橢圓2010-2019十年真題分類匯編

1、關(guān)注微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)貨專題九解析幾何第二十六講橢圓2019 年1. (2019全國(guó)I理10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為Fi( 1,0), F2(1,0),過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若 IAF2I 2|F2B|, |AB| |BF1|,則 C 的方程為2 x A.2y2 122x yD.2. (2019 全國(guó) II 理 21 (1)已知點(diǎn) A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn) M(x,y)滿足直線 AM與BM的斜率之積為-1 .記M的軌跡為曲線 C.2(1)求C的方程，并說(shuō)明 C是什么曲線;1 皿1 a b 0的離心率為一，則222，、一 ，一一 x y3. (2019北京理4)已知橢圓 七a b(

2、A) a2 2b2.(B) 3a2 4b2.(C) a 2b(D) 3a 4b2x4. (2019 全國(guó) III 理 15)設(shè) Fi, F2為橢圓 C:一 十 362y201的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形，則 M的坐標(biāo)為2010-2018 年、選擇題2 x1. (2018全國(guó)卷n )已知Fi , F2是橢圓C: 2 ab21(a b 0)的左，右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為 的直線上， PF1F2為等腰三角形,6F1F2P 120 ,則C的離心率為2.3.4.5.6.7.B.C.（2018上海）設(shè)2P是橢圓52y1上的動(dòng)點(diǎn),3P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距

3、離之和為A. 2.2B.2.3C. 2.5D. 4,2（2017浙江）橢圓（2017新課標(biāo)出）已知橢圓1的離心率是C.C：y b21(ab 0）的左、右頂點(diǎn)分別為 A , A2 ,且以線段 A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab（2016年全國(guó)III）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),B分別為C的左，右頂點(diǎn).（2016年浙江）已知橢圓Ci :點(diǎn)重合,A. mC. m0相切，則C的離心率為2xF是橢圓C:ay2b2n 且 e1e21n 且 e1e211（a b 0）的左焦點(diǎn)，A,P為C上一點(diǎn)，且PF，x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交若直線2 x -2 m2（2014福建）設(shè)P,Q分別為x的最大距離是BM經(jīng)過(guò)OE

4、的中點(diǎn)，則C的離心率為2C.一3D.1（ m 1）與雙曲線C2的離心率，則B. mD. mC2 :2x2y2 1 (n 0)的焦nn 且 e1e, 2_ x62和橢圓 y102 1上的點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)間A. 5、. 2 B. .46,2 C. 72 D. 6、2228（2013新課標(biāo)1）已知橢圓黑裊1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（11）,則E的方程為A 3=1A- 45 36B x2+黃=1以 36+ 27 1C."19. （2012新課標(biāo)）設(shè)F1、F2是橢圓E :2。1(a b b20）的左、右焦點(diǎn),P為直線A

5、、3a -上*屯-I-八、,212F2PF1是底角為30o的等腰三角形，則E的離心率為B、C、D、二、填空題10.（2018浙江）已知點(diǎn)P（0,1）,橢圓m(m1）上兩點(diǎn)AuurB滿足APuuu2PB ,則當(dāng)m =時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.11.（2018北京）已知橢圓22x yM：二一 1(a b a b2x0),雙曲線N： m2y彳 1.若雙曲線Nn的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為 ;雙曲線N的離心率為 . 22x y12. （2016江蘇?。┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，F(xiàn)是橢圓一2 七 1 a b 0的右焦 a b點(diǎn)，直線

6、y b與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，且 BFC 90 ,則該橢圓的離心率是 . 2Ay2213.（2015新課標(biāo)1） 一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓 1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在 x的正半軸上，則164該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22一 一.1x y一 ,、14. （2014江西）過(guò)點(diǎn)M（1,1）作斜率為一的直線與橢圓C： -2 12 1（a b 0）相交2a b于A,B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓 C的離心率等于 .2 215. （2014遼寧）已知橢圓C :1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若 M關(guān)于C的焦94點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為 A, B ,線段MN的中點(diǎn)在C上，則| AN | | BN | .2216. （2014江西）設(shè)橢圓C:與

7、 二 1a b 0的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2,作F2作x軸的垂 a b線與C交于A, B兩點(diǎn)，F(xiàn)B與y軸相交于點(diǎn)D ,若ADFB ,則橢圓C的離心率等于.217. （2014安徽）設(shè)F1F2分別是橢圓E：x2 -y2- 1（0 b 1）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的 b直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，若AF13BF1,AF2-軸，則橢圓E的方程為.22x y18. （2013福建）橢圓：二 三 1（a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2 ,焦距為2c .若 a b直線y J3 x c與橢圓 的一個(gè)交點(diǎn)M滿足 MF1F2 2 MF2F1,則該橢圓的離心率等于2219. （2012江西）橢圓 與與 1（a b

