用極坐標(biāo)與參數(shù)方程解高考題型及解題策略

1、用極坐標(biāo)與參數(shù)方程解高考題型及解題策略高考題中極坐標(biāo)與參數(shù)方程主要考查簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程等。高考熱點(diǎn)是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，推導(dǎo)簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程。其中以考查基本概念，基本知識(shí)，基本運(yùn)算為主，一般屬于中檔難度題。常以選考題的形式出現(xiàn)，此外在高考數(shù)學(xué)的選擇題和填空題中，用參數(shù)方程與極坐標(biāo)解決問(wèn)題常能收到事半功倍的效果，必須引起教與學(xué)的足夠。因此，對(duì)常見(jiàn)題型及解題策略進(jìn)行探討。一、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1 . 曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程：對(duì)于簡(jiǎn)單的我們可以

2、直接代入公式pcosO =x, psin 8 =y, p 2=x2+y2,但有時(shí)需要作適當(dāng)?shù)淖兓?，如將?子的兩邊同時(shí)平方，兩邊同時(shí)乘以 p等.2 .直角坐標(biāo)(x, y)化為極坐標(biāo)(p , 8)的步驟：(1)運(yùn)用 p = , tan 0 =(x#0);(2)在0 , 2兀)內(nèi)由tan 6 =(x?0)求8時(shí)，由直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷點(diǎn) 所在的象限(即8的終邊位置).解題時(shí)必須注意： 確定極坐標(biāo)方程，極點(diǎn)、極軸、長(zhǎng)度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可. 平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一.當(dāng)規(guī)定p >0, 0W 8 <2兀，使得平面上的點(diǎn)與它的極坐

3、標(biāo)之間是一一對(duì)應(yīng)的，但仍然不包括極點(diǎn) .進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：I.注意p, e的取值范圍及其影響.n .重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用.例如、(2015年全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中。直線Ci： x 2,圓C2：x 12 y 22 1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(I)求Ci, C2的極坐標(biāo)方程；(II )若直線C3的極坐標(biāo)方程為 R ,設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M , N,求4VC2MN的面積解：(I)因?yàn)閤 cos ,y sin ,所以C1的極坐標(biāo)方程為 cos 2, C2的極坐標(biāo)方程為2 2 cos 4 sin 4 0(n)將 /弋入

4、2 2 cos 4 sin 4 0, 得2 3四4 0,解得i 2衣，2衣，故12 后，即|MN |五由于C2的半徑為1 ,所以VC2MN的面積為12二、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用1 .求曲線的極坐標(biāo)方程，就是找出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)p與0之間的關(guān)系，然后列 出方程f( p , 0尸0,再化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)特殊點(diǎn).2 .極坐標(biāo)方程涉及的是長(zhǎng)度與角度，因此列方程的實(shí)質(zhì)是解三角形.3 .極坐標(biāo)方程應(yīng)用時(shí)多化為直角坐標(biāo)方程求解，然后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程， 注意方程的等價(jià)性例如、(2015全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C: x tcos (t為參 y tsin數(shù)，t ?0),其中0W a兀，在以。為極點(diǎn)，X軸正半軸

5、為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 G： 2sin , C：273cos 。(1)求C與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C與G相交于點(diǎn)A, C與G相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值。解：(I)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為X2 y2 2y 0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為 x2 y2 2、3x 0.22-C X心聯(lián)立2 2 2 ya解得，或 2 'x y 2、.3x 0 y 0，3y 2.所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和(。,3)(H)曲線Ci的極坐標(biāo)方程為(R, 0),其中0因此A的極坐標(biāo)為(2sin , ), B的極坐標(biāo)為(2&C0S ,)所以 |AB|2sin 2、.3cos | 4|sin

6、( -)|當(dāng) ，時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4三、簡(jiǎn)單參數(shù)方程及應(yīng)用1 .將參數(shù)方程化為普通方程的基本途徑就是消參，消參過(guò)程注意兩點(diǎn)：準(zhǔn)確把握參數(shù)形式之間的關(guān)系；注意參數(shù)取值范圍對(duì)曲線形狀的影響.2 .已知曲線的普通方程求參數(shù)方程時(shí),選取不同含義的參數(shù)時(shí)可能得到不同 的參數(shù)方程.3 . 一般地，如果題目中涉及圓、橢圓上的動(dòng)點(diǎn)或求最值范圍問(wèn)題時(shí)可考慮用 參數(shù)方程，設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問(wèn)題解決，使解題過(guò) 程簡(jiǎn)單明了.22例如、（2014年全國(guó)卷）坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線 C： 上上1,49直線l： x 2 t （t為參數(shù)）.y 2 2t（I）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的

