江蘇省金陵中學(xué)、丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)、無(wú)錫一中2020屆高三下學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(含附加題)

1、2020屆高三年級(jí)第二學(xué)期期初聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)試題I試題一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的 指定位置上)1 .已知集合 A= 1 , 2, 3, B = 2, 4,則 AU B=.2 .已知復(fù)數(shù)zi= 2+i ,z2=a+2i( i為虛數(shù)單位，a C R),若ziz2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .3 .函數(shù)f(x)=ln(x1)的定義域?yàn)?4 .某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為12, x, 10, 11, 9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則x的值為 .5 .已知拋物線y2 = 4x上一點(diǎn)的距離到焦點(diǎn)的距離為5,則這點(diǎn)的坐

2、標(biāo)為.6 .已知命題p： - 1<x- a<1,命題q： (x 4)(8x)>0,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a的取 值范圍是.7 .等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Si,若4a1，2a2, a3成等差數(shù)列，a1=1,則S7=.8 .函數(shù)f(x)是在R上的周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)0Vx<2時(shí)，f(x) = 2x,則f(7)=.9 .若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，記圓柱、球的表面積分別為 S1、S2,則9 : S2=.10 .在等月ABC中，已知底邊BC=2,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)且滿(mǎn)足 EB=2AE,1若BD AC=2,則 EC AB=.11 .已知函

3、數(shù)f(x)=-x2+ax+b (a, bCR)的值域?yàn)?一,0,若關(guān)于x的不等式f(x)>c 1的解 集為(m 4, m),則實(shí)數(shù)c的值為 .12 .在銳角 ABC中，已知sinC=4cosAcosB,則tanAtanB的最大值為 .13 .在4ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, ZABC=120° , / ABC的平分線交 AC于 點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為 .14 .設(shè)函數(shù)f(x) = ax+ sinx+ cosx.若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A, B,使得曲線y=f(x)在點(diǎn)A, B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 二、解答

4、題(本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15 .（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在三棱錐 ABCD中，E, F分別為棱 BC, CD上的點(diǎn)，且 BD/平面 AEF.（1）求證：EF /平面ABD;AEFL平面 ACD.（2）若BDXCD, AEL平面BCD,求證：平面16.（本小題滿(mǎn)分14分）4在AABC中'內(nèi)角A' B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, c0sB = 4.若c=2a,求黑的值;(2)若 CB = j,求 sinA 的值.17 .（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，某城市有一塊半徑為 40 m的半圓形綠化區(qū)域

5、（以 。為圓心，AB為直徑），現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其 進(jìn)行改建.在 AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) D, OD = 80 m,在半圓上選定一點(diǎn) C,改建后的綠化區(qū)域由扇形 區(qū)域AOC和三角形區(qū)域 COD組成，其面積為 S m2.設(shè)/ AOC=x rad.（1）寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S（x）,并指出x的取值范圍；（2）試問(wèn)/ AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.18 .(本小題滿(mǎn)分16分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓E: x2+ y2= 1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)1,理,其離心率等于 當(dāng) a b22(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A, B分別是橢圓E的左，右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M滿(mǎn)足MB LAB,

6、且MA交橢圓E于點(diǎn)P.UUU uuuu求證：OP OM為定值；設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q,求證：直線 MQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn).19 .(本小題滿(mǎn)分16分)1 C.已知函數(shù) f(x)=2ax2+lnx, g(x) = bx,設(shè) h(x) = f(x)g(x).2一什,(1)若f(x)在x=-處取得極值，且f'(1) = g(1) 2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a= 0時(shí)，函數(shù)h(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn) x1，x2 .求b的取值范圍；求證：x1 x2>e2.20.(本小題滿(mǎn)分16分)已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列 an的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列

