高數(shù)知識(shí)匯總之微分方程

1、第6章 微分方程6.1微分方程的基本概念微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式稱(chēng)為微分方程。微分方程的階：微分方程中，所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階。微分方程的通解：如果微分方程的解這中含有任意常數(shù)，且任意個(gè)不相關(guān)的常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱(chēng)為微分方程的通解。微分方程的特解：在通解中給予任意常數(shù)以確定的值而得到的解，稱(chēng)為特解。初始條件：用于確定通解中的任意常數(shù)而得到特解的條件稱(chēng)為初始條件。積分曲線：微分方程的特解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。6.2一階微分方程的求解方法6.2.1 分離變量法可分離變量的微分方程：形如 的微分方程，稱(chēng)為可分離變量的

2、微分方程。特點(diǎn)：等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中一個(gè)是只含有的函數(shù)，另一個(gè)是只含有的函數(shù)解法：當(dāng)時(shí)，把分離變量為對(duì)上式兩邊積分，得通解為 （這里我們把積分常數(shù)明確寫(xiě)出來(lái)，而把，分別理解為和的一個(gè)確定的原函數(shù)。）6.2.2 齊次方程和可化為齊次方程的一階方程不考。6.2.3 一階線性微分方程一階線性微分方程：如果一階微分方程可以寫(xiě)為則稱(chēng)之為一階線性微分方程，其中、為連續(xù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，此方程為，稱(chēng)它為對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性微分方程；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為非齊次線性微分方程。解法：用常數(shù)變易法可得其通解為：（注：其中每個(gè)積分，不再加任意常數(shù)C。）6.4 可降階的二階微分方程6.4.1 不顯含未知函數(shù)y的

3、二階方程：解法：令，則，方程變?yōu)?，解之?再積分得，即得通解。6.4.2 不顯含自變量x的二階方程:解法：令，則，方程變?yōu)?，解之?再積分得通解。6.5 二階線性微分方程6.5.1 二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程：形如 的方程,稱(chēng)為二階線性微分方程。若，稱(chēng)之為二階齊次線性微分方程；若，稱(chēng)之為二階非齊次線性微分方程。齊次線性方程解的疊加原理：如果函數(shù),是齊次方程的兩個(gè)解,則也是方程的解,其中,均為任意常數(shù)。齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)：如果函數(shù),是齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解,則函數(shù) (,為任意常數(shù))是方程的通解。非齊次線性方程的通解結(jié)構(gòu)：如果是方程的一個(gè)特解，是方程的通解,則 是方程的通解。

4、線性微分方程的解的疊加原理：若，分別是方程，的特解，則是方程的特解。6.5.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程：，其中，是常數(shù)。特征方程與特征根：根據(jù)，可得。只要的值能使式成立。那么就是的解，稱(chēng)為的特征方程，稱(chēng)的根為方程特征根。二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解：特征方程的兩個(gè)特征根 微分方程的通解6.5.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：形如 （其中p,q均為常數(shù),）的方程,稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解：的通解應(yīng)該為，Y為對(duì)應(yīng)齊次線性方程：的通解，為的一個(gè)特解。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解：的兩種形式是：1. = ,是常數(shù)。是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式： = 。具有如下形式的特解： 的特解，其中 是與同次的多項(xiàng)