彈性波動力學重點復習題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上緒論復習思考題1什么是彈性體?當一個物體受到外力作用，在它的內(nèi)部質點間發(fā)生位置的相對變化，從而使其形狀改變，當外力作用取消后，物體的應力、應變狀態(tài)立刻消失，并恢復原有的形狀。這類物體稱為彈性體。2物體在什么條件下表現(xiàn)為彈性性質，在什么條件下表現(xiàn)為塑性性質?在外力作用較小，作用時間較短情況下，大多數(shù)物體包括巖石在內(nèi)，表現(xiàn)為彈性體性質。外力作用大，作用時間長的情況下，物體會表現(xiàn)為塑性體性質。3彈性動力學的基本假設有哪些?（1）介質是連續(xù)的（2）物體是線性彈性的（3）介質是均勻的（4）物體是各向同性的（5）物體的位移和應變都是微小的 （6）物體無初應力 4什么是彈性動力學中

2、的理想介質?理想介質：連續(xù)的、均勻的、各向同性的線性完全彈性介質。第二章復習思考題3什么是正應變、切應變、相對體變?寫出它們的位移表達式。答：正應變是彈性體沿坐標方向的相對伸縮量。切應變表示彈性體扭轉或體積元側面角錯動。相對體變表示彈性體體積的相對變化。4什么是旋轉角位移?寫出它與(線)位移的關系式。旋轉角位移為體積元側面積對角線的轉動角度。5試解釋應變張量和旋轉張量中各分量的物理含義。分別表示彈性體沿x、y、z方向的相對伸長量；分別表示平行于坐標面、和xoz的側面積的角錯動量。分別表示與坐標面、xoz和平行的側面積對角線圍繞、y和軸的旋轉角。 11設彈性體內(nèi)的位移場為，其中都是與1相比很小的

3、數(shù)，試求應變張量、轉動角位移矢量及體積膨脹率(相對體變)。解： 應變張量體積膨脹率12已知彈性體內(nèi)的位移場為，其中為已知常數(shù)，試求應變張量和旋轉張量，并闡述此結果反映什么物理現(xiàn)象。解： 應變張量體積膨脹率反映了該彈性體沒有發(fā)生體積及形狀的變化，只是繞z軸旋轉了一個角度。6什么是應力、正應力、切應力、應力張量?答：作用于單位截面積上的內(nèi)力，稱為應力。應力作用方向與作用截面垂直，稱為正應力；應力作用方向在作用截面上，稱為切應力。三個相互正交的坐標面上應力矢量共同構成了應力張量。記為。14. 已知彈性體內(nèi)一點P處的應力張量由矩陣給出。試求過點P外法線方向為u=2i-2j+k的面元上的應力矢量。解：

4、外法線單位矢量為由得得 則： 8. 楊氏模量、泊松比、剪切模量、體變模量各表示了什么物理含義?答：（1）楊氏模量E，是正應力與正應變的比例系數(shù)；（2）切變模量，是切應力與切應變的比例系數(shù)；（3）拉梅系數(shù)，反映正應力與正應變的比例系數(shù)的另一種形式；（4）壓縮模量或體變模量K，表示單元體在脹縮應變狀態(tài)下，相對體變與周圍壓力間的比例系數(shù)；（5）泊松比，表示物體橫向應變與縱向應變的比例系數(shù)，故也稱橫向形變系數(shù)。19. 已知一各向同性線性彈性體的彈性模量為：楊氏模量E=210Gpa，泊松比為0.28；其中一點處的應變分量為，其中a=，試求拉梅常數(shù)，并寫出該點上的應力張量。解：體應變則由應力應變關系 1已

5、知一彈性介質內(nèi)，位移場為 ,其中試求點P(0,2,-4)處的應變張量、轉動向量、體應變以及該點處的應力分量。 解：由題可知在P(0,2,-4)點 ， ， ， 則應變張量為或 由轉動向量 體應變由應力應變關系有 20. 將代入用下標記號表示的運動微分方程中，化為矢量方程，并用梯度算子表示。解：由可知 代入運動微分方程得：將各式分別乘以單位向量，相加，得：第三章復習思考題3寫出縱波和橫波速度的表達式，分析它們之間的大小關系。 由于，因此，即，可見縱波速度大于橫波速度。4什么叫泊松體?泊松體的拉梅常數(shù)、縱橫波速度、泊松比各有什么特點?答：，或者，具有這種性質的物體稱為泊松體。對泊松體而言，。14已知

