù)有（B、2C、3D、4，3冗，是無理數(shù)故選C舉一反三:【變式1】下列說法中正確的是的平方根是土 3 B、1的立方根是±1 C、是5的平方根的相反數(shù)【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，=± 1D、=9, 9的平方根是土 3,，A正確. 1的立方根是

6、1=1,A、1是5的平方根，B、C D都不正確.C、B、1.4【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A,則 點A表示的數(shù)是（）D、，A表示數(shù)為【答案】本題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的 對應(yīng)的關(guān)系. 正方形的邊長為1,對角線為,故選C.【變式3】,由圓的定義知|AO|二【答案】V = = 3.1415，9V3 兀 v 10因止匕3幾-9 >0, 3兀-10 V0,則下列結(jié)論正確的是（A.類型二.計算類型題B.2.設(shè)C.舉一反三:【變式1】1) 1.25的算術(shù)平方根是；平方根是.2) -27立方根是. 3 )D.解析

7、：(估算)因為.)【答案】1).2 )-3. 3 )(1)【答案】(1)(2)(2) x=4 或 x=-2x=-4類型三.數(shù)形結(jié)合解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點,3.點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為舉一反三:【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1,，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為的對應(yīng)點分別為A, B,點B關(guān)于點A的對稱點為C,則點C表示的數(shù)是 ().,則A, B兩點的距離為C. 2-A.D.2【答案】選C變式2已知實數(shù)化簡在數(shù)軸上的位置如圖所示:【答案】類型四.實數(shù)絕對值的應(yīng)用九-3.142|I (2) |4.化簡下列各式：II-1.41.4I(4) |x-|x-3| (x <3)(5) |x 2+6x+10|分析

8、：要正確去掉絕對值符號，|就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕對值。解：(1) -1.4=1.414 <|=1.4(2) V = =3.14159 <,3.142| 九-3.142|=3.142-71|x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2x-3|1=說明：這里對|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的基本概念要有清楚的認 識，并能靈活運用。222(4) ,. xO, ,.x-S <0,|x +6x+10|=|x +6x+9+1|=|(x+3) +1|o2v (x+3) >0, a (x+3) +1 >02

9、9|x +6x+10|= x +6x+10舉一反三：【變式1化簡：【答案】=0,求實數(shù)a, b的值。分析：已知等式左邊分母類型五.實數(shù)非負性的應(yīng)用不能為0,只能有5.已知：>0,則要求a+7>0,分子o+|a -49|=0 ,由非負數(shù)的和的性質(zhì)知:3a-b=0且a2-49=0 ,由此得不等式組由(2)得 a 2=49 .-.a=±7由(3)得a>-7 ,a=-7不合題意舍去。只取a=7把a=7代入 得b=3a=21a=7, b=21 為所求。舉一反三：【變式1已知(x-6) 2+從而求出a, b的值。+|y+2z|=0 ,求(x-y)的值。解：;解：由題意得(x-6

10、) 2+解這個方程組得(x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1) 丁64+1=65+|y+2z|=0,_.o且(x-6) >0,>0, |y+2z| >0,幾個非負數(shù)的和等于零，則必有每個加數(shù)都為0o【變式2】已知a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2類型六.實數(shù)應(yīng)用題那么a+b-c的值為【答案】初中階段的三個非負數(shù)：6.有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm,寬為8cm的矩形，要作一個 面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應(yīng)為多少cni解：設(shè)新正方形邊長為 xcm,根據(jù)題意得x 2=112+13X8x2=225x= ± 15邊長為正， x=

11、-15不合題意舍去，只取 x=15(cm)答：新的正方形邊長應(yīng)取 15cmo舉一反三：【變式1】拼一拼，畫一畫： 請你 用4個長為a,寬為b的矩形拼成一個 大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域 恰好是一個小正方形。(4個長方形拼 圖時不重疊),所以面積為(1)計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？(2)當(dāng)拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多 3cm時，大正方 形的面積就比小正方形的面積多 24cmi, 求中間小正方形的邊長.解析：(1)如圖，中間小正方形 的邊長是:大正方形的面積所以,一個長方形的面積答：中間的小正方形的面積(2)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是:大正方形的邊長:（或小正方形的邊長:大正方形的面積比小正方形的面積多一 . 224 cm所以有,代入，得:化簡得:cm答：中間小正方形的邊長 2.5 cm。類型七.易錯題的平方根是土 15.(3)當(dāng)x=0或2時,7.判斷下列說法是否正確(1)(4)的算術(shù)平方根是-3;(2)是分數(shù)解析：（1）錯在對算術(shù)平方根的 理解有誤，算術(shù)平方根是非負數(shù).故二15.實際上，本題是求15的平方根,(2)的平方根是表示225的算術(shù)平方根，即(3)注意到，當(dāng)x=0時,=0.(4)錯在對實數(shù)的概念理解不清.,顯然此式無意義,發(fā)生錯誤的原因是忽形如分數(shù)，但不是分數(shù)，它是無理數(shù)類型八.引申提高視了 “負數(shù)沒有平方根”，故 x0,所以當(dāng)x=2時,8. (