高中數(shù)學(xué)必修五數(shù)列導(dǎo)學(xué)案

1、數(shù)列導(dǎo)學(xué)案2.1 數(shù)列的概念及簡單表示（一）【學(xué)習(xí)要求】1理解數(shù)列的概念，認(rèn)識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型2探索并掌握數(shù)列的幾種簡單表示法3能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式【學(xué)法指導(dǎo)】1在理解數(shù)列概念時，應(yīng)區(qū)分?jǐn)?shù)列與集合兩個不同的概念2類比函數(shù)的表示方法來理解數(shù)列的幾種表示方法3由數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式是本節(jié)的難點之一，突破難點的方法：把序號標(biāo)在項的旁邊，觀察項與序號的關(guān)系，從而寫出通項公式【知識要點】1按照一定順序排列的一列數(shù)稱為 ，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的 數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(通常也叫做_項)，排在第二位的數(shù)稱

2、為這個數(shù)列的第2項，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 項2數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,an,簡記為 3項數(shù)有限的數(shù)列叫做 數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做_數(shù)列4如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 公式【問題探究】探究點一數(shù)列的概念問題先看下面的幾組例子：（1）全體自然數(shù)按從小到大排成一列數(shù)：0,1,2,3,4，；（2）正整數(shù)1,2,3,4,5的倒數(shù)排成一列數(shù)：1，；（3）精確到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排成一列數(shù)：3,3.1,3.14,3.141，；（4）無窮多個1排成一列數(shù)：1,1,1,1,1，；（5）當(dāng)n分別取1,2,3

3、,4,5，時，(1)n的值排成一列數(shù)：1,1，1,1，1，.請你根據(jù)上面的例子嘗試給數(shù)列下個定義探究數(shù)列中的項與數(shù)集中的元素進(jìn)行對比，數(shù)列中的項具有怎樣的性質(zhì)？探究點二數(shù)列的幾種表示方法問題數(shù)列的一般形式是什么？回憶一下函數(shù)的表示方法，想一想除了列舉法外，數(shù)列還有哪些表示方法？探究下面是用列舉法給出的數(shù)列，請你根據(jù)題目要求補(bǔ)充完整（1）數(shù)列：1,3,5,7,9，用公式法表示：an ；用列表法表示：（2）數(shù)列：1，用公式法表示：an .用列表法表示：用圖象法表示為(在下面坐標(biāo)系中繪出)：探究點三數(shù)列的通項公式問題什么叫做數(shù)列的通項公式？談?wù)勀銓?shù)列通項公式的理解？探究根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項

4、公式時，需仔細(xì)觀察數(shù)列的特征，并進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納，同時要熟悉一些常見數(shù)列的通項公式下表中的一些基本數(shù)列，你能準(zhǔn)確快速地寫出它們的通項公式嗎？數(shù)列通項公式1,1，1,1，an 1,2,3,4，an 1,3,5,7，an 2,4,6,8，an 1,2,4,8，an 1,4,9,16，an 1，an 【典型例題】例1根據(jù)數(shù)列的通項公式，分別寫出數(shù)列的前5項與第2 012項（1）ancos ；（2）bn.小結(jié)由數(shù)列的通項公式可以求出數(shù)列的指定項，要注意n1,2,3，.如果數(shù)列的通項公式較為復(fù)雜，應(yīng)考慮運算化簡后再求值跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下面數(shù)列的通項公式，寫出它的前4項（1）an2n1；（2）bn例2根

5、據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：（1）1，3,5，7,9，；（2），2，8，；（3）9,99,999,9 999，；（4）0,1,0,1，.小結(jié)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征并對此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納跟蹤訓(xùn)練2寫出下列數(shù)列的一個通項公式：（1）2，4，6，8，；（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，；（3），.例3已知數(shù)列an的通項公式an.（1）寫出它的第10項；（2）判斷是不是該數(shù)列中的項小結(jié)判斷某數(shù)列是否為數(shù)列中的項，只需將它代入通項公式中