6、某彈性介質中的P波速度為3600ms，S波速度1950ms，求該介質的泊松比。解： 15已知彈性介質中楊氏模量為E，泊松比為，求介質的P波速度和S波速度。解： 6簡述地震波在彈性介質中傳播的基本規(guī)律。答：惠更斯（Huygens）原理：任意時刻波前面上的每一點都可以看作是一個新的波源（子波源），由它產(chǎn)生二次擾動，形成新的波前，而以后的波前位置可以認為是該時刻子波前的包絡線。由波前面各點所形成的新擾動（二次擾動）在觀測點上相互干涉疊加，其疊加結果是在該點觀測到的總擾動。斯奈爾（Snell）定律：反射波滿足反射定律，而透射波滿足折射定律（地震學中稱透射定律），地震波也遵循這個規(guī)律，統(tǒng)稱為斯奈爾定律。

7、在界面上，入射波、反射波和透射波的 值相等，稱為射線參數(shù)。7寫出周期、頻率、波長、波數(shù)、速度各量之間的關系式。 10簡述非均勻波的主要特點。答：非均勻波的振幅在空間是變化的，隨著空間坐標在變化。不均勻平面波其等相位面與等振幅面互相垂直。16已知介質1的P波速度為，介質2的P波速度為，有一平面簡諧P波以入射角自介質1入射到兩介質的分界面上，已知入射波的振幅為，頻率為30Hz，反射P波和透射P波的振幅分別為和，試寫出這三個波的波函數(shù)表達式。解：臨界角，入射角小于臨界角。反射角等于入射角，根據(jù)透射定律，透射角。平面簡諧波函數(shù)，x軸向右，z軸向下入射波：反射波：透射波：17已知一簡諧P波的波函數(shù)為，試

8、求以下問題： (1)設x軸向右，z軸向下，請用一經(jīng)過原點的射線畫出此波的傳播方向，并標明角度。 (2)這個波的圓頻率和圓波數(shù)各是多少?在x方向和z方向上的視波數(shù)各是多少?圓頻率在x方向和z方向上的視波數(shù)圓波數(shù)或者(3)這個波的真實傳播速度、在x方向和z方向上的視速度各是多少?解： 求解得波的真實傳播速度：在x方向和z方向上的視速度、11球面波、柱面波與平面波的本質區(qū)別在哪里?試解釋球面擴散因子和柱面波擴散因子的物理含義。答：平面波在其傳播過程中波形及其振幅都不變化，而球面波的振幅隨傳播距離r的增大而衰減1/r，并且球面波在其傳播過程中波形逐漸改變。遠離震源時，柱面波的振幅隨r增大而衰減，與成正

9、比。球面擴散因子：表示波遠離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與到震源的距離成反比。柱面波擴散因子：表示波遠離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與成反比。第四章復習思考題1什么是機械能密度?什么是能流密度?寫出能流密度和機械能密度的關系式，并解釋其物理意義。答：單位體積物體所具有的機械能叫機械能密度。能流密度：單位時間內(nèi)通過與能量傳播方向垂直的單位截面積的機械能。表明了單位體積的體積元內(nèi)機械能在單位時間內(nèi)的減少量等于通過其表面積的機械能流失量。2寫出能流密度與應力張量和位移矢量的關系。寫出簡諧波強度的表達式。答： 或 14一平面波的位移位為，求應變張量分量、應力張量分量、能流密度矢量及波的強度分布

10、。解：由可知 能流密度矢量波的強度分布3常見的平面極化波有哪幾種?什么叫轉換波?什么時候會產(chǎn)生轉換波?答：常見的平面極化波有縱波、SV波（垂直極化橫波）、SH波（水平極化橫波）。同入射波極化類型不同的波稱為轉換波(如入射波為縱波，則有轉換反射橫波和轉換透射橫波)。轉換波的產(chǎn)生是由于入射波傾斜地作用在分界面上，它可分解為垂直于界面的力和切向力兩部分，導致體應變和切應變，則相應有P波和SV波產(chǎn)生。轉換波的能量與入射角有關，垂直入射時不能形成轉換波；只有入射角達到一定程度時，才有足夠能量的轉換波被記錄下來。6Knott方程和Zoeppritz方程各表達了什么含義?它們之間的關系如何?答：Knott方

