第6章控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)習(xí)題解答

1、第6章控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)6.1學(xué)習(xí)要點(diǎn)1控制系統(tǒng)校正的概念，常用的校正方法、方式;2各種校正方法、方式的特點(diǎn)和適用性；3各種校正方法、方式的一般步驟。6.2思考與習(xí)題祥解題6.1校正有哪些方法？各有何特點(diǎn)？答：控制系統(tǒng)校正有根軌跡方法和頻率特性方法。根軌跡法是一種直觀的圖解方法，它顯示了當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)（通常為開環(huán)放大系數(shù)） 從零變化到無窮大時，如何根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)的位置確定全部閉環(huán)極點(diǎn)的位置。因此， 根軌跡校正方法是根據(jù)系統(tǒng)給定的動態(tài)性能指標(biāo)確定主導(dǎo)極點(diǎn)位置，通過適當(dāng)配置開 環(huán)零極點(diǎn)，改變根軌跡走向與分布，使其通過期望的主導(dǎo)極點(diǎn)，從而滿足系統(tǒng)性能要 求。頻率特性是系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入信號的響

2、應(yīng)特性。頻域特性簡明地表 示出了系統(tǒng)各參數(shù)對動態(tài)特性的影響以及系統(tǒng)對噪聲和參數(shù)變化的敏感程度。因此， 頻率特性校正方法是根據(jù)系統(tǒng)性能要求，通過適當(dāng)增加校正環(huán)節(jié)改變頻率特性形狀， 使其具有合適的高頻、中頻、低頻特性和穩(wěn)定裕量，以得到滿意的閉環(huán)品質(zhì)。由于波 德圖能比較直觀的表示改變放大系數(shù)和其他參數(shù)對頻率特性的影響，所以，在用頻率 法進(jìn)行校正時，常常采用波德圖方法。系統(tǒng)校正要求通常是由使用單位和被控對象的設(shè)計(jì)單位以性能指標(biāo)的形式提出。 性能指標(biāo)主要有時域和頻域兩種提法。針對時域性能指標(biāo)，通常用根軌跡法比較方便； 針對頻域性能指標(biāo)，用頻率法更為直接。根軌跡法是一種直接的方法，常以超調(diào)量6 % 和調(diào)節(jié)

3、時間ts作為指標(biāo)來校正系統(tǒng)。頻域法是一種間接的方法，常以相位裕量？8c）和 速度誤差系數(shù)kv作為指標(biāo)來校正系統(tǒng)。題6.2校正有哪些方式？各有何特點(diǎn)？答：校正有串聯(lián)校正方式和反饋校正方式。校正裝置串聯(lián)在系統(tǒng)前向通道中的連接方式稱為串聯(lián)校正。校正裝置接在系統(tǒng)的 局部反饋通道中的連接方式稱為反饋校正。如圖6.1所示。圖6.1串聯(lián)校正和反饋校正串聯(lián)校正方式因其實(shí)現(xiàn)簡單而最為常見。反饋校正除能獲得串聯(lián)校正類似的校正 效果外，還具有串聯(lián)校正所不具備的特點(diǎn)：(1)在局部反饋校正中，信號從高能級被 引向低能級，因此不需要經(jīng)過放大；(2)能消除外界擾動或反饋環(huán)內(nèi)部系統(tǒng)參數(shù)波動 對系統(tǒng)控制性能的影響，提供系統(tǒng)更好

4、的抗干擾能力。題6.3串聯(lián)超前、串聯(lián)滯后與串聯(lián)滯后-超前校正各有何適應(yīng)條件？答：(1)串聯(lián)超前校正通常是在滿足穩(wěn)態(tài)精度的條件下，用來提高系統(tǒng)動態(tài)性能的一 種校正方法。從波德圖來看，為滿足控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度要求，往往需要增加系統(tǒng)的 開環(huán)增益，這樣就增大了幅值穿越頻率，相應(yīng)地減小了相位裕量，易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 因而在系統(tǒng)中加入一個相位超前的校正裝置，使之在穿越頻率處相位超前，以增加相 位裕量。這樣既能使開環(huán)增益足夠大，滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求，又能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。申聯(lián)超前校正適合需要附加相角位移在0-65。范圍的系統(tǒng)。超前校正的結(jié)果可以使系統(tǒng)的閉環(huán)頻帶寬度BW增加，從而使動態(tài)響應(yīng)加快；不 改變低頻段對