6、求n的值，若存在正整數(shù)n，則說明該數(shù)是數(shù)列中的項，否則就不是該數(shù)列中的項跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列an的通項公式為an(nN*)，那么是這個數(shù)列的第_項【當(dāng)堂檢測】1下列敘述正確的是 ()A數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列 B數(shù)列0,1,2,3，可以表示為nC數(shù)列0,1,0,1，是常數(shù)列 D數(shù)列是遞增數(shù)列2觀察下列數(shù)列的特點，用適當(dāng)?shù)囊粋€數(shù)填空：1，_，.3已知下列數(shù)列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，；（3）1，； （4）1，；（5）1,0，1，sin ，； （6）6,6,6,6,6,6.其中，有窮數(shù)列是_，無窮數(shù)列是_，遞增數(shù)列是_，遞減數(shù)列是_，常

7、數(shù)列是_，擺動數(shù)列是_，周期數(shù)列是_(將合理的序號填在橫線上)【拓展提高】4寫出下列數(shù)列的一個通項公式：（1）a，b，a，b，；（2）1，.【課堂小結(jié)】1an與an是不同的兩種表示，an表示數(shù)列a1，a2，an，是數(shù)列的一種簡記形式而an只表示數(shù)列an的第n項，an與an是“個體”與“整體”的從屬關(guān)系2數(shù)列的表示方法：圖象法；列表法；通項公式法；遞推公式法3由數(shù)列的前幾項歸納其通項公式的關(guān)鍵是觀察、歸納各項與對應(yīng)的項數(shù)之間的聯(lián)系同時，要善于利用我們熟知的一些基本數(shù)列，通過合理的聯(lián)想、轉(zhuǎn)化而達(dá)到問題的解決2.1 數(shù)列的概念及簡單表示（二）【學(xué)習(xí)要求】1理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的

8、前幾項2能從函數(shù)的觀點研究數(shù)列，掌握數(shù)列的一些簡單性質(zhì)【學(xué)法指導(dǎo)】1數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的另一重要形式一般只要給出數(shù)列的首項或前幾項以及數(shù)列的相鄰兩項或幾項之間的運算關(guān)系，就可以依次求出數(shù)列的各項2由于數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此許多函數(shù)的性質(zhì)可以應(yīng)用到數(shù)列中例如，數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的最值、數(shù)列的周期性都可以類比函數(shù)的性質(zhì)【知識要點】1如果數(shù)列an的第1項或前幾項已知，并且數(shù)列an的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的 公式2數(shù)列可以看作是一個定義域為 (或它的有限子集1,2,3，n)的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次

9、取值時，對應(yīng)的一列 3一般地，一個數(shù)列an，如果從 起，每一項都大于它的前一項，那么這個數(shù)列叫做 數(shù)列如果從第2項起，每一項都小于它的前一項，那么這個數(shù)列叫做 數(shù)列如果數(shù)列an的各項都 ，那么這個數(shù)列叫做常數(shù)列4已知數(shù)列an滿足：a11，an1an1，則an ，從單調(diào)性來看，數(shù)列是單調(diào) 數(shù)列【問題探究】公元前13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的名著算盤全書中，記載了一個著名的問題，某人有一對新生的兔子飼養(yǎng)在圍墻中，如果它們每個月生一對兔子，且新生的兔子從第三個月開始也是每個月生一對兔子，問一年后圍墻中共有多少對兔子？該問題在原書中作了分析：第一個月和第二個月都是最初的一對兔子，第三個月生下一對兔子，