11、程表示以位移位振幅比表示的P波入射時的P波反射系數(shù)、SV波反射系數(shù)、P波透射系數(shù)和SV波透射系數(shù)的表達式。求解該方程，可以得到以位移位振幅比表示的縱橫波的反射系數(shù)及縱橫波的透射系數(shù)。同時，也是用位移位振幅比表示的入射縱波和各反射波或透射波的能量分配關系?？梢钥闯觯鼈兂送肷浣怯嘘P外，還同上下介質的速度和密度參數(shù)的比值有關。Zoeppritz方程表示以位移振幅比表示的P波入射時的P波反射系數(shù)、SV波反射系數(shù)、P波透射系數(shù)和SV波透射系數(shù)。7寫出平面P波垂直入射到彈性界面上時的反射透射系數(shù)表達式，并說明其主要特點。（1）平面P波垂直入射到彈性界面上時，將產(chǎn)生反射P波和透射P波。為了形成反射波，

12、分界面兩側介質波阻抗必須存在著差異，。波阻抗差異大，反射系數(shù)大，界面反射波強；相反，波阻抗差異小，反射系數(shù)小，界面反射波弱。（2）當波在波阻抗大的分界面（）反射時，反射系數(shù)為正，這意味著反射波相位與入射波相位相同。相反，當波入射到波阻抗小的分界面（）時，反射系數(shù)為負值。這時反射波相對入射波有相位差，稱為“半波損失”現(xiàn)象。（3）平面P波垂直入射到彈性界面上時，在分界面另一側產(chǎn)生的透射波，總是和入射波同相位。8什么叫透射損失?寫出其表達式。答：表示波從不同的方向穿過同一界面一個來回時振幅的變化，稱為界面的“透射損失”。9證明平面P波垂直入射到彈性界面上時滿足能量守恒關系。證：=0，入射P波的能量：

13、反射P波的能量：透射P波的能量： 把代入能量計算式所以平面P波垂直入射到彈性界面上時滿足能量守恒關系。第五章復習思考題1試解釋頻散的概念和相速度、群速度的物理含義。答：如果傳播速度成為與地震波的頻率有關的函數(shù)，那么構成脈沖波的各簡諧分量將分別以各自不同的速度傳播，在經(jīng)過一定的時間后，各簡諧波有著不同的傳播距離，因而由它們疊加而成的波的延續(xù)長度(擾動區(qū)域的范圍)就要比開始時有所增大。換句話說，隨著時間的推移，一個脈沖波將逐漸地變?yōu)橐涣胁?，這種現(xiàn)象稱為波的頻散(dispersion)。相速度：簡諧波中任一等相位面的傳播速度，即整個簡諧波的傳播速度。群速度：整個波列的傳播速度。第六章復習思考題1解釋

14、波動方程的克其霍夫積分解即式(615)的物理含義。答:式中的體積積分項是非齊次波動方程的特解，對應區(qū)域內(nèi)部震源對波場貢獻部分，被積函數(shù)r為內(nèi)部空間震源單元到觀測點P的距離；而式中的面積積分是齊次波動方程的一般解，反映區(qū)域以外的外部空間震源的影響。2解釋推遲位和超前位的概念。推遲位: 超前位；4克其霍夫積分解求解的是哪一類波動方程?其求解思路是什么?答：震源分布于曲面以外的區(qū)域，我們希望確定曲面內(nèi)部空間的位移場，解決的則是內(nèi)部問題。（1）利用傅立葉變化得到亥姆霍茲方程（2）利用格林公式求解亥姆霍茲方程（3）利用傅里葉反變換求未知函數(shù)3解釋克其霍夫繞射公式中各項的物理含義，并說明克其霍夫繞射公式在

15、實際中的應用。答：空間任意一點P的波場值都是閉合曲面S上各點作為新震源發(fā)出的二次元波在該點疊加的結果，參與疊加的各元波對P點波場所起的貢獻大小不同，貢獻大小由方向因子決定。5解釋菲涅耳帶的概念及其影響因素，并說明菲涅耳帶半徑與地震分辨率的關系。答：積分式的積分區(qū)域S是地下整個反射面的面積。為了完成這一積分，我們對積分區(qū)域S進行分解，按照一定原則將它劃分成一系列以地下反射點R為圓心的同心圓環(huán)狀區(qū)帶。劃分的原則是：使得相鄰圓環(huán)上的點到P點的距離之差等于地震波長的四分之一。這樣，來自相鄰圓環(huán)上各點的繞射波傳到P點的雙程走時為地震波周期的一半，即反相。這些同心圓環(huán)分別稱為第一、第二、第三、菲涅耳帶。第

