高級經(jīng)濟(jì)學(xué)SOLOW經(jīng)濟(jì)增長模型

1、第八章 SOLOW經(jīng)濟(jì)增長模型 一、經(jīng)濟(jì)增長理論： 在世界各地，生活水平差異之大幾乎令人難以理解。生活水平的這些差異對人的福利有著重要的含義。實際收入在國家間的差異與營養(yǎng)、教育程度、嬰兒死亡率、預(yù)期壽命，以及其他福利指標(biāo)的差異密切相關(guān)。與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)在傳統(tǒng)上著重考慮的短期波動的各種可能后果相比，長期增長的福利后果更為重要。如在一次一般的衰退中，人均實際收入僅比正常值低幾個的百分點。而在20年間生產(chǎn)率增長每放慢1個百分點，就會使人們的收入水平降低20%以上。 如果印度的人均實際收入以平均年增長率1.3%增長下去，要花200年才能達(dá)到美國目前的水平。如果以平均年增長率3%增長下去，這一過程所需時間不

2、到100年，而如果以平均年增長率5.5%增長下去，所花時間只需50年左右。正如羅伯特.盧卡斯（1988）所說“一旦一個人開始思考（經(jīng)濟(jì)增長問題），他就不會再考慮其他任何問題。 二、模型的基本假定： 1、投入與產(chǎn)出的假定： SOLOW模型包含四個變量：產(chǎn)量（Y），資本（K），勞動（L）和知識或勞動的有效性（A）。在任一時間，經(jīng)濟(jì)中有一定量的資本、勞動和知識，而這些被結(jié)合起來生產(chǎn)產(chǎn)品。生產(chǎn)函數(shù)的一般形式為： Y(t)=F(K(t),A(t)L(t) (8-1) 其中：t表示時間。 生產(chǎn)函數(shù)有兩個特點： （1）時間并不直接進(jìn)入生產(chǎn)函數(shù)，只是通過是K，L和A的函數(shù)而進(jìn)入。只有在生產(chǎn)投入變化時，產(chǎn)量才隨

3、時間而變化。 （2）A和L以相乘的形式進(jìn)入生產(chǎn)函數(shù)，AL稱為有效勞動，以這種形式引入的技術(shù)進(jìn)步稱為勞動增進(jìn)型或哈羅德中性的。對A的這種進(jìn)入生產(chǎn)函數(shù)的設(shè)定方式，與該模型的其他假定一起，將意味著資本-產(chǎn)量比K/Y最終將穩(wěn)定下來。 2、關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)的假定： 生產(chǎn)函數(shù)對于其兩個自變量資本和有效勞動是規(guī)模報酬不變的。這意味著生產(chǎn)函數(shù)中對兩個自變量同乘以任意非負(fù)常數(shù)，將使產(chǎn)量同比例變動： F(cK,cAL)=cF(K,AL) （8-2） 對所有的c>=0都成立。 規(guī)模報酬不變的假定可以分解成以下兩個假定： （1）經(jīng)濟(jì)足夠大，從而不可能再從專業(yè)化分工中得到收益和好處。 （2）資本、勞動和知識以外的投入

4、品是相對不重要的，因而可以忽略土地和其他自然資源對經(jīng)濟(jì)帶來的收益。 由規(guī)模報酬不變的假定，可以得到密集形式的生產(chǎn)函數(shù)，在方程8-2中，令c=1/AL,得： F(K/AL,1)=(1/AL)F(K,AL) （8-3） 式中:K/AL定義為每單位有效勞動的平均資本數(shù)量,即每單位有效勞動的平均資本量。而(1/AL)F(K,AL)就是Y/AL，即為每單位有效勞動的平均產(chǎn)量。定義k=K/AL,y=Y/AL, f(k)=F(k,1)。則可將8-3改寫為： y=f(k) （8-4） 經(jīng)濟(jì)學(xué)意義：每單位有效勞動的平均產(chǎn)量可以表示成每單位有效勞動的平均資本量的函數(shù)。 根據(jù)以上關(guān)系，一個經(jīng)濟(jì)的總產(chǎn)出量，可以表示成