7、，且滿(mǎn)足 S5= 2a4+ as, a9= a3+ a4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若amam+i=am+2,求正整數(shù) m的值；S(3)是否存在正整數(shù) m,使得，m_恰好為數(shù)列an中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的S2 m 1m值，若不存在，說(shuō)明理由.2020屆高三年級(jí)第二學(xué)期期初聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)試題命題單位：丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)審核單位：金陵中學(xué)無(wú)錫一中n試題21 .【選做題】在 A、B、C三小題中只能選做 2題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū) 域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.選修4 2:矩陣與變換3 0設(shè)a, bCR.若直線l： ax+ y7=0在矩陣A=,

8、一對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的直線為1':1 b9x+y 91 = 0.求實(shí)數(shù)a, b的值.B.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1：，+5 ' （t為參數(shù)），與曲線C: X=4k2' （k為參數(shù)）交4、'y=4ky=5t于A, B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).C .選修45:不等式選講已知x ycR，且卜+竭，|xy號(hào) 求證：|x+5y0 .【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.22 .(本小題滿(mǎn)分10分)某中學(xué)有4位學(xué)生申請(qǐng)A, B, C三所大學(xué)的自主招生.若每位學(xué)生

9、只能申請(qǐng)其中一所大學(xué)，且 申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的.(1)求恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)的概率；(2)求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù) X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).23 .(本小題滿(mǎn)分10分)n2n ,2n 122n 1-* 、一 .已知 1 x a0a1x a2x a2n1x, n N .記 Tn 2k 1 an k .k 0(1)求T2的值;(2)化簡(jiǎn)Tn的表達(dá)式，并證明：對(duì)任意的 n NTn都能被4n 2整除.一、填空題指定位置上）期初聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)I試題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的1. 1 , 2, 3, 46. 5, 711

10、.-32. - 13. (1 , + 8)7. 1278.-212. 413. 94. 85. (4, ±4)49, 3： 210. 314. -1, 1二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15 .（本小題滿(mǎn)分14分）解：（1）因?yàn)锽D/平面 AEF, BD 平面BCD,平面 AEF n平面BCD = EF,所以BD / EF . 3分因?yàn)锽D 平面 ABD, EF 平面 ABD ,所以EF/平面 ABD. 6分(2)因?yàn)?AEL平面 BCD, CD 平面BCD ,所以AEXCD. 8分因?yàn)?BDCD,

11、BD/ EF,所以 CDLEF, 10分又AEAEF = E, AE 平面AEF , EF 平面AEF,所以CD，平面 AEF. 12分又CD 平面ACD,所以平面 AEFL平面 ACD. 14分16 .（本小題滿(mǎn)分14分）解：（1）解法1：在 ABC 中，因?yàn)?cosB = 4,所以 a =4. 2分52ac 5(*c2-b22因?yàn)閏= 2a,所以工=-,即b2=2,所以b = 3強(qiáng).4分2cxl5 c 20 c 10sinB b sinB 3. 5又由正弦里得菽二，所以標(biāo)=卷 解法2:因?yàn)?cosB = 5, BC(0, 明 所以 sinB = qi - cos2B = 1. 2分因?yàn)閏=

12、 2a,由正弦定理得 sinC=2sinA,所以 sinC= 2sin(B+C) = 6cosC+8sinC,即一sinC = 2cosC. 55又因?yàn)?sin2o+ cos2C= 1, sinC>0,解得 sinC：2,所以萼=曜6分SinC 10(2)因?yàn)?cosB = ,所以 cos2B = 2cos2B1 = 1. 525又 0vBv 兀，所以 sinB = 1 cos2B = |,所以sin2B= 2sinBcosB=2 竊=2410分14分因?yàn)?CB=4，即 C= B+ j,所以 A= tt- (B+ C) = 4- 2B, 所以 sinA=sin(3 2B) = sin3o

13、s2B cos3sin2B = 3.4445017 .（本小題滿(mǎn)分14分）解：（1）因?yàn)樯刃?AOC的半徑為40 m, /AOC=x rad, 一xOA2所以扇形 AOC的面積S扇形aoc= -2 = 800x, 0VxV兀.在COD 中，OD = 80, OC=40, /COD=ti x,1.所以 S cod = 2 OC OD sin Z COD = 1600sin( fx)= 1600sinx. 4分從而 S= Sacod + S扇形 Aoc=1600sinx+800x, 0<x< it. 6分(2)由(1)知，S(x)= 1600sinx+800x, 0<x<