16、一菲涅耳帶也簡稱菲涅耳帶。 對地下整個界面S的積分，近似等于對第一菲涅耳帶Sl內(nèi)的積分的一半。習慣上不考慮常數(shù)，認為菲涅耳帶內(nèi)繞射波的積分就是反射波場。菲涅耳帶半徑: 菲涅耳帶決定著地震反射的橫向分辨率?？梢钥闯觯缑媛癫卦缴?，地震波波長越大(頻率越低)，菲涅耳帶半徑越大，地震橫向分辨率越低；反之，地震橫向分辨率越高。第七章復習思考題5常用的描述地震波吸收特性的參數(shù)有哪些？寫出它們各自的表達式及相互關系式。答：（1）吸收系數(shù)： 可見，表示地震波振幅隨傳播距離的衰減，單位是1/m。（2）衰減因子： 表示地震波振幅隨傳播時間的衰減，單位是1/s。（3）對數(shù)衰減率： 對數(shù)衰減率描述了波傳播一個波長或

17、一個周期時的振幅變化，是個無量綱的量。對數(shù)衰減率與吸收系數(shù)間存在下列關系（4）品質因子：利用在一個波長的距離上（或一個周期T的時間內(nèi)）地震波能量的相對衰減量來描述介質的吸收性質。 或 7. 已知某地層的品質因子Q=60，地震波速度v=2000m/s，以地震波離開震源200m時的能量為參考標準，進行下列計算并做簡單的比較。（1）計算離開震源2200m處2Hz，40Hz，100Hz的地震波由于地層吸收而衰減的能量。（2）計算離開震源2200m處2Hz，40Hz，100Hz的地震波由于球面擴散而衰減的能量。（3）若離開震源距離變?yōu)?200m，重新計算上述內(nèi)容。解：（1）一個波長的距離上（或一個周期T

18、的時間內(nèi)）地震波能量的相對衰減量 地震波的波長2Hz的地震波的波長為1000m離開震源2200m處地震波能量的相對衰減量為：40Hz的地震波的波長為50m離開震源2200m處地震波能量的相對衰減量為：100Hz的地震波的波長為20m離開震源2200m處地震波能量的相對衰減量為：（2）地震波由于球面擴散而衰減的能量與頻率無關，只與傳播路徑有關。因為 ，所以（3）離開震源距離變?yōu)?200m2Hz的地震波能量的相對衰減量為：40Hz的地震波能量的相對衰減量為：100Hz的地震波能量的相對衰減量為：地震波由于球面擴散而衰減的能量 公式推導題1試推導出幾何方程及體應變。解： 以為例來推導 單元體沿x方向

19、受力， 相對伸長量為同理可得則體應變?yōu)?2. 什么是切應變？推導切應變答：切應變也稱剪切應變，表示彈性體扭轉或體積元側面角錯動。如圖所示，由彈性體中截取一個體積元，考察其側面積在應變過程中的變化。設物體受一個切向力的作用，形狀發(fā)生改變，側面積變?yōu)?。我們假定位置不變，移至，移至，即垂直線段沿方向發(fā)生了位移，水平線段沿垂直方向發(fā)生了位移。顯然，；在應變過程中側面積形狀的改變表現(xiàn)為其側面角度錯動。我們這里假定點位置不變，其位移為零，并不影響有關側面積形狀的討論。由圖可以看出，側面積側面角由變?yōu)?，變化量?因此，側面角變化量為： 同理可以討論其它兩個側面積形狀的改變。對平行于坐標面的側面積，可有：對平

20、行于坐標面的側面積，可有： 3. 根據(jù)虎克定律，推導正應力與正應變關系式，其中、為拉梅系數(shù)。解：據(jù)實驗結果，相對伸長量與作用力（正應力）成正比。對沿x方向伸長的物體，有，E為楊氏模量。另一方面，物體沿一個方向伸長時，在其它兩個方向會發(fā)生壓縮?？v向伸長和橫向壓縮存在著比例關系，即：，為泊松比。同理在y、z方向也存在類似關系式：一般情況每個方向既發(fā)生縱向伸長（或壓縮），也發(fā)生橫向壓縮（或伸長），則可寫出如下關系式： （1）相對體積變化為： （2）由（1）式和（2）式解得應力、的表達式 令得 、稱為為拉梅系數(shù)。4. 根據(jù)達蘭貝爾原理，推導彈性介質運動的應力方程。解：設介質質點位移函數(shù)為對于彈性介質體