5、該平均產(chǎn)量乘以有效勞動量的形式，有：Y=ALf(k)。 假定密集型式的生產(chǎn)函數(shù)f(k)滿足f(0)=0，f(k)>0, f”(k)<0。f(k)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義：由于F（K，AL）=ALf(K/AL)在總產(chǎn)出函數(shù)中對資本K求偏導(dǎo)數(shù)，得：上式說明f(k)就是資本的邊際收益產(chǎn)品，即每增加一個單位的資本要素的使用量所引起的總產(chǎn)量的增量。f”(k)為資本邊際收益產(chǎn)品的變化率。當(dāng)f”(k)<0說明資本的邊際收益產(chǎn)品是遞減的。上面的假設(shè)說明：資本的邊際收益產(chǎn)品是正的，但在邊際收益遞減規(guī)律的作用下，隨資本量的不斷增加而產(chǎn)出量將會不斷地遞減。另外還假定f(k)滿足稻田條件（Inada,1964）

6、：,稻田條件表明：當(dāng)資本存量足夠小時，資本的邊際收益產(chǎn)品很大，而當(dāng)資本存量變得很大時，資本的邊際收益產(chǎn)品變得很小。稻田條件的作用是保證一個經(jīng)濟(jì)在向穩(wěn)態(tài)均衡位置調(diào)整時的路徑不發(fā)散。滿足f(.)>0, f”(.)<0和稻田條件的生產(chǎn)函數(shù)如圖。生產(chǎn)函數(shù)的一個具體例子是柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)： （8-5）容易驗證柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的。對兩個投入品同乘以c,得： = = （8-6）要得到該生產(chǎn)函數(shù)的密集形式，對兩個投入品同除以AL得： （8-7）3、生產(chǎn)投入品的變動：在該模型中，時間是連續(xù)的，模型中的各個變量均定義于每一時點上。資本、勞動和知識的初始水平是既定的，勞動和知識

7、以不變速度增長： （8-8） （8-9）其中，n和g為外生參數(shù)，一個變量上加上一點表示其對時間的導(dǎo)數(shù)。方程（8-8）（8-9）意味著L和A是指數(shù)增長。也就是說，如果L（0）和A（0）表示其在0時的值，則（8-8）和（8-9）意味著勞動函數(shù)和技術(shù)進(jìn)步函數(shù)可以表示成以下形式：L(t)=L(0)ent ,A(t)=A(0)egt。一個經(jīng)濟(jì)社會的總產(chǎn)出量可以分別用于消費(fèi)支出和投資支出。設(shè)s為每單位有效勞動的平均儲蓄率，在全部儲蓄都能轉(zhuǎn)化為投資的假設(shè)條件下，s也可以看作是每單位有效勞動的平均產(chǎn)量中用于投資的比例系數(shù)，我們設(shè)s是外生的和不變的。該社會用于投資購買支出的每一元錢都會產(chǎn)生一元錢的新資本增量，顯

8、然投資使資本存量增加。設(shè)現(xiàn)存資本隨著使用年限的增加將會被逐漸消耗掉，每單位資本的資本折舊率為。這樣，一個經(jīng)濟(jì)社會的凈投資（即資本凈增量）可以表示為新資本存量的增加再減去資本的損耗。 （8-10）n+g+>0三、索洛模型的動態(tài)學(xué)1、單位有效勞動的平均資本存量k的動態(tài)學(xué)。k=K/ALk對t求導(dǎo)數(shù)： （8-11）由于k=K/AL,將這些表達(dá)式與8-10式代入8-11式，可得： （8-12）由于Y/AL=f(k),代入8-12式得： （8-13）方程8-13為索洛模型的資本積累方程。它表明每單位有效勞動的平均資本存量的變動率是兩項之差。第一項sf(k)是每單位有效勞動的平均實際投資：每單位有效勞

9、動的平均產(chǎn)量為f(k)，s為單位有效勞動的平均儲蓄率，也就是該產(chǎn)量中用于投資的比例為s。第二項（n+g+）k稱為持平投資，即是使得k保持在其現(xiàn)有水平上所必須的投資量。如果式中第一項的實際投資小于第二項的持平投資，單位有效勞動的平均資本k就會下降。為了防止單位有效勞動的平均資本k下降，必須進(jìn)行一些投資。其原因有二：第一，現(xiàn)有資本存在著折舊問題：這部分資本必須予以補(bǔ)足，以防止資本存量的下降。這就是8-13式中的k這一項。第二，有效勞動的數(shù)量是增長的。這樣恰好足以使得資本存量K不變投資并不足以保持每單位有效勞動的平均資本存量k不變。相反，由于有效勞動的數(shù)量以n+g增長，資本存量也必須以n+g增長以保