14、冗1一八S x)= 1600cosx+ 800= 1600(cosx + 2). 8 分由 S'x)=0,解得 x=2-s.從而當(dāng)0vxvS'x)>0;當(dāng)gvxv 兀時(shí)，S'x)v0 .3因此ax）在區(qū)間（0,2力上單調(diào)遞增；在區(qū)間（,，可上單調(diào)遞減. 11分所以當(dāng)x=-，S（x）取得最大值.答：當(dāng)/ AOC為2：陽(yáng)，改建后的綠化區(qū)域面積S最大. 14分18.（本小題滿(mǎn)分16分）1解：（1）由題得 a32孑221, c c ca2且c a b,解得b24,2,所以橢圓E的方程為2 X +42上=1.2(2)設(shè) M(2, y。)，P(x1,y3直線MA的方程為y當(dāng)，

15、代入橢圓得12y。82y02X由2xi24 y。2y。8得 8y； 8Xi2y08yi8yo2y。UUIL 所以O(shè)PULUUlOM22 y02-V。8y0-2V。 8(2yo)24 y°2y0828y0-2V。 810分直線MQ過(guò)定點(diǎn)0(0, 0),理由如下:由題得8y。kykPB22 y。2812分2V。由MQPB 得 kMQy。2則MQ的方程為yyol(x2),即 y yx,14分所以直線MQ過(guò)定點(diǎn)0（00) 16分19.（本小題滿(mǎn)分16分）解：（1）因?yàn)閒 （x）1,ax 一，所以 f (1) a 1 , x由 f （1） g（ 1） 2可彳導(dǎo) a b 3.又因?yàn)閒（x）在x

16、Y2處取得極值，所以f （金）互a無(wú)。, 222所以a 2, b 1. 2分所以h（x） x2 lnx x,其定義域?yàn)椋?,）. 2一1 , 2x x 1(2x 1)(x 1)h(x) 2x - 1 =-,xxx1. .令 h(x)。得 x1-,x2 1,當(dāng) x (0,1)時(shí)，h(x)>0,當(dāng) x (1,)時(shí),2所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)增，在區(qū)間(1,)上單調(diào)減. h (x)<0 ,4分(2)當(dāng)a 0時(shí)，h(x) ln x bx ,其定義域?yàn)?0,).In x In xIn x 1由h(x) 0得b ,記 (x),則 (x) 一L，xxxIn x所以(x)在(0,e)

17、單倜減，在(e,)單倜增，x所以當(dāng)x e時(shí)，(x)1nx取得最小值1. 6分xe又(1) 0,所以 x (0,1)時(shí)，(x) 0,而 x (1,)時(shí)，(x) 0,1所以b的取值范圍是(,0). 10分e注：此處需用零點(diǎn)存在定理證明，如考生未證明，此問(wèn)最多不超過(guò) 3分.由題意得1n x1bx10,1n x2所以 In x1x2 b(x1x2) 0,1n x2 1nxi b(x2 x1) 0,所以In x1x2In x2In x1xx2x2x112分x1x2(In x2In x1) 2 , x2x1不妨設(shè)x1<x2,要證 為% e2,只需要證In x1x2即證 In x2 In x1 (xx

18、2(m2 1) . 14 分x2 x設(shè) t1),貝U F(t) Int 2(t 1) Int 2,x1t 1t 1所以F(t) 1(E 0,函數(shù)F(t)在(1,)上單調(diào)增,t (t 1)2t(t 1)2而 F(1) 0,所以 F(t) 0,即 int 2(t 1) , t 1所以 x1x2 e* om 12 _ m 1. 16分20.(本小題滿(mǎn)分16分)斛：(1)設(shè)a1, a3, a5, , a2k 1的公差為d , a2 ,a4，a6, a2k的公比為q ,貝U aa9q2q,a,a.d 1 d, aQ1 4d423I9S52a4 a§a4S3d2由 5454, 2分a9a3 a4