7、普通方程；（H）過(guò)曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30o的直線，交l于點(diǎn)A,求|PA| 的最大值與最小值.解：（I）曲線C的參數(shù)方程為x 2cos , （為參數(shù)）y 3sin ,直線l的普通方程為2x y 6 0（H）曲線C上任意一點(diǎn)P（2cos ,3sin及打的距離為、一514cos3sin6|則1PAi品 竽15sm） 61，其中為銳角，且tan g當(dāng)阿）1時(shí)，1PAi取得最小值，最小值為學(xué)四、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用第一步：消去參數(shù)，將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程第二步：將曲線C1的普通方程化為極坐標(biāo)方程第三步：將曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；第四步：將曲線C1與曲線C2的直

8、角坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)第五步：把交點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).x 2+t, y kt,(t為參數(shù))，直線l 2的參數(shù)方程為2 m,m(m為參數(shù)).設(shè)l i與l 2的交點(diǎn)為k ,P,例如、(2017年全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線li的參數(shù)方程為當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C(1)寫(xiě)出C的普通方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè) A: p (cos6 +sin。)？強(qiáng)=0, M為l3與C的交點(diǎn)，求 M的極徑.解：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程li：y k x 2l2：y 7 x 2 k消k可得：x2 y2 4即P的軌跡方程為x2 y2 4 ;將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程

9、13：x y&0聯(lián)立曲線C和l3y2 43 22 J2x 解得y, x cos A ,由ysin解得強(qiáng)即M的極半徑是3.五、極坐標(biāo)方程解圓錐曲線問(wèn)題如果圓錐曲線問(wèn)題中涉及到焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)時(shí)，設(shè)曲線方程為極坐標(biāo)方程往往能避開(kāi)繁雜的計(jì)算。227 1，點(diǎn)F是其左焦點(diǎn)，在2例如、（20。7重慶理改編）中心在原點(diǎn)。的橢圓36橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)PiHB使/P1FP2/P2FP3Z P3FP1 1200 .FPiFP2L為定值，并求此定值.FP3解：以點(diǎn)F為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為:設(shè)點(diǎn)Pi對(duì)應(yīng)的極角為,則點(diǎn)P2與P3對(duì)應(yīng)的極角分別為1200、92 cos '120

10、6;, P1 > F2與P3的極徑就分別是IFPil9、2 cosIFP2I991與IFP3I 2 cos( 120 )2 cos( 120 )FPiFP2iFP32 cos 2 cos(991200) 2 cos(產(chǎn)，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道因此11FPiFP2FP3I為定值六、參數(shù)方程解圓錐曲線問(wèn)題1 .參數(shù)方程思想表示普通方程中的兩個(gè)變量，注意參數(shù)幾何意義和取值范2 .消去參數(shù)，用參數(shù)的幾何意義和取值范圍確定所求問(wèn)題的解。2例如、(2016年天津卷)設(shè)橢圓二a2卜4的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知11 3eOF0AFA其中。為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率.(I )求橢圓的方程;(H)

11、設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B (B不在X軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M ,與y軸交于點(diǎn)H .若BFHFMOA < MAO ,求直線l的斜率的取值范圍.解：(I )設(shè) F(c,0)由“3c訪1 3c一 i ?，a a(a c)可得 a2 c2 3c2,又a2 c2 b2 3,所以c2 1,因止匕a224,所以橢圓的方程為-4(II)設(shè)直線l的斜率為k (k 0)則直線l的方程為y k(x 2).設(shè)B(xb»b),22x y由方程組7 T 1 ,消去y ,整理得(4k2y k(x 2)3)x2 16k2x 16k212 0.普，由題意得xb8kp,從而4k 3yB12k4k2 3由(I)知，F(xiàn)(1,0),設(shè) H(0,yH),有 FH ( 14)BF-2_(9 4k _) 由(4k2 3,4k2 3). 由三.因此直線MH2yHBF HF