5、正弦輸入的穩(wěn)態(tài)誤差性能；超前校正裝置所要求的時間常數(shù)是容易滿足 的。但可能帶來因閉環(huán)頻帶寬度BW加寬引入高頻噪聲，需要增加增益等問題。(2)滯后校正有兩種作用。一般地，如果穩(wěn)態(tài)性能滿足要求，而其動態(tài)性能不滿 足要求，并希望降低頻帶寬時，可用滯后校正來降低其穿越頻率，以滿足其動態(tài)性能 指標(biāo)。這種滯后校正的結(jié)果可以增加系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，有利于提高系統(tǒng)放大系數(shù)以 滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求。由于高頻段的衰減，系統(tǒng)的抗高頻擾動能力也增強(qiáng)了。但同時 由于頻帶寬度變窄，瞬態(tài)響應(yīng)將變慢。如果一個反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)性能是滿意的，為了改善其穩(wěn)態(tài)性能，而又不致影 響其動態(tài)性能，可以采用滯后較正。此時就要求在頻率特性低頻段

6、提高其增益，而在 幅值穿越頻率附近仍保持其相位移大小幾乎不變。這兩種作用中，前者是降低了幅值穿越頻率并衰減了高頻段，后者是提高低頻段 增益。但就滯后校正本身而言，其主要作用是在高頻段造成衰減，以使系統(tǒng)獲得充分 的相位裕量。(3)滯后-超前校正幅頻特性的前段是相位滯后部分，具有使高頻段增益衰減的 作用，所以容許在低頻段提高增益，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。幅頻特性的后段是相位 超前部分，因增加了相位超前角度，從而使相位裕量增大，改善了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。 因此，滯后-超前校正常適用于系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)精度和動態(tài)性能都有進(jìn)一步改善的情況。題6.4單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對象傳遞函數(shù)為Gp(s)=K,設(shè)計(jì)相位滯后s(s 4)

7、(s , 5)校正使阻尼比為0.7,穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為30。解：采用根軌跡校正方法。(1)作系統(tǒng)根軌跡如圖6.2(a)所示，并在圖中作日=cos之=45的兩條射線OA 和OB ,分別與根軌跡交于-p1和-p2點(diǎn)。測得-p1和-p2的實(shí)部為12,因此-p1和-p2 的參數(shù)為U =0.7,*=033=1.71,即-R和-p2滿足期望主導(dǎo)極點(diǎn)的要求。用幅值 0.5條件可算出-pi點(diǎn)的根軌跡增益為Kg =20.6,因此系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kg-g- =1.03 ：二30穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)不符合要求0圖6.2 題6.4用圖(2)引入串聯(lián)滯后校正環(huán)節(jié)Gc(s)=2|Zc| IPcIs Pc根據(jù)第一步的計(jì)算，應(yīng)將系

8、統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)提高30倍。所引入的校正環(huán)節(jié)應(yīng)滿足 | Zc |=30| Pc|,為確保校正環(huán)節(jié)對根軌跡不產(chǎn)生顯著影響，選擇 Z = -0.03, pc = -0.001,即滯后校正環(huán)節(jié)Gc(s)=s 0.03s 0.001校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) =Gc(s)Gp(s)=1.04(s 0.03)s(s 4)( s - 5)(s 0.001)校正后系統(tǒng)的根軌跡如下: 分離點(diǎn)由(s 0.03) s(s 4)(s 5)(s 0.001) -(s 0.03)s(s 4)(s 5)(s 0.001)： =0s4 5.001s3 1.998s2 -57.982s - 0.02 =0 用試探法解得

9、：s1球-0.0004,s2-0.064,s2定-2.6。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)(0 -0.001 -4 - 5) -(-0.03)4 -3：-2.99、( -pj) - (-zi) j 1i 1-ff =n - m漸近線與實(shí)軸的夾角_(2k 1)二 _(2k 1)二- = - = 60180 (k=0,1)n-m4 -1系統(tǒng)的根軌跡如圖6.2(b)所示引入開環(huán)偶極子的滯后校正對根軌跡不產(chǎn)生顯著影響，既能保證系統(tǒng)瞬態(tài)特性又 滿足了穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。題6.5單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對象傳遞函數(shù)為Gp(s) = ,設(shè)計(jì)相位超前校正，s(s 4)使校正后系統(tǒng)的超調(diào)量不大于10% ,上升時間不大于2秒，單位斜坡函數(shù)

10、的穩(wěn)態(tài)誤差 不大于0.5。解：采用根軌跡校正方法。(1)根據(jù)期望動態(tài)性能指標(biāo)確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置。為使a% 10%并留有余 地(以確保在其他極點(diǎn)的作用下性能指標(biāo)仍能得到滿足)，選阻尼比且=返。由于2t=cos8 ,主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)位于如圖6.3所示白9 =45的射線上。再運(yùn)用二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時 3間的近似公式ts =4,可選擇4 = 3 ,以保證ts w2s并留有余地。因此主導(dǎo)極點(diǎn)為 , n：23.2 . 3 .2一Pl,2 = 一亡8 n j 缶n 41 一二=一j 。22(2)畫出未校正系統(tǒng)的根軌跡圖，如圖6.3中的實(shí)線所示。由圖可見，根軌跡不 通過期望主導(dǎo)極點(diǎn)，因此不能通過調(diào)節(jié)開環(huán)放大系數(shù)來滿足

