實變函數與泛函分析基礎(第三版)----第五章-復習指導

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 主要內容本章的中心內容是建立一種新的積分 勒貝格積分理論它也是實變函數數論研究的中心內容一、關于勒貝格積分的建立本章首先引入測度有限點集上有界函數的積分，這是全章的基礎，建立有界函數的積分時應注意兩點：一是黎曼積分意義下的積分區(qū)間，現(xiàn)已被一般點集所代替；二是分劃的小區(qū)間長度，現(xiàn)已被點集的測度所代替 一般集合上一般函數的積分是通過兩步完成的第一步是建立非負函數的積分它是通過非負函數表示為有界函數列的極限、把無窮測度集合表示為測度有限集列的極限來完成的第二步是建立一般函數的積分，它是將其分解兩個非負函數(正部與負部)的差的辦法來完成的二、勒貝格積分的性質勒貝格積分的性質

2、主要反映在以下幾個方面：(1)勒貝格積分是一種絕對收斂積分，即在上可積當且僅當在上可積(在上可測)這是它與黎曼積分重要區(qū)別之一(2)勒貝格積分的絕對連續(xù)性設在上可積，則對任意，存在，使當且 時，恒有(3)勒貝格積分的唯一性即的充要條件是于由此可知，若與幾乎相等，則它們的可積性與積分值均相同(4)可積函數可用連續(xù)函數積分逼近設是可積函數，對任意，存在上的連續(xù)函數，使此外尚有許多與黎曼積分類似的性質，如線性性、單調性、介值性等，望同學們自己總結、比較三、關于積分極限定理積分極限定理是本章的重要內容，這是由于積分號下取極限和逐項積分，無論在理論上還是應用上都有著十分重要的意義其中列維漸升函數列積分定

3、理(定理5.4.1)，勒貝格控制收斂定理(定理5.4.2)，和法都定理(定理5.4.3)在現(xiàn)代數學中都有廣泛的應用 同學們不難發(fā)現(xiàn)，與黎曼積分相比較，勒貝格積分與極限換序的條件大大減弱，這也是勒貝格積分優(yōu)越于黎曼積分的重要之處四、關于勒貝格積分同黎曼積分之間的關系我們知道，若上的有界函數黎曼可積，則必勒貝格可積且二者積分值相等值得注意的是，上述結論對于廣義黎曼積分并不成立實際上，廣義黎曼可積函數成為勒貝格可積的充要條件是該函數廣義黎曼絕對可積關于勒貝格積分的計算，一般是應用積分的定義借助于積分的性質將其轉化為黎曼積分五、勒貝格重積分換序的富比尼定理指出，只要在上可積即可將重積分化為累次積分特別

4、是對非負可測函數來說，可無條件換序，這是勒貝格積分較黎曼積分的又一優(yōu)越之處 復習題（一）一、判斷題1、設是可測集上的非負簡單函數，則一定存在。（ ）2、設是可測集上的非負簡單函數，則在上勒貝格可積。（ ）3、設是可測集上的非負簡單函數，且，則在上勒貝格可積。（ ）4、設是可測集上的非負可測函數，則一定存在。（ ）5、設是可測集上的非負可測函數，則在上勒貝格可積。（ ）6、設是可測集上的非負簡單函數，且，則在上勒貝格可積。（ ）7、設是可測集上的可測函數，則一定存在。（ ）8、設是可測集上的可測函數，且，至少有一個成立，則一定存在。（ ）9、設是可測集上的可測函數，且，至少有一個成立，則在上勒貝

5、格可積。（ ）10、設是可測集上的可測函數， 若且，則在上勒貝格可積。（ ）11、設是可測集上的可測函數， 若，則。（ ）12、設是可測集上的可測函數， 若且，則。（ ）13、若為零測集，為上的任何實函數，則。（ ）14、若，則。（ ）15、若，則。（ ）16、若，則。（ ）17、若，為的可測子集，則。（ ）18、在上勒貝格積分值存在。（ ）19、若，且，則于。（ ）20、若在上可積，則若在上可積，且。 （ ）21、若，且于，則。（ ）22、若，則于。（ ）23、若，則于。（ ）24、若與存在，且，則。（ ）25、若存在，是的可測子集，且，則。（ ）26、勒貝格積分也是黎曼廣義積分的推廣。（

