點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中空間點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1 1平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示045 ,且橫邊畫成鄰邊的(2)平面通常用希臘字母a、| 頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面 3 三個(gè)公理：(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成 2倍長(如圖)T等表示，如平面a、平面0等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)AC 平面 ABCDJo(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 符號(hào)表示為公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)(2)公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有

2、且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=> 有且只有一個(gè)平面a,使 AG a、BG a、CG a。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表本為：PG an B=> a n =L,且 PG L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線什目交直線：同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);異面直線：符號(hào)表示為:a / bo導(dǎo)行直線：同一平面內(nèi)， 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)， 設(shè)a、b、c是三條直線沒有公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)同一條直線的兩條

3、直線互相平行O=>a / c2公理4:平行c/ b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：a'與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與 O的選擇無關(guān)，為簡便，點(diǎn) O 一般取在兩直線中的一條上; 兩條異面直線所成的角9 e (0 ,)；當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們尊這兩條異面直線互相垂直，記作 a±b; 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角

4、。2.1.3 2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 1、直線與平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi) 一一 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a a來表小0(3)直線在平面平行一一沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a Qa an a=Aa/a2.2 .直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a ae b 0 仁a% aa/ b2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行

5、的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行符號(hào)表示：a ® 、b 屹an b = P * aa/ ab / a2、判斷兩平面平行的方法有二種:(1)用定義；(2)判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)簡記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。a/ aa匚Ba C = b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示:a / 0a C = a a / b

6、>0 n = b-作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義L±« ,直線L叫做平面a的垂線,如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí) ，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b）定理體現(xiàn)了 “直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的

7、概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形0 或-AB- 03、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的 銳角（或直角）.一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范 圍.例1在正方體ABCD-AB1cl D1中,0是底面ABCD勺中心，M N分別是棱DD1、D1cl的中點(diǎn)，則直線0M（）.A .是AC和MN的公

8、垂線.B . 垂直于AC但不垂直于 MN.C .垂直于 MN但不垂直于 AC. D .與AG MNB不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影正解：A.例2如圖，已知在空間四邊形 ABCM ,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)， 分別是BC,CD上的點(diǎn)，且 H 器 2 ,求證：直線EG,FH,AC相 '_*玄 八、.錯(cuò)解：證明： E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，1EF / BD,EF= 2 BD,G,H交于BG又GCDHHC2 , GH / BD,GH=3 BD,四邊形EFGH梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,DC2,F分別是AD. AC與FH交于一點(diǎn).直線EG,FH

9、,AC相交于一點(diǎn)正解：證明： E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，1EF / BD,EF=2 BD,DHHC2,iGH/ BD,GH=3 BD,四邊形EFGH梯形，設(shè)兩腰 EG,FH相交于一點(diǎn)T, EG 平面ABC,FH平面ACD,T 面ABC且T 面ACD,又平面 ABC 平面ACD=AC, T AC , 直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.例3在立方體 ABCD- AiBiCiDi中，(1)找出平面AC的斜線BD在平面AC內(nèi)的射影;(2)直線BD和直線AC的位置關(guān)系如何？(3)直線BD和直線AC所成的角是多少度?解：(1)連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)O DDi 平面AC, BD就是斜線BD1在平面AC上的

10、射影.(2)BDi和AC是異面直線.過。作BDi的平行線交DDi于點(diǎn)M,連結(jié)MA、MC ,則/ MOA或其補(bǔ)角即為異面直線 AC和BDi所成的角.不難彳#到 MA = MC,而。為AC的中點(diǎn)，因此 MOL AC,即/ MOA= 90 ° ,異面直線BDi與AC所成的角為90°.例4 a和b為異面直線，則過 a與b垂直的平面（）.A .有且只有一個(gè)B. 一個(gè)面或無數(shù)個(gè)C .可能不存在D.可能有無數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例5在正方體 ABCDABCD, E、F分別是棱 AR BC的中點(diǎn)，O是底面ABCM中點(diǎn).求證: 平面BBO.EF垂直證明：如

