第三章差分方程方法

1、第三章差分方程方法3.1差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性設(shè)有未知序列 xn ,稱F(n；Xn,Xni,Xnk) 0(3.1)為k階差分方程。若有xn x(n),滿足F(n; x(n), x(n 1), , x(n k) 0則稱xnx(n)是差分方程(3.1)的解，包含k個任意常數(shù)的解稱為(3.1)的通解，X0,X1,Xk1為已知時，稱其為(3.1)的初始條件，通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(3.1)的特解。形如xn k a(n)xnk1ak(n)xnf (n)(3.2)的差分方程，稱為 k階線性差分方程。ai(n)為已知系數(shù)，且ak(n)0。若差分方程(3.2)中的f(n) 0,則稱差分

2、方程(3.2)為k階齊次線性差分方程，否則 稱為k階非齊次線性差分方程。若有常數(shù)是差分方程(3.1)的解，即F(n； , , , ) 0,則稱是差分方程(3.1)的平衡點，又對差分方程(3.1)的任意由初始條件確定的解xn x(n),都有xn(n ),則稱這個平衡點是穩(wěn)定的。若X0,X1, ,Xk1已知，則形如 xn kg(n;xn,xn 1, ,Xn k 1)的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn)。下面給出理論上需要的一些特殊差分方程的解。一階常系數(shù)線性差分方程xn 1xn b ,(3.3)(其中 2為常數(shù)，且 1,0)的通解為xnC( )n b (a 1)(3.4)易知b/(1)是方程(3.3)

3、的平衡點，由(3.4)式知，當(dāng)且僅當(dāng) 1時，b( 1)是穩(wěn)定的平衡點。二階常系數(shù)線性差分方程Xn 2Xn i bXnr ,(3.5)其中a,b,r為常數(shù)，當(dāng)r 0時，它有一特解x 0；當(dāng)r 0,且a b 1 0時，它有一特解Xr/(a b 1)。不管是哪種情形，X是方程(3.5)的平衡點。設(shè)方程(3.5)的特征方程2 a b 0的兩個根分別為1,2，則當(dāng)1,2是兩個不同實根時，方程(3.5)的通解為Xn X* Ci( i)n C2( 2)n；當(dāng)1,2是兩個相同實根時，萬程 (3.5)的通解為Xnx (C1 C2n) n ；當(dāng)1,2 (cos isin )是一對共軻復(fù)卞P寸，方程 (3.5)的通

4、解為* nXn x(C1 cosnC2sinn )一* 一 >，.、 一一 一一* . *易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征萬程的任一特征根i 1時，平衡點X是穩(wěn)定的。二階方程的上述結(jié)果可以推廣到k階線性方程，即k階線性方程平衡點穩(wěn)定的條件是特征方程白根i(i 1,2,k)均滿足：i 1 ,即均在復(fù)平面上的單位圓內(nèi)。下面討論一階非線性差分方程Xn 1f(Xn)(3.6)，一，一、一，> * *的平衡點的穩(wěn)定性。其平衡點X由代數(shù)方程X f(x)解出，為分析平衡點X的穩(wěn)定性，將*萬程(3.6)的右端f(Xn)在X點作泰勒展開，只取一次項，(3.6)近似為_ * * * _ * _Xn 1f (X )(

5、XnX ) f (X )(3Q*(3.7)是(3.6)的近似線性萬程，X也是(3.7)的平衡點。關(guān)于線性方程平衡點穩(wěn)定的條件上面已給出，而當(dāng) f (X )1時，方程(3.6)與(3.7)平衡點的穩(wěn)定性相同。于是得到，當(dāng)_ '* . I . *. ._ '* .f (X )1時，對于非線性方程(3.6) , X是穩(wěn)定的；當(dāng)f (X )1時，對于方程6),* 一 .一 、一X是不穩(wěn)止的。3.2市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型在自由貿(mào)易的集市上你注意過這樣的現(xiàn)象嗎？ 一個時期由于豬肉的上市量遠(yuǎn)大于需求，銷售不暢導(dǎo)致價格下降，農(nóng)民覺得養(yǎng)豬賠錢， 于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其它農(nóng)副業(yè)。過一段時間后豬肉上市量大減，