10、持k的穩(wěn)定。資本積累方程也可以表述為：資本深化=單位有效勞動的平均投資-持平投資如圖所示：如果每單位有效勞動的平均實際投資大于所需的持平投資，則k上升。反之如果每單位有效勞動的實際投資低于所需的持平投資，則k下降。當(dāng)二者相等時，則k將會保持不變。由于f(0)=0，因此，當(dāng)k=0時，實際投資與持平投資相等。稻田條件意味著當(dāng)k=0時，f(k)很大,因而曲線sf(k)的斜率陡峭于直線（n+g+）k的斜率.這樣,如果k值較小.則實際投資大于持平投資。稻田條件也意味著隨著k的變大，f(k)將越來越趨于水平直線的極限值，這時f(k)趨向于0。必然有在某一點上，實際投資線的斜率將低于持平投資線的斜率。這兩條

11、曲線終將相交。由于f”(k)<0,意味著在k>0時.這兩條直線只相交一次.用k*表示當(dāng)實際投資與持平投資相等時的k值。2、穩(wěn)態(tài)平衡經(jīng)濟(jì)增長路徑穩(wěn)態(tài)平衡經(jīng)濟(jì)增長是指經(jīng)濟(jì)在長期增長中的一種均衡狀態(tài)，當(dāng)經(jīng)濟(jì)達(dá)到這一狀態(tài)時，每個單位有效勞動所占有的資本達(dá)到了一個均衡值并將繼續(xù)保持這種均衡水平不變。即：k*=常數(shù)，dk/dt=0。從前面的分析可知，這正是實際投資曲線與持平投資曲線的交點k*。在穩(wěn)態(tài)平衡系統(tǒng)中，k總是向k*收斂，那么當(dāng)處于穩(wěn)態(tài)平衡（k=k*）時，該模型的各變量將如何變動？按假定：勞動和知識分別以速率n和g增長。資本存量K=AL k；由于k在k*處是穩(wěn)定不變的，因此對資本求導(dǎo)經(jīng)過

12、處理之后得： （8-14）這說明資本K和有效勞動AL均以速率（n+g）增長。根據(jù)規(guī)模報酬不變的假定，產(chǎn)量Y也會以這一速率增長。對人均資本量K/L和對人均產(chǎn)出量Y/L求導(dǎo)數(shù)并求出他們各自的增長率，可以證明在該經(jīng)濟(jì)中，每個工人平均資本K/L和每個工人的平均產(chǎn)量Y/L以g的比例增長。結(jié)論：不管在經(jīng)濟(jì)中初始點處于什么位置，經(jīng)濟(jì)都會向穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑收斂，在穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑上，該模型中的每個變量的增長率都是常數(shù)。每個工人的平均資本量的增長率和平均產(chǎn)量的增長率僅僅取決于該經(jīng)濟(jì)社會的技術(shù)進(jìn)步率。四、儲蓄率變化對一國經(jīng)濟(jì)的影響：考慮一個處于穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑上的索洛模型，并假定社會儲蓄率s有一個永久性的增加。除

13、了表明該模型中儲蓄的作用外，這一研究還將表明當(dāng)經(jīng)濟(jì)不在穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑上時該模型的特性。1、社會儲蓄率的增加對產(chǎn)量的影響：如圖：社會儲蓄率的增加，使實際投資曲線向上移動，這使k1*上升到k2*，開始時單位有效勞動的平均資本量k處于k1*處，在這一水平上，實際投資超過了持平投資，因此，。這使k開始上升。一直上升到k2*水平，在這一水平上實際投資等于持平投資，它將保持在新的均衡位置上不變。考慮人均產(chǎn)量Y/L的變動：。若k不變，則人均產(chǎn)量以速率g增長，g為技術(shù)進(jìn)步A的增長率。若單位有效勞動的平均資本量k遞增，則人均產(chǎn)量同時由于A和k的增長而增長。這時其增長率超過g，然而，如果k達(dá)到新的k2*值時，又

