高中數(shù)學概率大題二

1、高中數(shù)學概率大題（經(jīng)典二）一解答題（共10小題）1某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換（）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（）當p1=0.8，p2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數(shù)字）2已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品需要從中取出2個

2、正品，每次取出1個，取出后不放回，直到取出2個正品為止設為取出的次數(shù)，求的分布列及E3某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責，已知該系共有n位學生，每次活動均需該系k位學生參加（n和k都是固定的正整數(shù)），假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為X（I）求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整數(shù)m4在醫(yī)學生物學試驗中，經(jīng)常以果蠅作為試驗對象，一個關有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅（此時籠內(nèi)

3、共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關閉小孔以表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù)（）寫出的分布列（不要求寫出計算過程）和數(shù)學期望E；（）求概率P（E）5A，B，C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表（單位：小時）：A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）試估計C班的學生人數(shù)；（）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙假設所有學生的鍛煉時間相對

4、獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（）再從A，B，C三班中各隨機抽取一名學生，他們該周鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0，試判斷0和1的大?。ńY論不要求證明）6某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元，表示經(jīng)銷一件該商品的利潤（）求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；

5、（）求的分布列及期望E7甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響各輪結果亦互不影響假設“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（II）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX8某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會（1）設A為事件“選出的2人

6、參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望9購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為10.999104（）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；（）設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）10某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿

7、意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）；（2）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非

8、常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”，假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的頻率，求C的概率11某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎，若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望12端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆

9、沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個（）求三種粽子各取到1個的概率；（）設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望13為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名，乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名，從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽（）設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；（）設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望14已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機一件產(chǎn)品，檢測后

10、不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束（）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求X的分布列和均值（數(shù)學期望）15某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定（1）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（2）設當天小王用該銀行卡嘗試密

11、碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望16若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得1分，若能被10整除，得1分（）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；（）若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望EX17設每個工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設備相互獨

12、立（）求同一工作日至少3人需使用設備的概率；（）實驗室計劃購買k臺設備供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用設備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1，求k的最小值1820名學生某次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：（）求頻率分布直方圖中a的值；（）分別求出成績落在50，60）與60，70）中的學生人數(shù)；（）從成績在50，70）的學生任選2人，求此2人的成績都在60，70）中的概率19某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學，在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院，現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同

13、學被選到的可能性相同）（）求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；（）設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望20一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立（）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；（）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）參考答案與試題解析一解答題（共10小題）1（2005湖北）某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同假定每盞燈

14、能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換（）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（）當p1=0.8，p2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數(shù)字）【解答】解：因為該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2所以壽命為12年的概率應為p1p2其分布列為：壽命01122P1P1P1P2P2（I）一只燈泡

15、需要不需要換，可以看做一個獨立重復試驗，根據(jù)公式得到在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為p15，需要更換2只燈泡的概率為C52p13（1p1）2；（II）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，該盞燈需要更換燈泡是兩個獨立事件的和事件：在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1p1）2；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p1p2故所求的概率為p3=（1p1）2+p1p2（III）由（II）當p1=0.8，p2=0.3時，在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，該盞燈需要更換燈泡的概率p3=（1p1）2+p1（p1p2）=0.54在第二次燈泡更換工作，至少換4只燈泡包

16、括換5只和換4只兩種情況：換5只的概率為p35=0.545=0.046；換4只的概率為C51p34（1p3）=5×0.544（10.54）=0.196，故至少換4只燈泡的概率為：p4=0.046+0.196=0.242即滿兩年至少需要換4只燈泡的概率為0.2422（2004安徽）已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品需要從中取出2個正品，每次取出1個，取出后不放回，直到取出2個正品為止設為取出的次數(shù)，求的分布列及E【解答】解：由題意知每次取1件產(chǎn)品，至少需2次，即最小為2，有2件次品，當前2次取得的都是次品時，=4，可以取2，3，4當變量是2時，表示第一次取出正品，第二次取出也

17、是正品，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得到P（=2）=×=；P（=3）=××+××=；P（=4）=1=的分布列如下： 234PE=2×P（=2）+3×P（=3）+4×P（=4）=3（2013安徽）某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責，已知該系共有n位學生，每次活動均需該系k位學生參加（n和k都是固定的正整數(shù)），假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為X（I）求