6、供不應(yīng)求導(dǎo)致價格上漲，原來的飼養(yǎng)戶看到有利可圖，又重操舊業(yè)。這樣下一個時期會重視供大于求、價格下降的局面，在沒有外界干擾的情況下，這種現(xiàn)象將如此循環(huán) 下去。在完全自由競爭的市場經(jīng)濟(jì)中上述現(xiàn)象通常是不可避免的，因為商品的價格是由消費者的需求關(guān)系決定的，商品數(shù)量越多價格越低。而下一時段商品的數(shù)量由生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系決 定，商品價格越低生產(chǎn)的數(shù)量就越小。這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場經(jīng)濟(jì)中商品的價格 和數(shù)量必然是振蕩的。這種振蕩越小越好，如果振蕩太大就會影響人們?nèi)罕姷恼Ｉ睢，F(xiàn)在我們用差分方程建模，討論市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件，再用圖形方法建立“蛛網(wǎng)模型”對上述現(xiàn)象進(jìn)行分析，對結(jié)果進(jìn)行解釋，然后作適當(dāng)

7、推廣。記第n時段商品數(shù)量為Xn,價格為yn, n 1,2,。這里我們把時間離散化為時段，1個時段相當(dāng)于商品的1個生產(chǎn)周期，如蔬菜、水果可以是一年，肉類則是1個飼養(yǎng)周期。在n時段商品的價格yn取決于數(shù)量xn ,設(shè)y f (Xn) o它反映消費者對這種商品的需求關(guān)系，稱需求函數(shù)。因為商品的數(shù)量越多價格越低，所以在圖3-1中用一條下降曲線 f表示它，f為需求曲線。在n 1時段商品的數(shù)量 xn 1由上一時段價格 yn決定，用xn1 g(yn)表示，它反映生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系，稱為供應(yīng)函數(shù)。因為價格越高生產(chǎn)量才越大，所以在圖圖4-1需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)3-1中供應(yīng)曲線g是一條上升曲線。設(shè)圖3-1中兩條曲線f和

8、g相交于Po(xo, yo)點，在Po點附近取函數(shù)f和g的線性近似，即需求函數(shù)(f): yn yo(xn xo) ,0(3.8)供應(yīng)函數(shù)(g)： xn 1 xo(yn yo),0(3.9)由式(3.8) , (3.9)消去yn得一階線性差分方程xn 1xn (1)xo，n 1,2, .(3.1o)因此xo是其平衡點，即 Po是平衡點，對n遞推不難得到xn 1 ()nx1 1 ()nxo，n 1,2,.由此可得，平衡點 P0穩(wěn)定的條件是：1;不穩(wěn)定的條件是：1。下面用圖形解釋此模型。若對某一個k有Xk Xo,遞推可得，當(dāng)n k時Xn Xo ,從而y y° ,即商品的數(shù) 量和價格將永遠(yuǎn)保

9、持在 Po（xo, yo）點。但是實際生活中的種種干擾使得 Xn, yn不可能停止 在Po點上。不妨設(shè)X1偏離Xo ,我們分析隨著n的增加Xn , yn的變化。數(shù)量X1給定后，價格yi由曲線f上的Pi點決定，下一時段的數(shù)量X2由曲線g上的P2點決定，這樣得到圖案稀刖的中似1, y1） , P2（X2,y1）,圖皆（X 2,y第白P44x3, y2）,，在圖3-2上這些點將按箭頭所示方向趨向Po（Xo，y0）,表明Po是穩(wěn)定平衡點，意味著市場經(jīng)濟(jì)（商品的數(shù)量和價格） 將趨向穩(wěn)定。但是如果需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)由圖3-3的曲線所示，則類似的分析發(fā)現(xiàn)，市場經(jīng)濟(jì)將按照P1 ,P2,P3,P4,，的規(guī)律變化