11、圖，連接AG BD,則O為AC和BD的交點(diǎn).E、F分別是 AR BC的中點(diǎn)，.EF 是 ABC的中位線，EF/ AC.,. BiB,平面 ABCD,AC 平面 ABCD.-.AC± BB,由正方形 ABCD®: AC± BO,又BO與BB是平面BBO上的兩條相交直線,二AC，平面BBO（線面垂直判定定理）1. AC/ EF,EF，平面 BBO.例6如圖，在正方體 ABCD-ABiGD中，E是BB的中點(diǎn)，O是底面正方形 ABCD的中心，求證: 面 ACD .OE 平分析：本題考查的是線面垂直的判定方法.根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明 面ACD內(nèi)找兩條相交直線與 OE

12、垂直.OE 平面ACD ,只要在平證明：連結(jié)BiD、AD、BD，在BiBD中, E,O分別是 BB和DB的中點(diǎn)，EO/ BiD . BA面 AADD ,DA為DB在面AADD內(nèi)的射影.又AD AiD , .AD DB .同理可證BD DC .又AD CD1 D1 , AD,DiC 面 ACD ,BiD 平面 ACD . BD/ OE , OE 平面 ACD .點(diǎn) 評(píng)：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法.在證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦在BC上,EF貝U EF定理的應(yīng)用.例7.如圖，正方體 A

13、BCD-ABGD中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M 且 CM=DNjt證：MN/平面 AABB證明：證法一.如圖，作ME/ BC,交BB于E,作NF/ AD,交AB于F,連 平面AABiB.MEBiMNFBN-BCBC'，ADBD，MEBNNFBC"BDAd，ME=NF又 ME/ BC/ AD/ NF, MEFN平行四邊形MN/ EF.MN/平面 AABB.證法二.如圖，連接并延長CN交BA延長線于點(diǎn)P,連 BiP,則 BP 平面 AABiB.NDCs NBP,DNNBCNNP .CM_又 CM=DN,B>BD,MBiMN / Bip.DN CN NB NP .BP 平面 AABi

14、B,MM 平面 AABB.證法三.如圖，作 MPII BB,交BC于點(diǎn)P,連NP.MP“ BB，w |.BD=BC,DN=CM, B1MBN.A1CM DNMB1NB，CP DNPBTNB .D1C1B1D ；NP/ CD/ AB.面 MNP/ 面 AABiB.MM 平面 AABB.點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系單元測(cè)試第1題.下列命題正確的是(A.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B .經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.四邊形確定一個(gè)平面D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面答案：D.第2題.如圖, 是 AB, BC 求證：四邊形空間四邊形 ABCD中，E, F, G, H分別 CD, DA的中點(diǎn).EFG

15、H是平行四邊形.答案：證明：連接 BD.因?yàn)镋H是4ABD的中位線,所以EH / BD ,且EH同理，F(xiàn)G / BD ,且 FG因?yàn)镋H / FG ,且EH1bd ：BD .FG .所以四邊形EFGH為平行四邊形.第3題.如圖，已知長方體 ABCD ABCD中，AB 2 J3 , AD 273(D BC和A C所成的角是多少度?(2) AA和BC所成的角是多少度？BCwnfei/A答案：（1） 45第4題.下列命林中正的個(gè)數(shù)是（ 若直線l上Al數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面若直線l與平面 平行，則l與平面 內(nèi)的任意一條直線都平行.如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行.A. 0 B

