概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結(jié)

1、第1章隨機事件及其概率（1）隨 機試驗 和隨機 事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果 不止 個，但在進彳H次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則 稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（2）基 本事 件、樣 本空間 和事件在 個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進彳!一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這 組中的 個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這一組事件中的每 個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由 中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A, B,

2、 C,表示事件，它們是 的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（。）的概率為 1,而概率為1的事件也不一 定是必然事件。（3）事 件的關(guān) 系與運 算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必啟事件B 發(fā)生）：A B如果同時有A B, B A,則稱事件A與事件B等價，或稱A等于 B : A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為 A-B，也可親示為A-AB或者AB ,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。 A、B同時發(fā)生：A B,或者AB

3、。A B= ?，則表示A與B/、可能 同時發(fā)生，稱事件 A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ?相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為Ao它表示 A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A UC)A(BUC) (A U B) AC=(AC) U (BC)Ai工 _ _德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(4)概 率的公 理化定 義設(shè) 為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實數(shù) P(A), 若滿足卜列三個條件：1 ° 0<P(A) <1 ,2

4、 P(Q) =13°對于兩兩互不相容的事件 A' A2,有則稱P(A)為事件A的概率。(5)古典概型1 01, 2n ,-o12 P( 1) P( 2)P( n) -0n設(shè)任一事件A,它是由1，2m組成的，則有P(A) = ( 1) (2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)(6)幾何概型若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻， 同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A,P(A) 手卜 其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。(7)加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)當 AB 不相

5、容 P(AB) =0 時,P(A+B)=P(A)+P(B)當 AB 獨立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)(8)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當 B A 時,P(A-B)=P(A)-P(B)當 A=。時，P( B)=1- P(B)(9)條件概率定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0 ,則稱黑為事件A發(fā)生P(A)條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)號黑。 P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q/B)=1P( B/A)=1-P(B/A)(10)乘法公 式乘法公式：P(AB) P(A)

6、P(B/A)更一般地，對事件 Al, A2, An,若P(AlA2 - An-1 )>0 ,則有P(AiA2 . An) P(Ai)P(A2| Al)P(A3| A1A2) P(An | A1A2. An 1)。(11 )獨立性兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) PP，則稱事件A、B是相互獨立的。若事件A、B相互獨立，且P(A) °,則有若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互 獨立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設(shè)ABC是二個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB尸P(A)P(B); P(BC尸P(

7、B)P(C) ; P(CA尸P(C)P(A)弁且同時滿足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。(12)全概公 式設(shè)事件Bl，B2，Bn滿足1 B1,B2, Bn 不相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2i1,則有P(A) P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A | Bn)。全概率公式解決的是多個原因造成的結(jié)果問題，全概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步杲事件的概率，就用全概率公式；(13)貝葉斯公式設(shè)事件B1 , B2 ,，Bn及A滿足1° B1, B2,，Bn 兩兩互不相容，P(B

8、i)>0, i 1, 2,，n, nABi2i1P(A) 0則c/c ， PP(Bi)P(A/Bi). d。P(Bi/A) n, i=1 , 2, - noP(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即為貝葉斯公式。P(Bi), ( i 1,2,，n),通常叫先驗概率。P(Bi/A), ( i 1,2,， n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律， 弁作出了 “由果朔因”的推斷。將試驗可看成分為兩步做，如果求 在第二先臬事件妗牛條件下第一先臬事件的概率.就用貝葉斯公式。(14)我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果， A發(fā)生或A不發(fā)生；伯努利概型(1)散 隨 變

9、 的 布n次試驗是重復(fù)進行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗 A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用P表示每次試驗A發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為1 p q，用Pn表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，Pn(k) dpkqnk k 0,1,2, ,n o第二章隨機變量及其分布設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的 概率，即事件(X=X k)的概率為P(X=x k)=p k, k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量 X的概率分布或分布律。有時也 用分布列的形式給出：X x1,x2,

10、 ,xk,P(X xk) p1, p2, , pk, o顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：pk 1(1) Pk 0, k 1,2,卜1 。(2)連續(xù) 型隨 機變 量的 分布 密度(3)分布函數(shù)設(shè)F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)f，對任意實數(shù)x,有 xF(x) f(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函 數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1、 f(x)0Of(x)dx 12、 ox23、 P(x1 X x2) F(x2) F(x1)f (x)dxxi4、P(x=a)=0,a 為常數(shù)，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為04、 )0-1 分 P(X=1)=p

11、, P(X=0)=q六大布分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為po事件A分布發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為X ,則X可能取值為0,1,2, ,noP(X k) Pn(k) C：pkqnk,q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, ,n ,則稱隨機變量X服從參數(shù)為p的二項分布。記為X B(n, p)。n 1 時，P(X k) pkq1k, k0.1,這就是(0-1 )分布,分布所以(0-1 )分布是二項分布的特例。均勻分布設(shè)隨機變量X的值只落在a ,a , b上為常數(shù),即？ b ab內(nèi)，其密度函數(shù)f在指數(shù)分布1f(x) b a0,a< x< b其他,則稱隨機變量X在a ,b上服

12、從均勻分布，記為XU（a ,b)分布函數(shù)為 ?xF(x) f(x)dx0, x a當 a<xi<x 2<b 時,P(x1X x2) x2 x1b af(x)?w指數(shù)分布。a<x< bx>b oX落在區(qū)間（xi，x2）內(nèi)的概率為0,則稱隨機變量X服從參數(shù)為正態(tài)分布設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為1 (x )2f(x)e 2,x ,其中、“0為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為、2、的正態(tài)分布或圖斯(Gauss )分布，記為XN( ， ) f(x)具有如下性質(zhì)：1。 f(x)的圖形是關(guān)于x對稱的；2°當x 時，f()二為最大值；2' 2若xl )叫X的分布