10、而遠(yuǎn)離Po ,即Po是不穩(wěn)定平衡點，市場經(jīng)濟(jì)趨向不穩(wěn)定。由此可見，需求曲線越平，供應(yīng)曲線越陡，越有利 于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。圖3-2和圖3-3中折線P1F2F3F4 形似蛛網(wǎng)，于是這種用需求曲線和供應(yīng)曲線分析市場經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性的圖示法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為蛛網(wǎng)模型。實際上，需求曲線f和供應(yīng)曲線g的具體形式通常是根據(jù)各個時段商品的數(shù)量和價格的一系列統(tǒng)計資料得到的。一般地說，f取決于消費者對這種商品的需要程度和他們的消費水平，g則與生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力，經(jīng)營水平等因素有關(guān)。 下面再來解釋此模型的實際意義。首先考察參數(shù)，的含義，需求函數(shù) f的斜率（取絕對值）表示商品供應(yīng)量減少1個單位時價格的上漲幅度；供應(yīng)函數(shù)g的斜率表示價

11、格上漲1個單位時（下一時期）商品供應(yīng)增加量。所以的數(shù)值反映消費者對商品需求的敏感程度。如果這種商品是生活必需品，消費者處于持幣待購狀態(tài)，商品數(shù)量稍缺，人們立即蜂擁搶購，那么會比較大；較小。 的反之，若這種商品非必需品，消費者購物心理穩(wěn)定，或者消費水平低下，則數(shù)值反映生產(chǎn)經(jīng)營者對商品價格的敏感程度，如果他們目光短淺，熱衷于追逐一時的高利潤，價格稍有上漲立即大量增加生產(chǎn)，那么會比較大；反之，若他們素質(zhì)較高，有長遠(yuǎn)的計劃，則 較小。根據(jù) ，的意義很容易對市場經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定與否的條件作出解釋。當(dāng)供應(yīng)函數(shù)g,即固定時，越小，需求曲線越平，表明消費者對商品需求的敏感程度越小，越利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。當(dāng)需求函數(shù) f,即

12、固定時，越小，供應(yīng)曲線越陡，表明生產(chǎn)者對價格的敏感程度越小，越利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。反之，當(dāng) ， 較大，表明消費者對商品的需求和生產(chǎn)者對商品 的價格都很敏感，則會導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)趨向不穩(wěn)定時，政府有兩種干預(yù)辦法：一種辦法是控制價格，無論商品數(shù)量 多少，命令價格不得改變，于是 0,不管曲線g如何，總是穩(wěn)定的；另一種辦法是控制 市場上的商品數(shù)量， 當(dāng)上市量小于需求時，政府從外地收購或調(diào)撥，投入市場，當(dāng)上市量多 于需求時，政府收購過乘部分，于是0,不管曲線f如何，也總是穩(wěn)定的。最后我們將模型稍加推廣。如果生產(chǎn)者的管理水平更高一些，他們在決定商品生產(chǎn)數(shù)量時，不是僅根據(jù)前一時期的價格，而是根據(jù)前兩個時

13、期的價格，為簡單起見不妨設(shè)根據(jù)二者的平均值(yn yn 1)/2 ,于是供應(yīng)函數(shù)為Xn 1 g (yn yn 1/2)。在P0點附近取線性近似時，(3.9)表示為：供應(yīng)函數(shù) ：Xn i Xo(yn yni/2 y0) ,0。(3.11)又設(shè)需求函數(shù)仍由(3.8)式表示，則由(3.8) , (3.11)式得到2Xn 2Xn 1Xn (1 )X0, n 1,2, .(3.12)(3.12)式是二階線性差分方程。Po點穩(wěn)定的條件可由其特征方程2 20的根1,28時，顯然有2,當(dāng)244從而2, Po是不穩(wěn)定的。當(dāng) 8時，可以算出 1,22-,由1,21得到Po點穩(wěn)定的條件為2。這與原有模型中的 Po點