16、 . 1答案：B.C. 2D. 3第5題.若直線a不平行于平面，且a ,則下列結(jié)論成立的是（若直線l與平面 平行，則l與平面 內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).A.內(nèi)的所有直線與a異面內(nèi)不存在與a平行的直線內(nèi)存在唯一的直線與a平行內(nèi)的直線與a都相交答案:第6題.已知ab , c是三條直線，角a / b ,且a與c的夾角為，那么b與c夾角為答案:第7題.如圖,AA是長方體的一條棱，這個(gè)長方體中與AA垂直的棱共條.第8題.如果 個(gè).答案：8條.a, b是異面直線，直線 c與a, b都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有答案：2個(gè).第9題.已知兩條相交直線 a, b, a/平面 則b與 的位置關(guān)

17、系是 答案：b / a ,或b與a相交.第10題.如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直 線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？BM與ED平行.CN與BE是異面直線.答案：3個(gè)，3個(gè).第11題.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中:CN與BM成60旅. DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A.，B.，D.，答案：C.第12題.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變；過空間四邊形 ABCD的頂點(diǎn)A引CD的平行線段 AE,則 BAE是異面直線

18、AB與CD所成的角；四邊相等，且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形A.0B . 1C. 2D. 3答案：B.第13題.在空間四邊形 ABCD中，N, M分別是BC, AD的中點(diǎn)，則2MN與AB CD的大小關(guān)系是.答案：2MN AB CD .第14題.已知a, b是一對(duì)異面直線，且a, b成70；角，P為空間一定點(diǎn)，則在過P點(diǎn)的直線中與a, b所成的角都為70：的直線有 條.答案：4.第15題.已知平面/ , P是平面，外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線m與平面，分別交于 A C兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線n與平面 , 分別交于B, D兩點(diǎn)，若PA 6, AC 9, PD 8,則BD的長為.答案：24或馬.5第16題.空間

19、四邊形 ABCD中，E , F , G , H分別是AB , BC , CD , DA的中點(diǎn)，若AC BD a,且AC與BD所成的角為90：,則四邊形 EFGH的面積是.1 2答案：1a2.4第17題.已知正方體 ABCD ABGD1中，E, F分別為D 1c1 , C1B1的中點(diǎn)， AC|BD P,AG 0EF Q .求證：(1) D , B , F , E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P, Q, R三點(diǎn)共線.答案：證明：如圖.(1) : EF 是 D1B1C1 的中位線，EF/BDi.在正方體 ACi 中，BiDi / BD , EF / BD .EF確定一個(gè)平面，即D,

20、 B, F, E四點(diǎn)共面.BDEF 為ACi中，設(shè)Ai ACC1確定的平面為，又設(shè)平面Q .又 Q EF , Q的公共點(diǎn)，。pq .R, R A1C .1R，則 R PQ .R三點(diǎn)共線.(2)正方體I +, Q A1C1,則Q是與又AcR第 18 題 . 已知下列四個(gè)命題： 很平的桌面是一個(gè)平面； 一個(gè)平面的面積可以是4 m 2 ； 平面是矩形或平行四邊形； 兩個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚其中正確的命題有（ ）A. 0個(gè) B . 1個(gè)C. 2個(gè) D. 3個(gè)答案：A.第 19 題 . 給出下列命題：和直線 a 都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平

21、面重合；兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.0 B . 1 C.2 D. 3答案：A.第20題.直線li / l2,在li上取3點(diǎn)，12上取2點(diǎn)，由這5點(diǎn)能確定的平面有（A. 9個(gè) B . 6個(gè) C. 3個(gè)D. 1個(gè)答案：D.第 21 題 . 三條直線相交于一點(diǎn)，可能確定的平面有（ ）A. 1個(gè) B . 2個(gè) C. 3個(gè)D, 1個(gè)或3個(gè)答案：D.第 22 題 . 下列命題中，不正確的是（ ）一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；每兩條都相交但不共點(diǎn)的四條直線一定共面；兩條相交直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩條互相垂直的直線共面A.與 B ,與 C.與 D.與答案：B.第 23 題 . 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（ ）A .異面直線B ,相交直線C .不相交直線D .不平行直線答案：D.G, H分別是四邊形 AABBi, CiCDD