三角形軸對稱角平分線和垂直平分線應(yīng)用集錦

1、角平分線和線段的垂直平分線    知識點講解：    1. 定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；       定理2：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。2.角平分線另一種定義：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。3.在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)。那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做另一個的逆命題。4.如果一個定理的逆命題是經(jīng)過證明的真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理

2、叫互逆定理。其中一個叫另一個的逆定理，雖然一個命題都有逆命題，但一個定理并不都有逆定理。5.定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。  逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。6.線段的垂直平分線另一種定義：線段的垂直平分線可以看作和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。 例題分析  第一階梯例1.已知：如圖CDAB于D，BEAC于E，且CD、BE相交于O點。   求證：（1）當(dāng)1=2時，OB=OC （2）當(dāng)OB=OC時，1=2  點撥：要證OB=OC，只須證RtCEO與RtBDO全等，由對頂角相等與1=2的條件，

3、即可得證，反之成立。 此例是證明互逆命題。  答案： 證明（1）1=2，OEAC，ODAB   OE=OD（角平分線上的點到角兩邊距離相等）OB=OC  在OEC與ODB中  OECODB（ASA）  （2）OEAC，ODABOECODB（AAS）          OEC=ODBOE=OD               

4、;      在OEC與ODB中         說明：利用角平分性質(zhì)定理或判定定理時，一定要注意垂直的條件。  例2.寫出命題“直角三角形兩銳角互余”的逆命題，并判斷它的真假。  點撥：在判斷逆命題時，要明確互余的兩角必是銳角，另外在未對一個三角形作出判斷之前一般不稱“銳角”。  答案：解：逆命題是：有兩個角互余的三角形是直角三角形。  說明：在寫一個命題的逆命題時，并不是將原命題的題設(shè)和結(jié)論簡單地互換，要注意命題本身的邏輯

5、性。  例3.已知：如圖1=2，BCAC于C，BDAD于D，連結(jié)CD交AB于E .求證：AB垂直平分CD   點撥：要證的結(jié)論“垂直平分”，實際是（1）ABCD（2）CE=ED把角相等和垂直兩個條件寫出后，再使用角平分線性質(zhì)定理，得BC=BD，利用 CBE與DBE全等得證。答案：    證明：1=2，BCAC，BDADBC=BD（角平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等）               

6、60;  1+3=2+4=90°3=4（等角的余角相等）在CBE與DBE中             CBEDBE（SAS）    CE=DE，CEB=DEB    C，E，D三點在同一直線上    ABCD于E    AB垂直平分CD說明：用了角平分線性質(zhì)定理，可代替用全等三角形得到的結(jié)論，簡化證明過程。第二階梯例1.已知：如圖AB=CD，AD=BC，AO=OC， 過點O的任一直線交AB

7、于E，交CD于F 求證：（1）AD/BC（2）D+DAB=180°（3）BE=DF    點撥：要證AD/BC，只須證3=4，由已知條件，可證得ADCCBA得到角等線段相等的結(jié)論后，再證EOA與FOC全等，再做線段和、差  證明：（1）在ADC與CBA中              AD/BC          

8、0;   B+DAB=180°              ADCCBA（SSS）              3=4              AD/BC（2）ADCCBA 

9、;             B=D                 D+DAB=180°              DC=AB     &#

10、160; CF=AE              AB-AE=CD-CF 即BE=DF              （3）ADCCBA              1=2    

11、;          在FOC與EOA中              FOCEOA（ASA）                CF=AE    說明：    （1）利用三角形全等可以證

12、明線段相等，角相等（或互補），也可以證明兩直線的位置關(guān)系。（平行或垂直）      （2）如果EF分別與AD，CB的延長線相交，結(jié)論如何呢？如果EFAB，結(jié)論又如何呢？請試一試，讓EF過O點動起來，觀察其特殊的位置關(guān)系，看看有什么結(jié)論？    例2.求證：有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個銳角三角形全等。      點撥：對于命題證明，要先依題意，畫出符合條件的銳角三角形，再根據(jù)圖形，寫出已知，求證，利用全等三角形知識進行證明。  已知：如圖，在銳角ABC與ABC中，AB=