19、a14da1d 2q q3n,n為奇數(shù)所以ann. 4分2 32 1,n為偶數(shù)(2)若 m 2k 1(k N ),貝U (2k 1) 2 3k 1 2k 12 3k 11 22k 1因?yàn)? 3k 1為正整數(shù)，所以 2為正整數(shù)，2k 1即2k 1 1 k 1 ,此時(shí)2 30 3,不成立，舍去.6分若 m 2k(k N ),則 2k 1 3 k 1, m 2,成立，綜上，m 2 . 8分-S2m-為正整數(shù),S2m 1.S .一-(3)若，m-為an中的一項(xiàng)，則S2m 1若3因?yàn)?S2m 1(a1a3a2m 1 )(a? a4a2m 2 )10分m(1 2m 1) 型3m1m2 1,23 1Sc所以

20、-S2m-S2m 1S2m 1 a2mS2m12(m2 1)3m 1m2 13,S12分故若-L為an中的某一項(xiàng)，只能為 a1,a2,a3.S2m 12 33m21)23m11m20m2,3m 1 3m(m2)3m21m1, 15分3m 1綜上，m 1或m 2. 16分n試題21 .【選做題】在 A、B、C三小題中只能選做 2題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.選修4-2:矩陣與變換解：在直線 l: ax+y7=0 取點(diǎn) A(0, 7), B(1, 7-a).因?yàn)?3 00 = 03 01=3-1 b 7 7b '1 b

21、7-a b(7 a)1所以A, B在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下分別得到點(diǎn)A'(0, 7b), B'(3, b(7-a)-1).由題意，知 A', B'在直線l': 9x+y91 = 0上,所“人 ZU二a')-1-910.解得 a= 2, b=13. 10分B.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：直線l的參數(shù)方程化為普通方程得將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得聯(lián)立方程組:二；4,解得;=44x 3y= 4, 2 分y2= 4x. 4分1 或 x=4，y=- 1 .1所以 A(4, 4), B(-, 1). 8分4所以AB = §. 10分4C .選

22、修45:不等式選講證：因?yàn)?|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. 5分由絕對(duì)值不等式性質(zhì)，得 |x+5y|=|3(x+y)2(xy)|g3(x+ y)|+ |2(x-y)| = 3|x+y|+2-y|<3 ><6+2X4= 1 .10分即 |x+5y| 司.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出 文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.22.（本小題滿(mǎn)分10分）解：（1）記“恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)”為事件A,P(A) =C42 X22 243481827,答：恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)的概率為27（2） X的所有可能值為1, 2, 3.

23、31p(x=1)=3z= 27,42 1487=27,C43><A32+3>A32P(X = 2)=34=P(X = 3) =C42><A3336 481 = 9所以X的概率分布列為:工14427279所以X的數(shù)學(xué)期望 E(X)=1 +23+3>4=變. 10分27279 2723.（本小題滿(mǎn)分10分）斛：(1) T2 a2 3a 5a0_21_0C5 3c5 5c530 .(2)n 1 kn 1 k C2n 12n 1 !n 1 k ! n k2n 1 2nn k ! n kn k2n 1 C2nTn2k 1 an kk 02k 1 C2nk1k 02kC

24、2n1nn 1 kn 1 k2n 1 C2nl2 n 1 k C2n 1k 0nn 1 k2n 1 C2n 1k 0nn k2 2n 1 C2nk 0n 1cn 1 k2n n2n 1C2n 12 2n 12C2nk 021 2n 1n2n 12 2n 1 C2n2Tn2n 1 Cnn2n2n 1C2n2 2n 1 C2nl. Cnn 1 N*,Tn能被4n 2整除.10分金陵中學(xué)、丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)、無(wú)錫一中2020屆高三年級(jí)第二學(xué)期期初聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)試題點(diǎn)評(píng)與參考答案I試題一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的 指定位置上)1 .已知集合 A=