11、動態(tài)性能指標(biāo)。圖6.3 題6.5用圖(3)為了使系統(tǒng)根軌跡向左偏移，進(jìn)行相位超前校正。校正裝置環(huán)節(jié)為|Zc 同 Pc |- s zrGc(s)=c s Pc校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) =Gc(s)Gp(s)=Kg(s Zc)s(s 4)(sPc)為了使期望主導(dǎo)極點(diǎn)位于根軌跡上，根據(jù)相角條件應(yīng)有(Pi Zc) - Pi - (Pi 4)- (Pi Pc) -(2k 1)二由圖可知，/r =135/(P1+4) =48.4 ,代入上式，并取k=1可得：(Pi Zc) -(r Pc)=3.4由此可見，只要從圖中的-R點(diǎn)作夾角為3.4的兩條射線，它們和實(shí)軸相交的兩點(diǎn) 即是所求的校正環(huán)節(jié)的零點(diǎn)z

12、c和極點(diǎn)-Pc。這樣的作圖不是惟一的，可按如下方法作 圖：從-Pi點(diǎn)作平行于實(shí)軸的射線RA,再作NArB的角平分線p,然后作pQ和 RE ,它們和PiC的夾角均為口 /2 =i.7, RD和RE與實(shí)軸的交點(diǎn)即為所求的極點(diǎn) -pc和零點(diǎn)-zc。如圖6.3所示，-zc =-6,-pc = 3.5 ,校正環(huán)節(jié)為- s 6Gc(s)二s 7.5(4)檢驗(yàn)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。由幅值條件可知Kg1Pl zc | 二iI Pi II Pi 4| Pi Pc I求得Kg二門，由此得開環(huán)放大系數(shù)，ii.i 6 K = = 2.224 7.5單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差e() =i/ K = 0.45 0.5 ,因此滿足穩(wěn)態(tài)性能

13、指標(biāo)。校正后系統(tǒng)的根軌跡圖示于圖6.4中Im圖6.4 題6.5校正后系統(tǒng)的根軌跡圖題6.6單位負(fù)反饋系統(tǒng)的對象傳遞函數(shù)為Gp(s),若使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度 p s(s 2)誤差系數(shù)為20,相位裕量不小于50,增益裕量不小于10dB試確定系統(tǒng)的串聯(lián)校正 裝置傳遞函數(shù)。解：(1)根據(jù)要求，系統(tǒng)應(yīng)設(shè)計(jì)為I型系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的要求，開環(huán)放大系數(shù) 一.202K =kv=20,取K=10,作Gp(s)=1的波德圖如圖6.5所小。s(2s 1)(2)計(jì)算未校正系統(tǒng)相位裕量，估計(jì)需要附加的相角位移。由z 22020.A( c) =1- =10c女c)2+1%于c計(jì)算出校正前幅值穿越頻率忠0 = 6.32 ,校正前

14、相位裕量 c(c) =180,( c) =180,-90-arctang c) =90，-72.5 =17.5 ： 50,相位裕量不滿足要求。為不影響低頻特性并改善動態(tài)響應(yīng)性能，可采用超前校正。(3)根據(jù)相位裕量)之50的要求，超前校正電路最大相位移應(yīng)為max 一 50：-17.5： =32.5；考慮超前校正后。c 嘰，會使原系統(tǒng)相角位移更負(fù)些，故邛max應(yīng)相應(yīng)地加大。??；max -40：,根據(jù)max =arcsin( d 一 1)/( d 1) = 40,解得d =4.6。(4)設(shè)計(jì)系統(tǒng)校正后的增益穿越頻率為校正裝置(0/+1/0特性)兩交接頻率 叫和叫的幾何中點(diǎn)(考慮到最大超前相位移中ma

15、x是在兩交接頻率孫和缶2的幾何中 點(diǎn))，即c = 彳2 = 1 d因?yàn)樵?。二亂時Ac)=1 ,如認(rèn)為Ec/眄11, %/。2口 1,則得I c20 A(c) 1 =1 .七 c c 2 c代入=叫。，解得叫=4.32, 02 =18.86, % = 9.27。校正后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性如圖6.5所示，其傳遞函數(shù)為Gc(s)Gp(s)s20(1)4.32s(1s 1)( 1) 218.86圖6.5題6.6校正前后系統(tǒng)的波德圖(5)校驗(yàn)校正后相位裕量，9.279.27(c) =180 -90、 arctan -arctan4.322二 90 65-77.80-26.2： =51 50，9.27-ar