13、AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于D，AD=AD      求證：ABCABC      證明：在RtABD與RtABD中在ABC與ABC中                              RtABDRtABD（HL）ABCABC（

14、SAS）          B=B說明：（1）此類命題中的兩個三角形，在畫圖時，一般不具備特殊的位置關(guān)系，證明要在獨立的兩個三角形間進行。 （2）命題證明是個難點，要加強文字語言與數(shù)學(xué)符號，語言的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。  例3.已知：如圖AD為ABC的角平分線，DEAC于E，DFAB于F，EF交AD于M ,求證：MF=ME  點撥：要證MF=ME，只要證所在的三角形全等，由AD是角平分線條件，可得DE=DF，3=4，則這兩個結(jié)論恰巧為全等創(chuàng)造了極好的條件。  答案：  

15、0; 證明：AD為ABC的角平分線，在RtAFD與RtAED中DEAC，DFAB1+3=2+4=90°      DE=DF3=4       1=2在FDM與EDM中    FDMEDM      MF=ME    說明：在已知條件中，有角平分線，可以在角平分線上任取一點向兩邊作垂線，構(gòu)造全等三角形。  第三階梯    例1.已知：如圖，在正方形ABCD中

16、，E是對角線BD上一點 ，過點D作DGAE交AC于F，G為垂足。   求證：（1）CDFDAE（2）EF/AB  點撥：在CDF與DAE中，由已知正方形條件可得到邊DC=AD，DCF=ADE=45°只須再證一邊或一角等，由BDAC，DGAE，證出1=2，則CDG=DAE證明：（1）四邊形ABCD是正方形（2）由CDFDAE得   DC=DACF=DE   AC與BD為對角線AC，BD交于O   3=ADE=45°ABCD是正方形   4=5=45°DO=CO，DOCO  ACBDOE=OF &#

17、160;DGAEOFE是等腰直角三角形  在RtDFO與RtAFG中OAB是等腰直角三角形   1=2（等角的余角相等）OEF=OBA=45°   CDF=DAEEF/AB  CDFDAE（ASA）說明：    在較復(fù)雜的圖形中，注意特殊四邊形，三角形所隱含的條件，如正方形的對角線具有的性質(zhì)，平行四邊形的邊，角，梯形的中位線，內(nèi)角，等邊三角形的邊與角等都具有特殊性質(zhì)，結(jié)合題目中的條件進行選擇性應(yīng)用。例2.已知：如圖在ABC中，ÐACB=90°，CDAB于D，ABC的平分線BE交CD于G，交AC于

18、E，GF/AB交AC于F 求證：AF=CG  點撥：AF不在某個三角形中，所以要借助于它的等量來證明。由1=2，BG是公共邊，可以構(gòu)造與CGB全等的三角形，所以過G作GH/AF就勢在必行。    答案：證明：過G作GH/AF交AB于H  FG/AB  四邊形AHGF是平行四邊形  AF=HG，A=4  ACB=90°，CDAB  3=A=4BE是角平分線1=2BCGBHG（ASA）CG=GH=AFAF=CG說明：把線段用平行線轉(zhuǎn)移到其它三角形中，借助于中介量證明線段相等，還可以在長線段上截取某線

19、段與已知線段等。  例3.如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點，BD平分ÐABC    求證：（1）AEBD    （2）EF=（BC-AB）點撥：在（1）中，只須證ABE與ADE全等， 在（2）中，把AE延長，可構(gòu)造ADE與GBE全等，得AD=BG，把AB和等量AD轉(zhuǎn)移到BC上。答案：證明（1）AD/BC（2）延長AE交BC于G 2=3可證AEDGEB（ASA）       AB=ADAD=BG=AB  E是BD的中點EF是A

20、GC的中位線 BE=DEEF=GC1=2=3GC=BC-BG    AE是公共邊=BC-AD  AEBAED=BC-AB  AEB=AEDEF=（BC-AB）                                 

21、60;   AEB=90°AEBD說明：從直觀上看，圖形不夠完善，可通過作輔助線先完善圖形，如把AE延長后既沒有破壞原圖形的完整性，又構(gòu)造了全等形和圖形具有的對稱性。  例題精講例1.已知如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，求證：ADEF。分析：欲證ADEF，就要證AOE=AOF= EOF=90°。所以要考慮證AEOAFO。由題中條件可知 AEO，AFO已有一邊（公共邊）一角對應(yīng)相等，只要證出AE=AF問題就解決了，所以需先證明AEDAFD。證明：AD是BAC的平分線，DEAB，DFAC（已知） DE=DF（角平

