高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 152 定積分習(xí)題 蘇教版選修22

1、1.5.2定積分明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解定積分的概念，會(huì)用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義1定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有定義，將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為x(x)，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為x1，x2，xi，xn.作和Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x，如果當(dāng)x0(亦即n)時(shí)，SnS(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記為：Sf(x)dx，其中，f(x)稱為被積函數(shù)，a，b稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限2定積分的幾何意義一般地，定積分f(x)dx的幾何意義是，在區(qū)間a，b上曲線與x軸所圍圖形面

2、積的代數(shù)和(即x軸上方的面積減去x軸下方的面積)探究點(diǎn)一定積分的概念思考1分析求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，找一下它們的共同點(diǎn)答兩個(gè)問題均可以通過“分割、以直代曲、作和、逼近”解決，都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的逼近思考2怎樣正確認(rèn)識(shí)定積分f(x)dx?答(1)定積分f(x)dx是一個(gè)數(shù)值它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，另外f(x)dx與積分區(qū)間a，b息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，所得值也不同(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)這一條件是不能忽視的，它保證了定積分的存在(實(shí)際上，函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)例1利用定積分的定義，計(jì)算x3dx的值解令f(x)x3.(1

3、)分割在區(qū)間0,1上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間0,1等分成n個(gè)小區(qū)間，(i1,2，n)，每個(gè)小區(qū)間的長度為x.(2)以直代曲、作和取i(i1,2，n)，則x3dxSnf()·x ()3·i3·n2(n1)2(1)2.(3)逼近n時(shí)，2.x3dx.反思與感悟(1)利用定積分定義求定積分的數(shù)值仍然是“分割、以直代曲、作和、逼近”這一過程，需要注意的是在本題中將以直代曲、作和一起作為步驟(2)，從而省略了解題步驟(2)從過程來看，當(dāng)f(x)0時(shí)，定積分就是區(qū)間對(duì)應(yīng)曲邊梯形的面積跟蹤訓(xùn)練1用定義計(jì)算(1x)dx.解(1)分割：將區(qū)間1,2等分成n個(gè)小區(qū)間(i1,2，n

4、)，每個(gè)小區(qū)間的長度為x.(2)以直代曲、作和：在上取點(diǎn)i1(i1,2，n)，于是f(i)112，從而得(i)x(2)··n012(n1)2·2.(3)逼近：n時(shí)，Sn(i)x2.因此(1x)dx.探究點(diǎn)二定積分的幾何意義思考1從幾何上看，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答當(dāng)函數(shù)f(x)0時(shí)，定積分f(x)dx在幾何上表示由直線xa，xb(a<b)，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積思考2 當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)且恒有f(x)0時(shí)，f(x)dx表示的含義是什么？若f(x)有正有負(fù)呢？答如果在區(qū)間a，

5、b上，函數(shù)f(x)0時(shí)，那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖)由于>0，f(i)0，故f(i)0.從而定積分f(x)dx0，這時(shí)它等于如圖所示曲邊梯形面積的相反值，即f(x)dxS.當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b上有正有負(fù)時(shí)，定積分f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線xa，xb(ab)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負(fù))(如圖)，即f(x)dxS1S2S3.例2利用幾何意義計(jì)算下列定積分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的上半圓，其面積為S··32.由定積分的幾何意義知dx.(2)由

6、直線x1，x3，y0，以及y3x1所圍成的圖形，如圖所示：(3x1)dx表示由直線x1，x3，y0以及y3x1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，(3x1)dx×(3)×(3×31)(1)×216.反思與感悟利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積不規(guī)則的圖象常用分割法求面積，注意分割點(diǎn)的準(zhǔn)確確定跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)定積分的幾何意義求下列定積分的值：(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如圖(1)，xdxA1A10.(2)如圖(2)，cos xdxA1A2A30.(3)