6、）二、計算題1、設，求。解：因為有理數集為零測集，所以，于，于是。2、設，其中為中的三分康托集，求。解：因為，所以，于，于是。三、證明題1、設是可測集上的可測函數，且，則。證明：由題設及不等式性，有。所以，從而。2、，。則，且。證明：因為，而由，得，即。所以，。3、設，是的可測子集，且，若，則。證明：因為是的可測子集，且，所以，從而由得，。又，由積分的絕對連續(xù)性，。4、設，若對任意有界可測函數都有，則于。證明：由題設，取，顯然為上的有界可測函數，從而。所以，于，即于。5、設，證明（1）；（2）。證明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由積分的絕對連續(xù)性得，從而注意到，所以，。6.證明：如果

7、是E上的非負函數，則于E證：若不然，不妨令. 于是集 必存在某一使令 于是，這與題設矛盾，所以于E7.設上的一非負可測函數列，則 .證明 相應于每個正整數，令 ，則是非負可測遞增列，且.據定理5.3.1，所以.證畢.8. 設為可測集，為上的一列非負可測函數，在上有令，證明：證明：顯然在上非負可測且，故，因而現(xiàn)證相反的不等式任取上的一個非負簡單函數使得時：，令，則可測，且，故由的任意性可得再由的任意性即得補充證明是顯然的，則，且，使得，即得由的任意性得證明：由條件知為E上非負可測函數遞增列，所以有定義 ，又故有定義，且從函數列的漸升性知道， （1）令滿足是上的非負可測簡單函數，且，則En是遞增集

8、列，且，故，.由非負可測函數積分定義. (2)綜合(1)與（2）得9.計算解 令則 且對任何都有。顯然可測，由Lebesgue控制收斂定理，。10.應用控制收斂定理證明：. 證：令，則對，有注意到，當時，有；當時，有令，則，且易知,即在上可積，所以由控制收斂定理知證畢。10. 設可測，在上可積，證明.證明：（1）常數 （2）對任意的，因為，存在， 使當，時，有（積分絕對連續(xù)性）.由（1）知 ，故存在，當時有，. 于是， （）由此，.第五章 復習題（二）一、判斷題1、設是可測集上的可測函數列，是可測集上的可測函數，如果于，則。（）2、設是可測集上的可測函數列，是可測集上的可測函數，如果（），則。

9、（）3、設是可測集上的可測函數列，是可測集上的可測函數，如果且（）或于，則。（）4、設是可測集上的非負可測函數列，如果，則。（ ）5、設是可測集上的非負可測函數列，如果，則。（）6、設是可測集上的非負可測函數列，則。（）7、設是可測集上的非負可測函數列，則。（ ）8、設是可測集上的非負可測函數列，則。（ ）9、設是可測集上的非正可測函數列，則。（ ）10、設是可測集上的可測函數列，則。（）11、設在可測集上的勒貝格積分存在，且，則。（）12、設在可測集上的勒貝格積分存在，且，為兩兩不交的可測集，則。（ ）13、設在上可測，則。（）14、設在上非負可測，則。（ ）15、設在上勒貝格可積，則。（

10、）二、計算題1、設（），求。解：因為，且，由有界法則得，。2、設（），求。解：當時，且。而，所以，。由勒貝格控制收斂定理得。3、設（），求。解：易見，且，而。由勒貝格控制收斂定理。4、設（），求。解：易見，且，而。由勒貝格控制收斂定理。三、證明題1、設，為上幾乎處處有限的可測函數列，證明：在上，的充要條件是。證明：因為對任意，有，所以?！俺浞中浴保喝?，則，從而。“必要性”：若，則，又，且，由有界法則，。2、設為上非負可測函數列，且（），若，且存在，使得，則。證明：令（），由題設，易見單調遞增，且，。又，即，由勒貝格控制收斂定理，即。3、設（）都是上的可測函數，證明：在上幾乎處處絕對收斂，其和函數在上勒貝格可積