14、只有技術(shù)進(jìn)步A的增長對人均產(chǎn)量的增長有貢獻(xiàn)，則人均產(chǎn)量的增長率又回到了技術(shù)進(jìn)步增長率g了。結(jié)論1：儲蓄率的一個永久性增加使人均產(chǎn)量增長率出現(xiàn)暫時性的增加，人均有效勞動產(chǎn)量在一定時期內(nèi)上升，但最終將增加到一個新的穩(wěn)態(tài)平衡位置上的新的水平k2*，在這一水平上所增加的儲蓄被全部用于維持人均資本k的較高水平的資本補(bǔ)償。結(jié)論2：儲蓄率的變化有水平效應(yīng)，但沒有增長效應(yīng)：它改變了經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)態(tài)增長路徑，因而改變?nèi)我粫r點上人均產(chǎn)量水平，但并不影響處于穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑時人均產(chǎn)量的增長率。結(jié)論3：在索洛模型中只有技術(shù)進(jìn)步率的變化有增長效應(yīng)，其他所有變化都只有水平效應(yīng)。所謂水平效應(yīng)是指該因素可以改變單位有效勞動的平均資

15、本量，使之達(dá)到與新的穩(wěn)態(tài)均衡相匹配的水平，但不能對經(jīng)濟(jì)增長率產(chǎn)生任何影響。2、社會儲蓄率的增加對消費(fèi)的影響：現(xiàn)在將家庭引入模型，其家庭福利將取決于消費(fèi)，而非產(chǎn)量，投資只是未來生產(chǎn)中的一種投入品。因此在許多情況下，我們更關(guān)心消費(fèi)變動而非產(chǎn)量的變動。在任何時候，一個經(jīng)濟(jì)社會要想獲得福利最大化，就必須盡可能地使家庭福利最大化。因此能夠滿足家庭消費(fèi)最大化的社會儲蓄率就被稱為滿足消費(fèi)黃金率時的社會儲蓄率。每單位有效勞動的平均消費(fèi)等于每單位有效勞動的平均產(chǎn)量乘以該產(chǎn)量中的消費(fèi)比例（1-s），可以表示成。 （8-15）令c*為處于穩(wěn)態(tài)平衡路徑k*上的每單位有效勞動的平均消費(fèi)。顯然：。在穩(wěn)態(tài)平衡路徑上，實際投

16、資等于持平投資，有： （8-16）由于k決定于s和該模型中的其他參數(shù)n、g和；因此可以將k寫成：。對8-16式中的人均消費(fèi)對人均儲蓄率求偏導(dǎo)數(shù)，可得： （8-17）社會儲蓄率s的增加會提高每單位有效勞動的平均資本k*,因此，社會儲蓄率s的增加能否在長期提高消費(fèi)，取決于資本的邊際收益產(chǎn)品是大于還是小于。直觀地看，如果單位有效勞動的平均資本k的這種上升得以維持，每單位有效勞動的平均投資必須上升的變化量。令：，可獲得在一定人均產(chǎn)量下的最大消費(fèi)的條件是：如果 ，則從增加的資本上獲得的增加的產(chǎn)量不足以將人均有效資本存量維持在其較高的水平上，這時，消費(fèi)必須下降，以維持較高的資本存量。如果 ，則從增加的資本

17、上獲得的增加的產(chǎn)量大于將人均有效資本存量維持在其較高的水平上，這時，消費(fèi)必然上升。如果從圖上來看：為單位有效平均產(chǎn)量曲線上相應(yīng)點上的切線的斜率值，（）則是持平投資線的斜率值。當(dāng)時的社會平均儲蓄率s被稱為黃金率的儲蓄率，相應(yīng)的單位有效資本存量水平叫做滿足消費(fèi)黃金率的資本存量，它滿足資本存量的邊際生產(chǎn)率等于持平投資增長率。滿足黃金率的儲蓄率也可以通過均衡條件得到：由于 所以： ，將和代入可得： （8-18）8-18式即為滿足消費(fèi)黃金率時的儲蓄率，這時的消費(fèi)能夠滿足使資本存量的邊際生產(chǎn)率等于持平投資的增長率，并使消費(fèi)達(dá)到最大化。由于家庭的福利取決于消費(fèi)，滿足黃金率的儲蓄率意味著使家庭福利達(dá)到最大化。

18、五、儲蓄率的定量分析1、儲蓄率上升對產(chǎn)量的長期影響：儲蓄率上升對產(chǎn)量的長期影響為： （8-19）其中：為處于穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑上的每單位有效勞動的平均產(chǎn)量水平。這樣，要得到，我們需要得到。為此，注意k*是在這一條件下定義的；因此k*需要滿足下面的方程： （8-20）方程8-20對所有的s值以及所有的n,g和值都成立，因此在方程8-20中的兩端對s求導(dǎo)數(shù)也必然相等。 （8-21）其中為了簡單起見，省略了k*的自變量。整理8-21式，可得： （8-22）將8-22式代入8-19式，得： （8-23）首先對式8-23兩邊同乘以，從而把它轉(zhuǎn)化為產(chǎn)量變動對儲蓄變動的彈性形式，稱為產(chǎn)量的儲蓄彈性。所謂產(chǎn)量的