7、如圖(3)，A1A2，|x|dx2A12×1.(其中A1，A2，A3分別表示圖中相應(yīng)各處面積) 1定積分(3)dx_.答案62定積分f(x)dx的大小，以下說法正確的是_與f(x)和積分區(qū)間a，b有關(guān)，與i的取法無關(guān)與f(x)有關(guān)，與區(qū)間a，b以及i的取法無關(guān)與f(x)和i的取法有關(guān)，與區(qū)間a，b無關(guān)與f(x)、積分區(qū)間a，b和i的取法都有關(guān)答案3根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號(hào)連結(jié)下列式子：xdx_x2dx；dx_2dx.答案><解析當(dāng)x0,1時(shí)，x>x2，由定積分的幾何意義知xdx>x2dx；當(dāng)dx對(duì)應(yīng)的面積為半圓，小于2dx對(duì)應(yīng)的矩形的面積，所以dx<

8、;2dx.4用定積分的幾何意義求定積分2(x2)dx.解因2(x2)dx2(x2)dx，所以作出直線yx2在區(qū)間0,5的圖象，在區(qū)間0,2上圖象在x軸下方，在區(qū)間2,5上圖象在x軸上方，設(shè)線段在x軸下方和在x軸上方與坐標(biāo)軸組成的面積分別為S1，S2，由定積分的幾何意義，得(x2)dxS2S1×32×22，所以2(x2)dx5.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1定積分f(x)dx是一個(gè)和式f(i)當(dāng)n時(shí)逼近的一個(gè)值，是一個(gè)常數(shù)2可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分；對(duì)于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分.一、基礎(chǔ)過關(guān)1將曲邊yex，x0，x2，y0所圍成的圖形面積寫成定積分的形

9、式_答案exdx2定積分3tdx(t為大于0的常數(shù))的幾何意義是_答案由直線y3t，x2，x3，y0所圍成的矩形的面積3.由曲線yx24，直線x0，x4和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是_答案|x24|dx4設(shè)axdx，bx2dx，cx3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是_答案a>b>c解析根據(jù)定積分的幾何意義，易知x3dx<x2dx<xdx，a>b>c.5計(jì)算定積分dx_.答案解析由于dx2dx表示單位圓的面積，所以dx.6用定積分表示下列陰影部分的面積(不要求計(jì)算)：(1)S1_(如圖1)；圖1(2)S2_(如圖2)；圖2答案(1)sin xdx(2)dx

10、7若|56x|dx2 016，求正數(shù)a的最大值解由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dx2xdxa236，即0<a6.故正數(shù)a的最大值為6.二、能力提升8.(2x4)dx_.答案12解析如圖A(0，4)，B(6,8)SAOM×2×44，SMBC×4×816，(2x4)dx16412.9由ysin x，x0，x，y0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是S_.答案sin xdx解析由定積分的意義知，由ysin x，x0，x，y0圍成圖形的面積為Ssin xdx.10計(jì)算dx_.答案4解析dx表示以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓的面

11、積，dx·424.11用定積分的意義求下列各式的值：(1)(2x1)dx；(2) dx.解(1)在平面上，f(x)2x1為一條直線，(2x1)dx表示直線f(x)2x1，x0，x3與x軸圍成的直角梯形OABC的面積，如圖(1)所示，其面積為S(17)×312.根據(jù)定積分的幾何意義知(2x1)dx12.(2)由y可知，x2y21(y0)圖象如圖(2)，由定積分的幾何意義知dx等于圓心角為120°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和S弓形××12×1×1×sin ，S矩形|AB|·|BC|2××，dx.12利用定積分的定義計(jì)算(x22x)dx的值，并從幾何意義上解釋這個(gè)值表示什么解令f(x)x22x.(1)分割在區(qū)間1,2上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間1,2等分為n個(gè)小區(qū)間1，1(i1,2，n)，每個(gè)小區(qū)間的長度為x.(2)以直代曲、作和取i1(i1,2，n)，則Snf(1)·x(1)22(1)·(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)(n3)2n&#