8、0）的左、右頂點(diǎn)分別是 A,B ,左、右焦點(diǎn)分別 a b是F1, F2 .若| AF1 |,| F1F2 |,| FB |成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 .2x 220. （2011浙江）設(shè)F1,F2分別為橢圓 一 y 1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A, B在橢圓上，若3ULirULLUF1A 5F2B ;則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.三、解答題2x 221.（2018全國(guó)卷I）設(shè)橢圓C： y 1的右焦點(diǎn)為F ,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩2點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線 AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： OMA OMB .22. (2018全國(guó)卷出)已知斜率為2 Xk的直線l與橢圓C

9、: 421交于A, B兩點(diǎn)，線3段AB的中點(diǎn)為M(1,m) (m 0).、r.1證明：k；uuu(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FPuuu uuuuuu uuuFA FB 0 .證明：| FA|, | FP | ,uuu| FB |成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.22XX_23. (2018天津)設(shè)橢圓1 (a b 0)的左焦點(diǎn)為F ,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離a b心率為，點(diǎn)3A的坐標(biāo)為(b,0)，且FB AB 6J2.(1)求橢圓的方程;24.(2)設(shè)直線l :AQPQkx(k5 2 . sin4(2017新課標(biāo)I)-.3B (1，£)，0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為 P ,且

10、l與直線AB交于點(diǎn)Q .AOQ (O為原點(diǎn))，求22已知橢圓C：勺* 1(aa bb 0),四點(diǎn) R(1,1), B(0,1)，F(xiàn)4(1,6)中恰有三點(diǎn)在橢圓2C上.求C的方程;F2A與直線F2B的斜率的和(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)F2點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn).若直線為1,證明：l過(guò)定點(diǎn).225.(2017新課標(biāo)n)設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M在橢圓C ： y2 1上，過(guò)M做x軸2uuu-uuuur的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足NP J2NM .(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線xuur3上，且OP26.(2017江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系2 x xOy中，橢圓E ： a2y2 1(a b 0

11、)的左、 b21右焦點(diǎn)分別為 F1 , F2,離心率為一，2兩準(zhǔn)線之間的距離為8 .點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)Fi作直線PFi的垂線li ,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線12 .(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l1，L的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).27.(2017天津)設(shè)橢圓知A是拋物線y228.2 x2 y b22 px(p1(a b 0)的左焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為A ,離心率為0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線1的距離為1 .2(I )求橢圓的方程和拋物線的方程;(n)設(shè)l上兩點(diǎn)P, Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線 AP與橢圓相交于點(diǎn) B (B異于點(diǎn)直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D .若4APD的面

12、積為,求直線AP的方程.22 x (2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E : a241ab 0的離心率為 bA),(I)求橢圓E的方程;uuirPQ 1 .證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線1過(guò)(n)如圖，動(dòng)直線l : y kix Y3交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC2的斜率為k2 ,且kik2旦,M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 4MC : ABe M的半徑為 MC , OS,OT是eM的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T .求 SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.22- x29. (2016年北東)已知橢圓C : a721(abb 0)的離心率為叵,2A(a,0) ,

13、B(0,b),O(0,0) , AOAB 的面積為 1.(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線 PA與y軸交于點(diǎn)M ,直線PB與x軸交于點(diǎn)N .求證：| AN | | BM |為定值.、一.一22230. (2015新課標(biāo)2)已知橢圓 C： 9x y m (m 0),直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為M .(I)證明：直線 OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(II)若l過(guò)點(diǎn)(m,m),延長(zhǎng)線段 OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊 3行？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由.22一31 . (2015北京)已知橢圓C ： x2

14、 y21ab 0的離心率為 上2 ,點(diǎn)P 0, 1和點(diǎn)a b2A m , n mw0都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M .(I )求橢圓C的方程，并求點(diǎn) M的坐標(biāo)(用m(n)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于X軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N .問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得 OQMONQ ?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.32.2X(2015安徽)設(shè)橢圓E的萬(wàn)程為 a221 a bb20，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,0 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,b點(diǎn)M在線段AB上，滿足BM2 MA,直線OM的斜率為-5 .10(I)求E的離心率e ；(n)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱

15、點(diǎn)33.34.為左、2彳1(a b 0)的離心率為Y3, b22的縱坐標(biāo)為7 ,求E的方程.222x y(2015山東)平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓 C ： 2y 1(a b 0)的離心率 a b右焦點(diǎn)分別是F1、F2 .以F1為圓心以3為半徑的圓與以 52為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.(I)求橢圓C的方程；22x y _(n)設(shè)橢圓E：二萬(wàn)1, P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y kx m 4a 4b交橢圓E于A, B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q .(i )求9Q|的值; |OP|(ii)求 ABQ面積的最大值.2 x (2014新課標(biāo)1)已知點(diǎn)A(0, 2),橢圓E：