22、分線上的點到這個角的兩邊距離相等）在RtAED和RtAFD中 RtAEDRtAFD(HL), AE=AF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)在AEO和AFO中     AEOAFO, AOE=AOF (全等三角形對應(yīng)角相等) AOE=EOF=90°， ADEF（垂直定義）。例2.寫出下列定理的逆命題，并判斷真假。(1)同位角相等，兩直線平行。(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果ABC是直角三角形，那么當(dāng)每個內(nèi)角取一個對應(yīng)外角時，ABC的三個外角中只有兩個鈍角。(4)如果ABCA'B'C'，那么BC=B'C', AC=A

23、'C', ABC=A'B'C'。解：(1)的逆命題是：兩直線平行，同位角相等，真命題。(2)的逆命題是：x2=9, 則x=3。它是一個假命題。 (-3)2=9, x=3或x=-3.(3)的逆命題是：如果ABC的每個內(nèi)角取一個對應(yīng)外角時，若三個外角中只有兩個鈍角，那么ABC是直角三角形。它是一個假命題，因為ABC還可能是鈍角三角形。(4)的逆命題：如果在ABC和A'B'C'中，BC=B'C'，AC=A'C'，ABC=A'B'C'，那么ABCA'B'C'。

24、這是一個假命題，因為有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。例3.已知：如圖，M，N分別在AOB的兩邊上，求作一點P，使點P到M，N兩點的距離相等，且到AOB兩邊的距離相等。作法：1、連結(jié)MN，作線段MN的垂直平分線CD。2、作AOB的平分線OE，交CD于P，點P即為所求。例4.在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC，B的平分線交AC于D。求證：BC=AC+AD分析：如圖：BD為ABC的平分線，DAAB，利用角平分線的性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化AD，方法是作DE垂直BC于E，則有AD=DE，容易得到DE=CE，AB=BE。證明：過D作DE垂直BC于E， BD為ABC的平分線，A=90

25、76; AD=DE（角平分線的性質(zhì)）在RtABD和RtEBD中，RtABDRtEBD（HL）AB=EBABC為等腰直角三角形（已知）， C=45°DE垂直BC于E， DEC=90°， C=EDC=45°，DE=EC（等腰三角形的性質(zhì)）BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD說明：這種方法是利用角平分線的性質(zhì)作DEBC，實際上是在長的線段BC上，作出了BE=AB=AC，所以只要再證明AD=EC就可以證明結(jié)論。相應(yīng)的，還可以將線段AB補長，方法如下。方法二：如圖，延長BA到M，使得AM=AD，連接DM。證明提示：只要證明三角形BDM和三角形BDC全等即可。（容易證明M

26、=C=45°）例5.已知：如圖，1=2，BC=BD。求證：AC=AD。分析：注意利用圖形的對稱性，連結(jié)CD，只須證明直線AB是線段CD的垂直平分線。證明：連結(jié)CD交AB于點E， BC=BD，1=2， BE是等腰CBD頂角平分線（三角形角平分線定義） BE垂直平分CD（等腰三角形頂角平分線平分且垂直底邊） 直線AE是線段CD的垂直平分線，又點A在直線AE上， AC=AD（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點距離相等。）說明：還可以證明CBA和DBA全等。小結(jié)：主要內(nèi)容是角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。能夠利用它們證明兩個角相等或兩條線段相等；對于原

27、命題和逆命題的關(guān)系，要能說出題設(shè)和結(jié)論都比較簡單的命題的逆命題。    同步練習(xí)：一、寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）對頂角相等；（2）兩直線平行，同位角相等。（3）如果a=-b, 那么|a|=|b|。（4）若a·b=0,則a=0.二、填空題：在等腰ABC中，AB=AC，BAC=120°。AB的垂直平分線交BC于D，且DC=6厘米，則DAC=_, BC=_, 點D到AB的距離是_，點D到AC的距離為_。三、已知如圖，在RtABC中，C=90°，AB的垂直平分線交BC于D，CADDAB=12，求B的度數(shù)。四、如圖所示，已知，三角

