高中數(shù)學數(shù)列求和及數(shù)列通項公式的基本方法和技巧

1、 數(shù)列求和 通項分式法 錯位相減法 反序相加法 分組法 分組法 合并法數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎. 在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個歷屆高考數(shù)學來談談數(shù)列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、 等比數(shù)列求和公式：自然數(shù)方冪和公式：3、 4、5、例 求和1x2x4x6x2n+4(x0)解：x0該數(shù)列是首項為1，公比為x2的等比數(shù)列而且有n+3項當x21

2、即x±1時 和為n+3評注： (1)利用等比數(shù)列求和公式當公比是用字母表示時，應對其是否為1進行討論，如本題若為“等比”的形式而并未指明其為等比數(shù)列，還應對x是否為0進行討論 (2)要弄清數(shù)列共有多少項，末項不一定是第n項 對應高考考題：設數(shù)列1，（1+2），（1+2+），的前頂和為，則的值。 二、錯位相減法求和錯位相減法求和在高考中占有相當重要的位置，近幾年來的高考題其中的數(shù)列方面都出了這方面的內(nèi)容。需要我們的學生認真掌握好這種方法。這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)

3、列. 求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯位相減法。例 求和：（）解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積設. （設制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 注意、1 要考慮 當公比x為值1時為特殊情況 2 錯位相減時要注意末項 此類題的特點是所求數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘。對應高考考題：設正項等比數(shù)列的首項，前n項和為，且。（）求的通項； （）求的前n項和。三、反序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排

4、列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例 求證：證明： 設. 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.若數(shù)列的通項公式為，其中中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般用分組結(jié)合法。例：求數(shù)列的前n項和；分析：數(shù)列的通項公式為，而數(shù)列分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求和時一般用分組結(jié)合法；解 ：因為，所以 （分組）前一個括號內(nèi)是一個等比數(shù)列的和，后一個括號內(nèi)是一個等差數(shù)列的和，因此 五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列

5、求和中的具體應用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）例 求數(shù)列的前n項和.解：設 （裂項）則 （裂項求和） 小結(jié)：此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。 注意： 余下的項具有如下的特點 1余下的項前后的位置前后是對稱的。 2余下的項前后的正負性是相反的。 練習 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和. 六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和

6、，然后再求Sn.例 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) 得 （合并求和） 10數(shù)列的求和方法多種多樣，它在高考中的重要性也顯而易見。我們的學生在學習中必須要掌握好幾種最基本的方法，在解題中才能比較容易解決數(shù)列問題。數(shù)列通項公式的十種求法一、公式法例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。二、累加法例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。三、累乘法例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例6 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項公式。四、待定系數(shù)法例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。五、對數(shù)變換法例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。六、迭代法例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。七、數(shù)學歸納法例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。八、換元法例13 已知數(shù)列滿足