16、aF是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為2P , O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I )求E的方程；(n )設(shè)過(guò)點(diǎn) A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求l的方 程.2 235. (2014浙江)如圖，設(shè)橢圓C -x2 -y2 1a b 0 ,動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn) a bP ,且點(diǎn)P在第一象限.(i)已知直線l的斜率為k ,用a,b, k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(n)若過(guò)原點(diǎn) O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn) P到直線l1的距離的最大值為 a b .36. (2014新課標(biāo)2)設(shè)Fi, F2分別是橢圓C：岑 22 1 a b 0的左，右焦點(diǎn)，M a b是C上一點(diǎn)且MF2與X軸垂直，直線 M

17、F1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N .(I)若直線 MN的斜率為j，求C的離心率；(n)若直線MN在y軸上的截距為2,且MN 5F1N,求a,b. 2237. (2014安徽)設(shè)Fi,F2分別是橢圓E:，g 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) Fi a b的直線交橢圓E于A, B兩點(diǎn)，| AF1 | 3| BF1 |(I)若 |AB| 4, ABF2 的周長(zhǎng)為 16,求 |AF2;3 (n)右cos AF2B -,求橢圓E的離心率.2x38.(2014山東)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C : ay23 1(a b 0)的離心率為,b2直線y x被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為勺匝5(I)求橢圓C的方程;(H

18、)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A , B兩點(diǎn)(A , B不是橢圓C的頂點(diǎn)).點(diǎn)D在橢圓C上，且AD AB ,直線BD與x軸、y軸分別交于 M , N兩點(diǎn).2_ x39. (2014湖南)如圖5,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線 C1 ：ai(i )設(shè)直線BD, AM的斜率分別為匕*2,證明存在常數(shù)使得kik2,并求出的值；(ii)求OMN面積的最大值. 2y 八、，3 1(Oi 0,bi 0)和橢圓 bi且以Ci的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)C2：2 上 1(a2b2 0)均過(guò)點(diǎn) Pl2/),a2b23焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.(I)求C1,C2的方程;uuu uuu uuu |OA OB| |AB|?證

19、明你的結(jié)論.2240. (2014四川)已知橢圓C： 5 4 1 ( a b 0)的焦距為 a b4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)(n)是否存在直線l ,使得l與C1交于A, B兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n )設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線X3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P, Q.(i)證明：OT平分線段PQ (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；(ii)當(dāng)|TF 1最小時(shí),求點(diǎn)T的坐標(biāo).|PQ|2241. (2013安徽)已知橢圓 C：22 -yr 1(a b 0)的焦距為4,且過(guò)點(diǎn)P(J2J3) . a b(I )求橢圓C的方程；(n)設(shè)Q(

20、xo, yo)(xoy00)為橢圓C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為 E.取點(diǎn)A(0, 2后，連接AE ,過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D .點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線 QG ,問(wèn)這樣作出的直線 QG是否與橢圓C 一定有唯一 的公共點(diǎn)？并說(shuō)明理由.42. (2013湖北)如圖，已知橢圓 Ci與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上, 短軸長(zhǎng)分別為2m, 2n (m n),過(guò)原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1, C2的四個(gè)交點(diǎn) 按縱坐標(biāo)從大到小依次為 A, B, C, D.記 , BDM和 ABN的面積分別為 S n和S2.第20題圖(I)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若& S2

21、 ,求的值;(n)當(dāng) 變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線I,使得&S2?并說(shuō)明理由.22離心率為,過(guò)點(diǎn)F且與x343. (2013天津)設(shè)橢圓當(dāng) 1(a b 0)的左焦點(diǎn)為F,a b軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為宓.(I )求橢圓的方程;(n )設(shè)A, B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于 C, Duuir uuir lult uun兩點(diǎn).若ACDB AD CB 8, 求k的值.2244.(2013山東)橢圓C:勺-y2- 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2 a b過(guò)Fi且垂直于x軸的直線被橢圓 C截得的線段長(zhǎng)為1.(I)求橢圓C的方程;F1PF2的

22、角平分(n)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1, PF2,設(shè)線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn) M m,0，求m的取值范圍;(出)在(n)的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線1 ,使得1與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).設(shè)直線 PFi,PF2的斜率分別為 八 .11k1,k2,若k 0,試證明為定 kk1kk2值，并求出這個(gè)定值.45.(2012北京)2X已知橢圓C ： a272 1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為一 .直線y2k(x 1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.(I)求橢圓C的方程;46.(n)當(dāng) AMN得面積為 近0時(shí)，求k的值.32 x (2013安徽)如圖，F(xiàn)i,F2分別是橢圓C ： +a2-y2-=l ( a b 0)的左、右焦點(diǎn)， A b是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)i A F2=60 °.(I)求橢圓C的離心率；(n)已知 AF1B的面積為40 J3,求a，b的值.22x y47. (2012廣東)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中