18、該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整數(shù)m【解答】解：（I）因為事件A：“學生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立事件，所以與相互獨立，由于P（A）=P（B）=，故P（）=P（）=1，因此學生甲收到活動信息的概率是1（1）2=（II）當k=n時，m只能取n，此時有P（X=m）=P（X=n）=1當kn時，整數(shù)m滿足kmt，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師與張老師各自獨立、隨機地發(fā)送活動信息給k位”所包含的基本事件總數(shù)為（）2，當X=m時，同時收到兩位老師所發(fā)信息的學生人數(shù)為2km，僅收到李老師或張老師轉

19、發(fā)信息的學生人數(shù)為mk，由乘法原理知：事件X=m所包含的基本事件數(shù)為P（X=m）=當kmt時，P（X=M）P（X=M+1）（mk+1）2（nm）（2km）m2k假如k2kt成立，則當（k+1）2能被n+2整除時，k2k2k+1t，故P（X=M）在m=2k和m=2k+1處達到最大值；當（k+1）2不能被n+2整除時，P（X=M）在m=2k處達到最大值（注：x表示不超過x的最大整數(shù)），下面證明k2kt因為1kn，所以2kk=0而2kn=0，故2kn，顯然2k2k因此k2kt綜上得，符合條件的m=2k4（2007安徽）在醫(yī)學生物學試驗中，經(jīng)常以果蠅作為試驗對象，一個關有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩

20、只蒼蠅（此時籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關閉小孔以表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù)（）寫出的分布列（不要求寫出計算過程）和數(shù)學期望E；（）求概率P（E）【解答】解：（）由題意知以表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù)，的可能取值是0，1，2，3，4，5，6得到的分布列為：0123456P數(shù)學期望為E=（1×6+2×5+3×4）=2（II）所求的概率為P（E）=P（2）=5（2016北京）A，B，C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表（單位

21、：小時）：A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）試估計C班的學生人數(shù)；（）從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙假設所有學生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（）再從A，B，C三班中各隨機抽取一名學生，他們該周鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0，試判斷0和1的大?。ńY論不要求證明）【解答】解：（I）由題意得：三個班共抽取20個學生，其中C班抽取8個

22、，故抽樣比K=，故C班有學生8÷=40人，（）從從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，共有5×8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的，當甲鍛煉時間為6時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有2種情況；當甲鍛煉時間為6.5時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當甲鍛煉時間為7時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當甲鍛煉時間為7.5時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當甲鍛煉時間為8時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有4種情況；故周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率P=；（）016（2016東城區(qū)模擬）某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期

23、數(shù)的分布列為 12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元，表示經(jīng)銷一件該商品的利潤（）求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E【解答】解：（）由題意知購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款，設A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”，（）根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)的分布列對應于的可能取值為200元

24、，250元，300元得到變量對應的事件的概率P（=200）=P（=1）=0.4，P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2的分布列為 200250300P0.40.40.2E=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）7（2016山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的

25、概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響各輪結果亦互不影響假設“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（II）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX【解答】解：（I）“星隊”至少猜對3個成語包含“甲猜對1個，乙猜對2個”，“甲猜對2個，乙猜對1個”，“甲猜對2個，乙猜對2個”三個基本事件，故概率P=+=+=，（II）“星隊”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，則P（X=0）=，P（X=1）=2×+=，P（X=2）=+=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×+=P（X=6）=故X的分布列如下圖所示： X 012 3 4

26、 6 P數(shù)學期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×=8（2016天津）某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會（1）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望【解答】解：（1）從10人中選出2人的選法共有=45種，事件A：參加次數(shù)的和為4，情況有：1人參加1次，另1人參加3次，2人都參加2次；共有+=15種，事件A發(fā)生概

27、率：P=（）X的可能取值為0，1，2P（X=0）=P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列為：X012PEX=0×+1×+2×=19（2015鄂州校級模擬）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為10.999104（）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；（）設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）【解答】解：由題意知各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，記投保的10000人中出險的人數(shù)為，由題意知B（104，p）（）記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當且僅當=0，=1P（=0）=1（1p）104，又P（A）=10.999104，故p=0.001（）該險種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和支出10000+50000，盈利=10000a（10000+50000），盈利的期望為E=10000a10000E50000，由B（104，103）