25、1 , 2, 3, B = 2, 4,則 AU B=.【點(diǎn)評(píng)】集合并集的運(yùn)算，簡(jiǎn)單題?！敬鸢浮?. 1, 2, 3, 42 .已知復(fù)數(shù)Z1= 2+i, Z2= a+2i (i為虛數(shù)單位，aCR),若Z1Z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)的概念，簡(jiǎn)單題。此題源自于南京二模改編。【答案】2. 13 .函數(shù)f(x)=ln(x1)的定義域?yàn)?【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的定義域，簡(jiǎn)單題?！敬鸢浮?. (1, + 8)4 .某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為12, x, 10, 11, 9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,則x的值為 .【點(diǎn)評(píng)】平均數(shù)與方差的計(jì)算，簡(jiǎn)單題。此題為改編題。【答案

26、】4. 85 .已知拋物線y2 = 4x上一點(diǎn)的距離到焦點(diǎn)的距離為5,則這點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)評(píng)】拋物線的性質(zhì)，簡(jiǎn)單題。注意上下兩個(gè)點(diǎn)，學(xué)生容易出錯(cuò)。【答案】5. (4, ±4)6 .已知命題p： 1<x a<1,命題q： (x 4)(8x)>0,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是.【點(diǎn)評(píng)】邏輯用語(yǔ)，中等題。此題為改編題?！敬鸢浮?. 5, 77 .等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為若4ai, 2a2, a3成等差數(shù)列，ai=1,則S7=.【點(diǎn)評(píng)】等比數(shù)列公式的考查，中等題?！敬鸢浮?. 1278 .函數(shù)f(x)是在R上的周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<2時(shí)

27、，f(x) = 2x,則f(7)=.【點(diǎn)評(píng)】奇函數(shù)與周期函數(shù)的性質(zhì)，中等題?！敬鸢浮?.-29 .若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，記圓柱、球的表面積分別為 Si、S2,則S:S2=.【點(diǎn)評(píng)】空間幾何體相關(guān)量的計(jì)算，中等題?！敬鸢浮?. 3： 210 .在等月ABC中，已知底邊BC=2,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)且滿(mǎn)足 EB=2AE,一一 1 T 一若BD AC=2,則 EC AB=.【點(diǎn)評(píng)】向量的相關(guān)運(yùn)算，中等題。此題為改編題。4【答案】10. 311 .已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+b (a, bCR)的值域?yàn)?一,0,若關(guān)于x的不等式f(x)>c 1的解集為(m

28、4, m),則實(shí)數(shù)c的值為 .【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)值域與不等式的簡(jiǎn)單綜合，中等題。此題為改編題。【答案】11. 312 .在銳角 ABC中，已知sinC=4cosAcosB,則tanAtanB的最大值為 一【點(diǎn)評(píng)】以正切為切入點(diǎn)的最值問(wèn)題，中等題。此題有較多變式，后續(xù)教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注?！敬鸢浮?2. 413 .在4ABC中，角A,B, C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=120°, / ABC的平分線交 AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.【點(diǎn)評(píng)】三角形中的最值問(wèn)題，中等題?！敬鸢浮?3. 914 .設(shè)函數(shù)f(x) = ax+ sinx+ cosx.若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的

29、兩點(diǎn)A, B,使得曲線y=f(x)在點(diǎn)A, B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，以切線為切入點(diǎn)，難題。此題源自南京二模?！敬鸢浮?4. 1, 1【填空題總評(píng)】 本次考試填空題難度不大，關(guān)注基本點(diǎn)的考查，考生在本部分如低于60分，需要加強(qiáng)相關(guān)基本題的訓(xùn)練。此外，本次填空有多題為各市前幾年的二模真題或改編題，難度略低，但考點(diǎn)覆蓋較全面，針對(duì)近兩年難度的下降，填空題難度的下降也會(huì)成為趨勢(shì)。二、解答題(本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi))15 .(本小題滿(mǎn)分14分)如圖，在三棱錐 ABCD中，E, F分