21、內(nèi)的一體積元dv，為介質密度，則其受慣性力為 ，對整個體積V，求積分得到對于介質受到的在i方向的面力為，為應力分量，為法線的方向余弦。S面上的微量面元ds的面力作用為，對作用于整個封閉曲面S的面力為作用于介質的體力分布于整個體積上，與質量有關。定義為作用于單位質量上的體力，是它在i方向的分量，則作用在介質上的體力為。由達蘭貝爾原理，慣性力與體力和面力相平衡，按作用力各分量列出方程式： 利用散度定理將面力項化為體積分的形式可得對于任意的V上式均成立，則被積函數(shù)為零，即5. 由運動平衡微分方程式推導出由位移向量表示的運動位移方程解：運動應力方程的展開式為把應力與應變關系式及應變與位移的關系式代入上

22、式再整理。 以式（1）為例代入整理同理 將得到：再將和代入上式得到6. 由齊次波動方程推導縱波與橫波波動方程，。（提示：利用關系式）解：將代入運動位移方程利用若兩個方括號中的式子為零，則方程得到滿足。 其中縱波傳播速度：，橫波傳播速度：7. 利用傅里葉變換法求解波動方程一維齊次波動方程的平面波達蘭貝爾解，并說明達朗貝爾解物理意義。解：利用傅里葉變換式對方程求傅里葉變換利用了傅里葉變換的時域微分性質式中，是波數(shù)。此方程就是一維亥姆霍茲方程，它的解使用傅里葉反變換可得時間域的解，其形式為這里利用了傅里葉變換的時移性質式中，和為子波函數(shù)，和是它們的傅里葉變換。即式為一維齊次波動方程的平面波達蘭貝爾解

23、。是一個沿+方向以為速度傳播的平面波，是一個沿方向以為速度傳播的平面波。一維波動方程的通解表示介質中激發(fā)的平面波總是分為兩部分傳播出去，這兩部分平面波的傳播方向相反、速度相等。8當SH波入射到自由表面上時，會產(chǎn)生什么樣的反射波，推導反射系數(shù)公式。解：如圖所示，一個SH波入射到自由表面上，只可能產(chǎn)生一個反射SH波。入射波和反射波的位移函數(shù)入射SH波：反射SH波： 在時，有邊界條件： 將代入邊界條件求解得到 SH波在自由表面的反射系數(shù)為1，與入射角無關，且無轉換波產(chǎn)生，也無半波損失現(xiàn)象。9.推導SH波入射到介質分界面時的反射、透射系數(shù)公式。解：SH波入射到介質分界面時只產(chǎn)生反射 SH波、透射SH波

24、。設入射角為、根據(jù)Snell定理反射角與入射角相等，透射角為，并且，位移v滿足齊次波動方程，入射波、反射波、透射波的位移函數(shù)分別為 邊界條件為： 其中把位移函數(shù)代入邊界條件得通過求解此方程組得到10推導P波入射到自由表面時位移振幅比與位移位振幅比之間的關系。 解：入射P波、反射P波和反射SV波的位函數(shù)分別為(1)入射P波(2)反射P波(3)反射SV波將入射波、反射波和反射波位移位、和，分別代入式，得到各類波相應的位移分量、；處的位移根據(jù)其分量計算入射P波：反射P波：反射SV波： 得到處的反射波和入射波振幅比：（利用廣義Snell定律，后面的e指數(shù)是相同的） 位移振幅比等于位移位振幅比乘以相應波

25、傳播速度之比的倒數(shù)。11.瑞雷面波是怎樣產(chǎn)生的？具有什么特點？推導瑞雷面波的位函數(shù)。推導瑞雷面波的存在條件，即。答：瑞雷面波是由于縱波與橫波入射到自由表面時干涉而產(chǎn)生的。Rayleigh面波是沿x方向平行于自由表面?zhèn)鞑?，波的振幅與z坐標有關，并且在z>0，即下半空間隨著z的增大，振幅呈指數(shù)衰減，當z時，該波不存在。瑞雷面波的位函數(shù)和滿足齊次波動方程波動方程的通解可以表示為：設波沿x方向的視速度為c，視波長為，瑞雷面波是沿x方向以c為速度傳播的平面簡諧波，則波函數(shù)形式可以寫成： 把第一項改造為振幅沿z方向(z>0)衰減的項，而所討論的瑞雷面波正是具有這樣的性質。為此將c改寫為，表示瑞雷面波的傳播速度，改寫為，取 為了使上面兩項