10、圍墻內(nèi)共有兩對兔子，第四個月仍是最初的一對兔子生下一對兔子，共有3對兔子到第五個月除最初的兔子新生一對兔子外，第一個月生的兔子也開始生兔子，因此共有5對兔子繼續(xù)推下去，第12個月時最終共有144對兔子書中還提出，每個月的兔子總數(shù)可由前兩個月的兔子數(shù)相加而得據(jù)載首先是由19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家呂卡將級數(shù)an：1,1,2,3,5,8,13,21,34，an1anan1命名為斐波那契數(shù)列，它在數(shù)學(xué)的許多分支中有廣泛應(yīng)用數(shù)列的這種表達(dá)形式，是用前面的項來表達(dá)后面的項，我們稱之為數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的遞推公式有什么應(yīng)用呢？這一節(jié)我們就來學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式探究點一數(shù)列的函數(shù)特性問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，與函數(shù)相

11、比，數(shù)列的特殊性表現(xiàn)在哪些方面？談?wù)勀愕恼J(rèn)識探究1數(shù)列的單調(diào)性下面給出了一些數(shù)列的圖象： an2n1anan(1)n觀察上述數(shù)列項的取值的變化規(guī)律，請類比單調(diào)函數(shù)的定義，把下列單調(diào)數(shù)列的定義補(bǔ)充完整一般地，一個數(shù)列an，如果從第2項起，每一項都大于它前面的一項，即 ，那么這個數(shù)列叫做遞增數(shù)列；如果從第2項起，每一項都小于它前面的一項，即 ，那么這個數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如果數(shù)列an的各項都相等，那么這個數(shù)列叫做常數(shù)列因此，要證明數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，只需證明an1an 0；要證明數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，只需證明an1an 0.探究2數(shù)列的周期性已知數(shù)列an中，a11，a22，an2an1an，試

12、寫出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你發(fā)現(xiàn)數(shù)列an具有怎樣的規(guī)律？你能否求出該數(shù)列中的第2 012項是多少？探究點二由簡單的遞推公式求通項公式問題遞推公式與通項公式，都可以用來寫出數(shù)列中的任意項，都是給出數(shù)列的一種方法，那么它們究竟有什么不同呢？探究1對于任意數(shù)列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立試根據(jù)這一結(jié)論，求解下列問題已知數(shù)列an滿足：a11，an1an2，試求通項an.探究2若數(shù)列an中各項均不為零，則有：a1an成立試根據(jù)這一結(jié)論求解下列問題已知數(shù)列an滿足：a11，(n2)，試求通項an.【典型例題】例1在數(shù)列an中，已知a12，a23，an23a

13、n12an(n1)，寫出此數(shù)列的前6項小結(jié)已知數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項時，依次將項數(shù)n的值代入即可跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an中，a11，a2，(nN*，n3)，求a3，a4.例2已知數(shù)列an的通項公式為an.求證：數(shù)列an為遞增數(shù)列小結(jié)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此可用函數(shù)單調(diào)性的方法來研究數(shù)列的單調(diào)性跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的通項公式是an，其中a、b均為正常數(shù)，那么an與an1的大小關(guān)系是 ()Aanan1 Banan1)，則圖象呈上升趨勢，即數(shù)列遞增，即an遞增an1an對任意的n (nN*)都成立類似地，有an遞減an10，則數(shù)列an為 數(shù)列；若公差d0an為 數(shù)列d0an為 數(shù)列d0，d0，時，

14、Sn取得最大值； 當(dāng)a10，時，Sn取得最小值3求等差數(shù)列an前n項的絕對值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列an的正負(fù)項的分界點【拓展提高】等差數(shù)列習(xí)題課【學(xué)習(xí)要求】1熟練掌握等差數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式，并能綜合運用這些知識解決一些問題2熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，并能綜合運用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題3熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1，d，an，n，Sn的關(guān)系，能夠用其中三個求另外兩個【學(xué)法指導(dǎo)】a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中“知三求二”的問題，一般是通過通