30、別為棱 BC, CD上的點(diǎn)，且 BD/平面 AEF.(1)求證：EF /平面ABD;(2)若BDXCD, AEL平面 BCD,求證：平面 AEF，平面 ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，簡(jiǎn)單題。在閱卷時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格按照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行閱卷。對(duì)于考生在此部分答題的不規(guī)范，應(yīng)嚴(yán)格判分?！敬鸢浮拷猓?1)因?yàn)锽D/平面 AEF, BD 平面BCD,平面 AEF n平面BCD = EF,所以BD / EF . 3分因?yàn)锽D 平面 ABD, EF 平面 ABD ,所以EF/平面 ABD. 6分(2)因?yàn)?AEL平面 BCD, CD 平面BCD ,所以AEXCD. 8分因?yàn)?BDCD

31、, BD/ EF,所以 CDLEF, 10 分又AEAEF = E, AE 平面 AEF , EF 平面AEF,所以 CD，平面 AEF又CD 平面ACD,所以平面 AEFL平面 ACD. 14分16 .(本小題滿(mǎn)分14分)在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c, cosB = 4.(1)若 c=2a,求 sinB的值；sinC(2)若 CB = 求 sinA 的值.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理與余弦定理，三角函數(shù)的相關(guān)運(yùn)算，中等題。注意考生的答題規(guī)范?！敬鸢浮拷猓?1)解法1：在 AABC 中，因?yàn)?coSB =5,所以 a +2.b =4因?yàn)閏= 2a,所以鏟+ c2

32、b2c 2c><24,4喝所以b=嚕又由正弦定理得sinB b sinB 3,5snC=c，所以菽=10.解法2:因?yàn)閏osB = 4, 5BC(0,句，所以 sinB = 11 cos2B = -.因?yàn)閏= 2a,由正弦定理得 sinC=2sinA,所以68 一sinC=2sin(B+C15cosc+5sinC，即一sinC=2cosC-又因?yàn)?sin2C+cos2C= 1, sinC>0,解得 sinC = 255所以sn旦=3后 sinC 10(2)因?yàn)?c0sB = 4,所以 3弟=23七1 = 25.又 0vBv Tt,所以 sinB = yj 1 cos2B =-

33、, 5所以sin2B= 2sinBcosB= 23x5 = 24.10分因?yàn)樗訡- B= 4,即 C=B+j,所以 A= l (B+ C)= 4 2B,sinA= sin(3 2B) = sin-2cos2B-cos-rSin2B = 3-2. ,4445014分17 .(本小題滿(mǎn)分14分)AB為直徑)，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其如圖，某城市有一塊半徑為 40 m的半圓形綠化區(qū)域(以 O為圓心,進(jìn)行改建.在 AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) D, OD = 80 m,在半圓上選定一點(diǎn) C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域 COD組成，其面積為 S m2.設(shè)/ AOC=x rad.(1)寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式

34、S(x),并指出x的取值范圍;(2)試問(wèn)/ AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值.【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用題，以三角函數(shù)為基底進(jìn)行考查，中等題。此題源自南京市零模，難度不大。在高考 中，預(yù)測(cè)應(yīng)用題也會(huì)以三角函數(shù)為基底進(jìn)行考查，關(guān)注導(dǎo)數(shù)或不等式。解：（1）因?yàn)樯刃?AOC的半徑為40 m, /AOC=x rad,x OA2所以扇形 AOC的面積S扇形aoc=-2= 800x, 0VxV兀.在ACOD 中，OD = 80, OC=40, /COD=ti x1所以 S cod = 2 OC OD sin/COD = 1600sin( fx)= 1600sinx.從而 S= S；acod+ S扇形aoc

