高中數(shù)學圓的方程含圓系典型題型歸納總結(jié)

1、高中數(shù)學圓的方程典型題型歸納總結(jié)類型一：巧用圓系求圓的過程在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種： 以為圓心的同心圓系方程 過直線與圓的交點的圓系方程  過兩圓和圓的交點的圓系方程 此圓系方程中不包含圓，直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗圓是否滿足題意，謹防漏解。 當時，得到兩圓公共弦所在直線方程 例1：已知圓與直線相交于兩點，為坐標原點，若，求實數(shù)的值。 分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于的方

2、程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。 解：過直線與圓的交點的圓系方程為： ，即 . 依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得 又滿足方程，則 故 例2：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。 解：圓和的公共弦方程為 ，即 過直線與圓的交點的圓系方程為 ，即 依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線

3、上。即，則代回圓系方程得所求圓方程 例3:求證：m為任意實數(shù)時，直線(m1)x(2m1)ym5恒過一定點P，并求P點坐標。分析：不論m為何實數(shù)時，直線恒過定點，因此，這個定點就一定是直線系中任意兩直線的交點。解：由原方程得m(x2y1)(xy5)0，即，直線過定點P（9，4）注：方程可看作經(jīng)過兩直線交點的直線系。例4已知圓C：（x1）2（y2）225，直線l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點；（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.剖析：直線過定點，而該定點在圓內(nèi)，此題便可解得.（1）證明：l的方程（x+y4）+m

4、（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒過定點A（3，1）.圓心C（1，2），AC5（半徑），點A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點.（2）解：弦長最小時，lAC，由kAC，l的方程為2xy5=0.評述：若定點A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？思考討論 類型二：直線與圓的位置關(guān)系例5、若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)的取值范圍是或. 變式練習：1.若直線y=x+k與曲線x=恰有一個公共點，則k的取值范圍是_.解析：利用數(shù)形結(jié)合.答案：1k1或k=例6 圓上到直線的距離為1的點

5、有幾個？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意又與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意符合題意的點共有3個解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點設(shè)所求直線為，則，即，或，也即，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點即符合題意的點共3個說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心到直線的距離為，則圓到距離為1的點有兩個顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距

6、離，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1類型三：圓中的最值問題例7：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 解：圓的圓心為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.例8(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值(2)已知圓，為圓上任一點求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解：(1)(法1)由圓的標準方程可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）則（其中）所以，(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1所以所以(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)則令，得，所以，即的最大值為，最小值為此時所以的最大值為，最小值為(法2)設(shè)，則由于是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為例9、已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍設(shè)圓上任一點，恒成