14、穩(wěn)定的條件1相比，保持經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定的參數(shù)，的范圍放 大了(， 的含義未變)?？梢韵氲剑@是生產(chǎn)經(jīng)營者的生產(chǎn)管理水平提高，對市場經(jīng)濟(jì) 穩(wěn)定起著有利影響的必然結(jié)果。3.3差分形式的阻滯增長模型阻滯增長模型dx dtrx(1 )K(3.13)的差分形式是將其化為yn 1ynryn(1 yn . K )yn 1(r1)yn(1 ryn. r 1 K)令b r 1, Xn ryn/ (r 1)K，將上式簡化為Xn 1bXn 1 Xn(3.14)方程(3.14)的解可根據(jù)給定的初值X0,利用計算機算出:根據(jù)r , K的含義，有b 1,0 Xn1 ,再由(3.14)應(yīng)有b 4。下面主要討論當(dāng)1 b 4時，序列X

15、n的收斂性，它比簡單地討論方程(3.13)或(3.14)的穩(wěn)定性復(fù)雜，且會看到一個十分有趣的現(xiàn)象。記f(X) bX(1 X),解代數(shù)方程X f(X)得方程(3.14)的平衡點X*0,1 1b.由于f (x) b(1 2x),注意到b 1及平衡點穩(wěn)定的條件f (X ) 1得，0不是穩(wěn)定的平衡點，x 1 1/b的狀況可以通過方程(3.14)的圖解法清楚地表示出來。在xOy平面. 一 . 一'，*、 一 上回出y x和y f(x)的圖形(圖3-4)。由于f (x ) 2 b ,因此當(dāng)1 b 2時，xn基本上是單倜遞增地收斂于X (圖3-4(1)；當(dāng)2 b 3時，Xn基本上是衰減震蕩地收八人.

16、 * 一斂于 X (圖 3-4 (2)。圖 3-4 (2)圖 3-4 (1)當(dāng)b 3時，雖然萬程(3.14)仍可形式地求解，但 X不穩(wěn)定，其圖解法如圖3-5所示。事情到此并未完結(jié)，由(3.14)式迭代一次可得Xn 2bXn 1 (1 Xn 1) bbXn(1 Xn ) 1 bXn (1 Xn)Xn 2b2Xn(1 Xn)1 bXn(1 Xn )(3.15)方程(3.15)雖是二階非線性差分方程,但缺少 Xn 1,相當(dāng)于一階差分方程。解代數(shù)方程xb2X(1X)1bXn(1Xn)得到方程(3.15)的4個平衡點，除了方程(3.14)的2個平衡點0, 1 1/b外，還有兩個*X1,2b 1 b2 2

17、b 32b圖3-6圖3-5可以驗證(根據(jù)一階差分方程的判別方法)，在條件b 3下，平衡點0, 1 1/b不是-4,、,，一* _._._.穩(wěn)定的，而Xi,2是穩(wěn)定的條件為b 1 J63.449。這就是說，當(dāng)3b3.449時，雖然序列Xn不收斂，但它的兩個子序列X2n和X2n 1都是收斂的（圖 3-6）。它的生物學(xué)意義是，當(dāng)固有增長率 2 r 2.449時，從一個繁殖周期（即一代）的角度看，其數(shù)量增長 是不穩(wěn)定的，但從兩個繁殖周期（即兩代）的角度看，其數(shù)量增長是穩(wěn)定的，這就是所謂的 2倍周期收斂。讀者不難想到，當(dāng)b 3.449時，x；2不再是穩(wěn)定白1即方程（3.15）不存在穩(wěn)定的平衡點，從而對于方程（3.14）來說2倍周期也不收斂了，但是將方程（3.15）迭代一次或者將方程 （3.14）迭代2次，得Xn 4廠，）（3.16）方程（