13、函數(shù)為F(x)21 e 出參數(shù) 0、1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為分布函數(shù)為21 x t(x)e 2 dt。2(x)是不可求積函數(shù),其函數(shù)值,已編制成表可供查用1(-x) =1-(x)且(0) =1oX 2x1o如果 X N( , 2),則N(0,1)P(x1X x2)(6)下分位表：P(X 上分位表：P(X)=；)=。(7)離 函數(shù)型 的分布函已知X的分布列為? Xx1,x2,xn,P(X xi)p1,P2,pn,'Y g(X)的分布列(yi g(xi)互不相等)如下：Y g(x1), g(x2), g(xn),P(Y yi)D1D2nn'若有某些&xi)梢等，

14、則應(yīng)將對應(yīng)的Pi相加作為g(xi)的概率。數(shù)連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)= P(g(X) <y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機變量及其分布(1)聯(lián)離散型如果二維隨機向量(X, Y)的所啟可能取值為至多可合分布列個后序?qū)?x,y),則稱為離散型隨機量。設(shè)二(X, Y)的所有可能取值為(Xi,yj)(i,j 1,2,),且事 件= (xi,yj) 的概率為 pij,稱P(X,Y)(為) Pj(i, j 1,2,)為二(X, Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用卜面的概率分布表來表示:y1y2yjX1P11P12P

15、1jX2P21P22P2jXiPi1這里pij具有下面兩個性質(zhì):(1) pijR (i,j=1,2,);(2) j 上 Pij 1.連續(xù)型對于二維隨機向量 (X,Y),如果存在非負函數(shù) f(x, y)( x , y ),使對任意一個其鄰邊分別平 行于坐標軸的矩形區(qū)域 D , 即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d 有則稱 為連續(xù)型隨機向量；弁稱 f(x,y)為=(X, Y)的 分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y) R;2聯(lián)合 分布函 數(shù)(2) f(x,y)dxdy 1.設(shè)(X, Y)為二維隨機變量，對于任意實

16、數(shù)x,y,二元函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)。稱為二維隨機向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量 X和Y分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)lX( 1)x, Y( 2) y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 F(x, y) 1;(2) F (x,y )分別對x和y是非減的，即當 x2>x 1 時，有 F(x2,y) >F(x 1,y);當 y2>y 1 時，有 F(x,y 2) >F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即(4) F( ,) F( ,y) F(x, ) 0,F(,) 1.(

17、5) 對于 Xi x2, y1 y2,P(x 1 <x<X2,y1<y<y2)= FM,y2)F(x2,y1)F(x1，y2)F(x1,y1)03邊緣分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(Xx)pj(i,j1,2,)；Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pij(i, j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為4條件分布離散型在已知X=x i的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=y j的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f (x, y)f(x|y);fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為5獨立性一般型F(X,Y)=F

18、 x(x)F Y(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：可分離受量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布=0隨機變?nèi)鬤i,X2-Xm,Xm+iXn相互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，量的函貝U：數(shù)h (Xi, X2,Xm)和g (Xm+1，Xn)相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h (X)和g (Y)獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。6二維均勻分布7正態(tài)分布設(shè)隨機向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(X, Y)服從D上的均勻分布，記 為(X, Y)U (D)。圖3.2設(shè)隨機向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為其中1, 2,

19、 i 0, 2 0,| | 1是5個參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維正 態(tài)分布，記為(X, Y)N ( 1, 2, i2, 2,).由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即 XN ( 1, 12),YN( 2,；).但是若XN ( 1, 12),YN( 2, ；), (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。8函數(shù)的分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型，fz(z) = f(x,z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(i 2, 122)。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。Ci i ,2C：Z=max,min(

20、X i,X2,Xn)若Xi,X2 Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fxi(x), Fx?(x) F/x),則 Z=max,min(Xi,X2，Xn)的分布函數(shù)為：第四章 隨機變量的數(shù)字特征(1) 一離散型連續(xù)型維隨機期望設(shè)X是離散型隨機設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密變量的期望就是變量，其分布律為度為f(x),數(shù)字特平均值P( X xk ) = p k ,(要求絕對收斂)征k=1,2, ，n,(要求絕對收斂)函數(shù)的期Y=g(X)Y=g(X)望方差D(X)=EX-E(X) 2標準差期(1)E(C尸C望的性E(CX)=CE(X)(3)nnE(X+Y)=E(X)+E(Y), E( Ci Xi)GE(Xi

21、)i 1i 1(4)E(XY)=E(X) E(Y),充分條件：X和Y獨立;充要條件：X和Y不相關(guān)。(3)方差的性(1)D(C)=0 ; E(C戶C(2)D(aX)=a 2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3)D(aX+b)= a 2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4)D(X)=E(X 2)-E2(X)(5)D(X 土Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨立;充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X 土Y尸D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)常期望方差見分布的期望np和方差泊松分布P()指數(shù)分布e()(5)二 維隨機 變量的 數(shù)字特 征期望函數(shù)的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與Y的協(xié)萬差或相關(guān)矩，記為 xy或cov(X,Y),即與記號XY相對應(yīng)，X與Y的方差D (X)與D (Y)也可分別記為XX與YY O相 關(guān)對于隨機變量X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,則稱系數(shù) 為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作 xy (有時可簡記為)。|尸1,當| |=1時，稱X與Y完全相關(guān)：P(X aY b) 1士給相上正相關(guān)，當兀全相關(guān)負相關(guān)，當1 時(a 0),1 時(a 0),而當 0時，稱X與Y不相關(guān)。