19、儲蓄彈性是指當(dāng)社會儲蓄率變動百分之一時，對該經(jīng)濟(jì)人均產(chǎn)量的影響狀況。 （8-24）式中：為處的產(chǎn)出的資本彈性。把它用來表示，有： （8-25）如果市場是競爭性的，且無外部性，那么，資本將獲得其邊際收益產(chǎn)品。在此情況下，在穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑上，每單位有效勞動的平均資本獲得的總收入為。這樣，在穩(wěn)態(tài)平衡增長路徑上資本收入占總收入的份額為，或。在大多數(shù)國家，資本收入所占份額大約為1/3。如果把它作為對的一個估計值，可知在長期，產(chǎn)出的儲蓄率彈性大約為1/2。這樣，如果儲蓄率增加10%，將會使人均產(chǎn)量在長期內(nèi)提高大約5%。即使儲蓄率增加50%，也僅使人均產(chǎn)量增加大約22%。這樣來看，儲蓄率的顯著變化對于穩(wěn)態(tài)

20、平衡增長路徑上的產(chǎn)量水平只有較小的影響。直觀地說，當(dāng)值較小時，儲蓄對產(chǎn)量的影響之所以較小，其原因有兩個：第一，它表明實際投資曲線彎曲得相當(dāng)厲害；其結(jié)果，該曲線上移使其與持平投資線的交點只發(fā)生較小的移動。因而s的變化對k*的影響較小。第二，小的值意味著k*的變化對人均產(chǎn)量的影響較小。2、收斂速度：我們主要考察k以多快的速度趨近于k*的。由8-13式可知，決定于k，可以寫出：。如果等于，在處對作一階泰勒級數(shù)近似，可得： （8-26）這一式子表明，近似等于與之差與處對的導(dǎo)數(shù)值的乘積。在式8-13中對求導(dǎo)，并對所得到的表達(dá)式在處賦值，得：= （8-27）將8-27代入8-26，得： （8-28）方程8

21、-28表明，在平衡增長路徑的鄰近，每單位有效勞動的平均資本向收斂的速度和它與的距離成比例。也就是說，如果令和8-28式可以寫成：，這就是說：的增長率為常數(shù)且等于-。的路徑因而為：，其中為的初始值。用表示，這就成為： （8-29）可以證明，趨近于的速度與趨近于的速度相同。有。我們可以通過8-29作一校準(zhǔn)試驗，看看經(jīng)濟(jì)實際上以多快的速度趨近于其平衡增長路徑。一般為每年6%（比如人口增長率為1%-2%，人均產(chǎn)量增長1%-2%，折舊率為3%-4%）。若資本的收入份額大致為1/3，則大致為4%。因此，和每年向和移動剩余距離的4%，要走完到其平衡增長路徑距離的一半大約需要18年時間。因此在本例中，如果儲蓄

22、率增加10%，那么在1年后產(chǎn)量高于其以前路徑0.04*(5%)=0.2%;18年后高出0.5*(5%)=2.5%；且此比例趨近于5%。這樣不僅儲蓄率變化較大時的總體影響較小，而且其作用的出現(xiàn)也不很快。以我國為例，設(shè)一般為每年12%（假設(shè)人口增長率為2%（實際上我國并未實現(xiàn)充分就業(yè)，人口增長要明顯小于勞動供給的增長率，估計可以為3%-4%），人均產(chǎn)量增長5%-6%，折舊率為3%-4%）。若資本的收入份額大致為1/3，則大致為8%。因此，和每年向和移動剩余距離的8%，要走完到其平衡增長路徑距離的一半大約需要9年時間。因此在本例中，如果儲蓄率增加10%，那么在1年后產(chǎn)量高于其以前路徑0.08*(5%)=0.4%。這個比例超過美國近1倍，我們只用9年時間就可以完成美國用18年才能走完的路。這就是中國經(jīng)濟(jì)增長的源動力。在上面的例子中，若資本的收入份額增加到1/2，在其他條件不變時