16、ctan18.86由于相位中(%)=1800時，相位穿越頻率叫TCO,故增益裕量為汨，所得結(jié)果滿足了系統(tǒng)的要求。(6)串聯(lián)超前校正裝置傳遞函數(shù)為Gc(s)=- (4-32 1)18s86 1)可以用相位超前校正電路和放大器來實(shí)現(xiàn)。放大器的放大系數(shù)等于兀=4.6。題6.7設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gp(s) =s(2s 1)(0.2s 1)，要求校正后系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于10,相位裕量不小于30,并且在頻率大于50的 高頻段具有銳截止-3特性，試確定校正裝置。解：(1)首先確定放大系數(shù)。根據(jù)要求，系統(tǒng)應(yīng)設(shè)計(jì)為R型系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的 要求，開環(huán)放大系數(shù)K =ka210 ,取K=10

17、,作Gp(s)二p s(2s 1)(0.2s 1)的波德圖如圖6.6所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)101010A( c)= st：4乩,)2 (0.2了 1，小解得=石之2.24。相位裕量(c) =180 - 90，-arctan(2 c) - arctan(0.2 c)= 180 -9。0 -77.4： -24.1 = -11.5：表明系統(tǒng)不穩(wěn)定?？紤]高頻抗擾要求，采用串聯(lián)滯后校正。圖6.6 題6.7校正前后系統(tǒng)的波德圖(2)按相位裕量的要求，計(jì)算未校正系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率c處的相角為:Gp(s) = 780； 30 15 =-135；即/Gp(s) = -90 -arctan(2 )-ar

18、ctan(0.2 c) = -1351解得禮飛0.43。c(3)在牝定0.43處未校正系統(tǒng)的幅值為：L( c) ： 201g10 -20lg(2 c) =21.3dB由 L(M)=201g Z ,可確定 X= 11.6。s/0.1 1(4)選擇c/(1/T) T/5 ,確定交接頻率4=1/T =0.1 , Si=1/(ZT) =0.009。 得到校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為Gc(s)=s/0.009 1將校正環(huán)節(jié)Gc(s)的對數(shù)頻率特性繪制在圖6.6中，并與原系統(tǒng)Gp(s)的對數(shù)頻率 特性代數(shù)相加，即得出校正后系統(tǒng)Gc(s)Gp(s)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲 線。校正后開環(huán)傳遞函數(shù)Gc(s)

19、Gp(s)=10(10s 1)s(2s 1)(0.2s 1)(111s 1)(5)校正后系統(tǒng)的相位裕量(c) =180； -90,arctan(10 c) arctan(2 -c) 一 arctan(0.2 c) - arctan(111c)= 90： 77 J 40.70-4.9 -88.80 =32.6并且在頻率大于50的高頻段具有銳截止-3特性，滿足要求。題6.8單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=,要求系統(tǒng)s(0.02s 1)(0.5s 1)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于100,相位裕量不小于40,幅值穿越頻率等于10弧度/ 秒的性能指標(biāo)，試確定串聯(lián)校正方法和校正裝置傳遞函數(shù)。解：(1

20、)根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，可得K=kv100,取K=100,繪制未校正系統(tǒng) 的波德圖如圖6.7所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)解得c cA( c)100c . (0.02 c)2 1 *0.5 c)2 1=應(yīng)而圜4.1 。相位裕量10c 0.5 ccc=1(-c) =180：；90；-arctan0.02 c -arctan0.5 c =90 -15.7 -81.9 - -7.6令相位兩邊取正切:有( j) - -901 -arctan0.02 j -arctan0.5 j - -180190, -arctan0.02=arctan0.5 jtan90 -arctan0.02 j = tanarctan

21、0.5 j10.02=0.5 j.10100100二 50j 0.02 j代入幅頻特性，得A( j):22j . (0.02 j)2 1 .,.(0.5)2 - 1則增益裕量GM -20logA( ) - -20log50 =34 dB。不滿足要求。采用滯后一超前校正如下(2)確定滯后一超前校正電路相位滯后部分。按照系統(tǒng)動態(tài)特性要求，設(shè)校正后 的穿越頻率R=10。 c校正前系統(tǒng)在穿越頻率6c =10處的相角(c ) = -90 -arctan 0.02，J。arctan 0.5 c ： 0因此校正所需的相位最大超前角約400 +15 =55。設(shè)交接頻率叫=1/1為新的穿越頻率 = 10的1/5處，即以=2 , Ti =1/叫=0.5?？紤]所需的相位最大超前角約