35、= 1600sinx+800x, 0vxv 兀(2)由(1)知，S(x)= 1600sinx+800x, 0<x< 冗1.S x)= 1600cosx+ 800= 1600(cosx + 2).由 S'x)=0,解得 x=2-5.從而當(dāng)0VXV,S'x)>0；當(dāng) xv 兀時(shí)，S'x)v0 .（第17題）因此ax）在區(qū)間（0,2力上單調(diào)遞增；在區(qū)間（穹，可上單調(diào)遞減.11分所以當(dāng)x=2, S（x）取得最大值.答：當(dāng)/ AOC為制，改建后的綠化區(qū)域面積 S最大.14分18.（本小題滿(mǎn)分16分）2在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓E:今2.b2= 1(a&

36、gt;b>0)過(guò)點(diǎn) 1,當(dāng),其離心率等于3（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;P.（2）若A, B分別是橢圓E的左，右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M滿(mǎn)足MB LAB,且MA交橢圓E于點(diǎn)UUU uuuu求證：OP OM為定值;設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為 Q,求證：直線 MQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)評(píng)】本題考查解析幾何，關(guān)注向量的運(yùn)算，在二模中屬于熱度題，中等題。定點(diǎn)定值題，一定 要算到底，注意方法優(yōu)化，本題應(yīng)注意一題多解。【答案】3工E 1解：（1）由題得 a2 b2 '且c2c a 2a2 b2,解得b24,2,22所以橢圓E的方程為上+匕=1 .42(2)設(shè) M(2, y0), P(x1,y3直線MA的

37、方程為y當(dāng)，代入橢圓得12 y0 "8"由2xi24 V。2-y08得 8Xiy028y028yi8y°-2-y0UUIL 所以O(shè)PULUUlOM22 y02-V。8y°-2V。8(2yo)24 y°2y0828y0-2V0 810分直線MQ過(guò)定點(diǎn)0(0, 0),理由如下:由題得2 y022- y08y°y0288 2 82V。'12分由MQPB 得 kMQy02"，則MQ的方程為yy0號(hào)(x14分所以直線MQ過(guò)定點(diǎn)0(0, 0).16分19.(本小題滿(mǎn)分16分)1 c已知函數(shù) f(x)= 2ax2+ lnxg(x)

38、 = bx,設(shè) h(x) = f(x)g(x).42,.(1)若f(x)在x=處取得極值，且f'(1) = g(1) 2,求函數(shù)h(x)的單倜區(qū)間;(2)若a=。時(shí)，函數(shù)h(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn) x1，x2.求b的取值范圍;求證：x1 x2>e2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，中等題。零點(diǎn)問(wèn)題注意零點(diǎn)存在定理的使用，如不使用得分會(huì)較低。 第三問(wèn)考查點(diǎn)較為基礎(chǔ)，在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)注意這類(lèi)題的證法。在高考中，不會(huì)再出現(xiàn)這樣的陳 題、舊題，但這樣的方法與思想應(yīng)該牢牢把握。3.1解：(1)因?yàn)?f (x) ax -，所以 f (1) a 1 ,由 f (1) g( 1) 2可得 a b x

39、又因?yàn)閒(x)在x迎處取得極值，所以f (Y2) a品0, 222(2x 1)(x 1)x所以a 2,b 1. 2分 o12x2 x 1所以 h(x) x In x x,其 te 義域?yàn)?0,). h(x) 2x - 1 =xx1令 h (x) 0 倚 x-,x2 1 ,當(dāng) x (0,1)時(shí)，h (x)>0，當(dāng) x (1,)時(shí)，h (x)<0 ,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)增，在區(qū)間(1,)上單調(diào)減. 4分(2)當(dāng)a 0時(shí)，h(x) ln x bx ,其定義域?yàn)?0,).In x ，、In xIn x 1由h(x) 0得b -，記 (x),則 (x) ,xxx所以(x)

