數(shù)理方程期末試題07082B答案

1、百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我北京交通大學(xué)2007-2008學(xué)年第二學(xué)期數(shù)理方程與特殊函數(shù)期末考試試卷(B)/(參考答案)學(xué)院 專業(yè) 班級(jí)學(xué)號(hào) 姓名題號(hào)一二三四五六七八總分得分閱卷人一、 計(jì)算題(共80分，每題16分)1.求下列定解問題(15分)22T a22 A, 0 x l,t 0, txu|x 0 Mi,u|xi M2,u |t 0 0, |t 0 0. t2. 用積分變換法及性質(zhì)，求解半無界弦的自由振動(dòng)問題：(15分)2Utt a Uxx, 0 x , t 0,u(x,0) 0, Ut(x,0)0,u(0,t)(t), lim u(x,t) 0.x3.設(shè)弦的兩端固定于x 0及x l

2、,弦的出示位移如下圖所示。初速度為零，又沒有外力 作用。求弦做橫向振動(dòng)時(shí)的位移u(x,t)。/解問題的定解條件是u(x,t)(Cncost Dnsinlt)sin*xn 1/由初始條件可得/Dn 0, n 1,2,clCn,h xsin 2r xdx上(x l)sin + xdxn i 0 cic i ci4.證明在變換2hl222 c(l c)nsinn crn 1,2,x at, x at 下,波動(dòng)方程Utta2Uxx具有形式解u n 0 ,并由此求出波動(dòng)方程的通解。5.用分離變量法解下列定解問題tU122 U a x0,u|xlsin 2rxsin-2rt,0 x l, t 0U |t

3、00Tt6提示：1)可以直接給出問題的固有函數(shù)，不必推導(dǎo)；2)利用參數(shù)變易法。解對(duì)應(yīng)齊次方程的定解問題的固有函數(shù)是sin + x ,其解可以表示成U(x,t)Vn(t)sin*xn 1把原問題中非齊次項(xiàng) f(x,t)sin 2-xsin弓一t按照固有函數(shù)展開成級(jí)數(shù)f(x,t) sin2-xsin 午 t fn(t)sinxn 1因此有sin2a-t,n2;0,n 1,3,4,.fn(t)利用參數(shù)變易法，有于是V2(X,t) 4一(UVn(X,t)sin0,nu(x,t) 4a(246. 用Bessel函數(shù)法求解下面定解問題tsin02a-r20- sin 空(t )d-1 t cos2a- t

4、)1,3,4,5,sin牛 t tcos牛 t)sin"xt u|a2(r),0 r Ru |t 00,u|r 01 7八解用分離變量法求解。令 u( ,t) R()T(t),則可得以及T" (t)(I)T'(0)2T (t)02 _R”()(II )R()R'(,R( 0)22 _R( ) 0設(shè)n n 0為Bessel函數(shù)J 0 (x)的正零點(diǎn),(U)則問題(II)的特征值和特征函數(shù)分別為問題(I)的解為于是原問題的解是由初始條件得到Rn( ) J0V ) aTn(t) CnCOs_f tU( ,t) Rn( )Tn(t)CnJ0(U©Saft2

5、u( ,0) 1 Cn00J73 0 (1)d22 0.4J2( n)J2( n) T J2( n)J2( n)8nJ1 ( n)由于n是J0(X)的零點(diǎn)，也即 J°( n)。，而且又有J0(x) J2(x) Ji(x)J2 ( n )2J1 ( n ) nu(于是最后得到原問題的解是,t)Rn( )Tn(t)a)COS = tCn J0(-0) cos -t4J2( n)n2 12 f7 J0( -n J1 ( n )0二、/證明題(共2分，每題10分)7 .證明平面上的 Green公式(v 2u u 2v)d(v u)dsDC其中C是區(qū)域D的邊界曲線，ds是弧長微分。證明設(shè)p(x, y), Q(x, y)在D+C上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為C的外法線方向，其方向余弦 為cos , cos ,貝U有(W -P)d(Qcos Pcos )dsDC再設(shè)u,v在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在 D+C上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令Q ugPu-y得到u vd(-u-x -u-v)dDDu(-xcoscos )ds u dsCC交換u,v,得到u v u Vv ud(- -)dDv(Jxcoscos )dsv-n dsC C /上面第二式減去第一式，得到(v u