15、項公式和前n項和公式聯(lián)立方程(組)求解這種方法是解決數(shù)列運算的最基本方法，對此類問題，注意利用等差數(shù)列的性質(zhì)以簡化計算過程，同時在具體求解過程中還應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運用【知識要點】1等差數(shù)列的通項公式an ，其中a1為首項，d為公差2等差數(shù)列的前n項和：一般地，若已知首項a1及公差d，用公式Sn 較好，若已知首項a1及末項an，用公式Sn 較好3若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則有下列性質(zhì)：若mnpq，則 (m，n，p，qN)；若Sk表示an的前k項和，則Sk，S2kSk，S3kS2k，是_數(shù)列若an有2k1項，kN，則中間一項是 ，S2k1_， 4對于數(shù)列an，一般地，我們稱

16、a1a2a3an為數(shù)列an的前n項和，用Sn表示，即Sna1a2a3an，若已知Sn，則an 【基礎(chǔ)自測】1設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S510，S105，則公差d為 ()A1 B1 C1 D22已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為()A1 B2 C3 D43在等差數(shù)列an中，若a1a4a8a12a152，則S15等于 ()A28 B30 C31 D324在等差數(shù)列an中，已知前三項和為15，最后三項和為78，所有項和為155，則項數(shù)n_【題型解法】題型一等差數(shù)列中基本量的運算例1等差數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a1030，a2050.（1）求通

17、項an；（2）若Sn242，求n；小結(jié)在等差數(shù)列中，五個基本的量，只要已知三個量，就可以求出其他兩個量，其中a1和d是兩個最基本量，利用通項公式與前n項和公式，先求出a1和d，再求解跟蹤訓(xùn)練1設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn.題型二等差數(shù)列前n項和的基本性質(zhì)例2一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求前110項之和小結(jié)解數(shù)列問題時，要注意數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可以運用等差數(shù)列前n項和SnAn2Bn這一整體形式，避免繁瑣復(fù)雜的計算跟蹤訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若SpSq(p，qN*且pq)，則Spq_題

18、型三等差數(shù)列中的創(chuàng)新型問題例3下表給出一個“等差數(shù)陣”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)（1）寫出a45的值；（2）寫出aij的計算公式小結(jié)關(guān)于等差數(shù)列的創(chuàng)新型試題，常以圖表、數(shù)陣、新定義等形式出現(xiàn)解決此類問題時通過對圖表的觀察、分析、提煉，挖掘出題目蘊(yùn)含的有用信息，利用所學(xué)等差數(shù)列的有關(guān)知識加以解決跟蹤訓(xùn)練3把自然數(shù)1,2,3,4，按下列方式排成一個數(shù)陣123456789101112131415根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n3)行

19、從左至右的第3個數(shù)是_【當(dāng)堂檢測】1已知等差數(shù)列an中，a7a916，a41，則a12的值是()A15 B30 C31 D642在等差數(shù)列an中，a13a8a15120，則2a9a10的值為 ()A24 B22 C20 D83等差數(shù)列an中，S104S5，則等于 ()A B2 C D44已知等差數(shù)列an的公差d不等于0，Sn是其前n項和，給出下列命題：給定n(n2，且nN*)，對于一切kN*(k0，且S3S8，則S5與S6都是數(shù)列Sn中的最小項；點，(nN*)，在同一條直線上其中正確命題的序號是_(把你認(rèn)為正確的命題序號都填上)【課堂小結(jié)】1等差數(shù)列是最基本、最常見的數(shù)列，等差數(shù)列的定義是研究解決等差數(shù)列的判定和性質(zhì)，推導(dǎo)通項公式、前n項和公式的出發(fā)點2a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量表示，五個量a1，d，n，an和Sn中知三可求二通常的做法是利用公式聯(lián)立方程(組)求解這是解決數(shù)列運算的最基本方法，具體求解時應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運用2.4 等比數(shù)列（一）【學(xué)習(xí)要求】1通過實例，理解等比數(shù)列的概念并會應(yīng)用2掌握等比中項的概念并會應(yīng)用3理解等比數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)【學(xué)法指導(dǎo)】1要善于通過實例的觀察、分析、歸納，提煉等比數(shù)列的概念2學(xué)習(xí)等比數(shù)列時，要注意與等差數(shù)列進(jìn)行類比，掌握兩個數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別3由