28、形ABC中，AB>AC,P在ABC的角平分線AD上。求證：AB-AC>BP-PC.五、如圖：BFAC，CEAB，CE、BF交于D，且 BD=CD。求證：D在BAC的平分線上。六、如圖，在RtABC中，C=90°，AC=BC，AD是BAC的平分線，DEAB，垂足為E。求證：DBE的周長等于AB。七、在ABC中，已知AB的垂直平分線交AC于E，ABC和BEC的周長分別為24厘米和14厘米，求AB長。答案：一、1. 若兩個角相等，則這兩個角是對頂角，假命題。2同位角相等，兩直線平行，真命題。3如果|a|=|b|，那么a=-b，假命題。4若a=0, 則ab=0真命題。二、90&#

29、176;, 9cm, 1.5cm, 3cm三、B=36°四、提示：在AB上取AE=AC，在BEP中，BP-PE<BE. 五、提示：證RtBDERtCDF，得DE=DF。六、提示：DE=CD可證ACDAED， AC=AE，DBE的周長=DE+EB+BD=CD+BD+EB=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB。七、提示：如圖，連接BE，BE=AE，AD=BD， 三角形BEC的周長等于BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC，AB=24-14=10（cm） 專題輔導(dǎo)角平分線的使用平分線的應(yīng)用。幾何題中，經(jīng)常出現(xiàn)“已知角的平分線”這一條件。這個條件一般有下面幾個方面的應(yīng)用：（

30、1）利用“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”的性質(zhì)，證明兩條線段相等。（2）利用角是軸對稱圖形，構(gòu)造全等三角形。（3）構(gòu)造等腰三角形。應(yīng)用舉例：1.利用角平分線的定義例1.如圖，已知AB=AC，AD/BC，求證AD平分EAC。證明：因AB=AC，故B=C。又因AD/BC，故1=B，2=C，故1=2，即AD平分EAC。2.利用等腰三角形三線合一例2.正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AE=DC+CE，求證：AF平分DAE。證明：連結(jié)EF并延長，交AD的延長線于G，則FDGFCE，故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。又因EF=GF，故AF是

31、等腰三角形的底邊上的中線，于是AF平分DAE。3.利用定理定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。例3.如圖，已知ABC的兩個外角MAC、NCA的平分線相交于點P，求證點P在B的平分線上。證明：過P作PDAB，PEAC，PFBC，垂足分別是D、E、F，因P在MAC的平分線上，故PD=PE。又因P在ACN的平分線上，故PE=PF，于是PD=PF，故點P在B的平分線上。4.和平行線結(jié)合使用，容易得到相等的線段?；緢D形：P是CAB的平分線上一點，PDAB，則有1=2=3，所以AD=DP。例4.如圖，ABC中，B的平分線與C外角的平分線交于D，過D作BC的平行線交AB、AC于E、F，求

32、證EF=BE-CF。分析：由BD平分ABC，EDBC，不難得出BE=DE。要證EF=BE-CF，就轉(zhuǎn)化為要證EF=DE-CF。下面要證FD=FC，即要證FCD=FDC。由CD平分ACG，EDBC，很容易得出FCD=FDC，從而問題得證。5.利用角平分線的對稱性。例5.如圖，已知在ABC中，AB>AC，AD是ABC的角平分線，P是AD上一點，求證AB-AC>PB-PC。分析：證明不等關(guān)系，一般要把所證明的有關(guān)線段放在一個三角形內(nèi)。通過角平分線這一條件可以構(gòu)造全等三角形：在AB上截取AC'=AC，則有AC'PACP，AC'=AC,PC'=PC。在BPC'中，BC'+C'P>PB, 即AB-AC'>PB-PC'，從而得出AB-AC>PB-PC。  中考典例1（云南昆明）如圖，在ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分線，BCE的周長為14，BC=6，則AB的長為_。考點：垂直平分線的性質(zhì)評析：因為DE是AB的中垂線，可知AE=BE，又BCE的周長為14，BC=6，所以BE+EC=8，而BE+EC=AE+EC=AC=AB=8。真題專練1（安徽?。┰贏BC中，A