40、叱在(0,e)單調(diào)減，在(e,)單調(diào)增， x所以當(dāng)x e時(shí)，(x)叱取得最小值1. 6分xe又(1) 0,所以 x (0,1)時(shí)，(x) 0,而 x (1,)時(shí)，(x) 0,1所以b的取值范圍是(1,0) . 10分e注：此處需用零點(diǎn)存在定理證明，如考生未證明，此問(wèn)最多不超過(guò)3分.由題意得 1nxibx10,ln x2bx20,所以 1nxix2b(x1x2)0,lnx21nxib(x2x1) 0 ,所以In x1 x2In x2In x1xx2x2x112分不妨設(shè) x1<x2,要證 X& e2,只需要證 In xtx2 xx2(1n x2 lnx1)2 ,x2 x即證 1nx2

41、 1nx12(x2 x1) . 14分x2 x設(shè) t 9(t 1),貝U F(t) Int 2(t 1) Int 2, x1t 1t 1所以 F (t) 1t (t1)2而 F(1) 0 ,所以 F(t)0,即 int 20,t 12(t 1), 0,函數(shù)F(t)在(1,)上單調(diào)增, t(t 1)2綜上，m 2.8分所以 x1x2 e2. 16分20.(本小題滿(mǎn)分16分)已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為數(shù)列 an的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等 比數(shù)列，且滿(mǎn)足 Ss= 2a4+a5, a9=a3+a4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若 amam+1=am+2,求正整數(shù) m的值；(3

42、)是否存在正整數(shù) m,使得-Sm-恰好為數(shù)列an中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的S2 m 1m值，若不存在，說(shuō)明理由.【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合，難題。前兩問(wèn)較基礎(chǔ)，注重公式的考查，第三問(wèn)對(duì)于考生的 解題思維有較大挑戰(zhàn)，不求滿(mǎn)分，只求多得分?！敬鸢浮拷猓?1)設(shè) a1，a3, a5,a2k1的公差為 d, a2,a4,a6, a2k的公比為q,則 a,a?q 2q,a3a1 d 1 d, a91 4dS52a4 a5a3 a4a4 S3d 2a1 4d a1d 2q q 3n,n為奇數(shù)所以ann. 4分2 32 1,n為偶數(shù)k 1k 12(2)若 m 2k 1(k N ),貝U (2

43、k 1) 2 3 2k 12 31 2k 12因?yàn)? 3 為正整數(shù)，所以 為正整數(shù)，2k 1即2k 1 1 k 1 ,此時(shí)2 30 3,不成立，舍去.6分若 m 2k(k N),則 2k 1 3 k 1, m 2,成立，S2m為正整數(shù),S2m 1因?yàn)?S2m 1 (a1a3a2m 1 )(a2aa2m 2 )m(1 2m 1)2(3m1 1)3 13m10分所以S2mS2m 1S2m1a2m322(m2 1)故若若S2m13m 1Sm-為an中的某一項(xiàng), S2m 1只能為ai, a2 ,a3 .12分_232(m1)3m 1 m2_22(m1)c m 1243 m 13m 1 1綜上,2(m2

44、 1)m 12/3 m 115分m 1或 m 2.16分（3）若_S2m_為an中的一項(xiàng)，則S2m 14分【解答題總評(píng)】本次解答題難度中等，涉及考點(diǎn)較全面。在本次作答過(guò)程中，考生應(yīng)注意對(duì)答題思 維的培養(yǎng)與答題規(guī)范的重視，不應(yīng)拘泥于分?jǐn)?shù)的高低。n試題21 .【選做題】在 A、B、C三小題中只能選做 2題,每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.選修4-2:矩陣與變換設(shè)a, bC R.若直線l: ax+ y 7= 0在矩陣A=3 0.對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的直線為l：1 b9x+y 91 = 0.求實(shí)數(shù)a, b的值.【點(diǎn)評(píng)】考查矩陣與變換，簡(jiǎn)單題。解：在直線 l: ax+y7=0 取點(diǎn) A(0, 7), B(13 .b(7-a)-1、3 0003 01-1b 7 7b '-1 b 7-a所以A,