高三數學二輪專題復習教案――平面解析幾何

1、2012屆高三數學二輪專題復習教案平面解析幾何一、本章知識結構：二、重點知識回顧1直線(1).直線的傾斜角和斜率 直線的的斜率為k，傾斜角為，它們的關系為：ktan；若（x1,y1），（x,y），則。(2) .直線的方程a.點斜式：； b.斜截式：；c.兩點式：； d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同時為0. (3).兩直線的位置關系兩條直線，有三種位置關系：平行（沒有公共點）；相交（有且只有一個公共點）；重合（有無數個公共點）.在這三種位置關系中，我們重點研究平行與相交。若直線、的斜率分別為、，則，·。（4）點、直線之間的距離點A（x0，y0）到直線的距離為：d=。兩點之間的

2、距離：|AB|=2. 圓（1）圓方程的三種形式標準式：，其中點（a，b）為圓心，r>0，r為半徑，圓的標準方程中有三個待定系數，使用該方程的最大優(yōu)點是可以方便地看出圓的圓心坐標與半徑的大小一般式：，其中為圓心為半徑，圓的一般方程中也有三個待定系數，即D、E、F若已知條件中沒有直接給出圓心的坐標（如題目為：已知一個圓經過三個點，求圓的方程），則往往使用圓的一般方程求圓方程參數式：以原點為圓心、r為半徑的圓的參數方程是（其中為參數）以（a，b）為圓心、r為半徑的圓的參數方程為（為參數），的幾何意義是：以垂直于y軸的直線與圓的右交點A與圓心C的連線為始邊、以C與動點P的連線為終邊的旋轉角，如圖

3、所示三種形式的方程可以相互轉化，其流程圖為：2二元二次方程是圓方程的充要條件“A=C0且B=0”是一個一般的二元二次方程表示圓的必要條件二元二次方程表示圓的充要條件為“A=C0、B=0且”，它可根據圓的一般方程推導而得3參數方程與普通方程我們現在所學的曲線方程有兩大類，其一是普通方程，它直接給出了曲線上點的橫、縱坐標之間的關系；其二是參數方程，它是通過參數建立了曲線上的點的橫、縱坐標之間的（間接）關系，參數方程中的參數，可以明顯的物理、幾何意義，也可以無明顯意義要搞清楚參數方程與含有參數的方程的區(qū)別，前者是利用參數將橫、縱坐標間接地連結起來，3.圓錐曲線(1).橢圓的標準方程及其性質 橢圓的參

4、數方程為：（為參數）。(2)雙曲線的標準方程及其性質雙曲線的參數方程為：（為參數）。 (3).拋物線的標準方程及其性質平面內，到一個定點F和一條直線的距離相等的點的軌跡，叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。四種標準方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標系時，該坐標軸有四種不同的方向，因此拋物線的標準方程有四種不同的形式。拋物線標準方程的四種形式為：，其中： 參數的幾何意義：焦參數是焦點到準線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點到拋物線頂點的距離。標準方程的特點：方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系

5、數的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是， 若的一次項前符號為正，則開口向右，若的一次項前符號為負，則開口向左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是， 當的一次項前符號為正，則開口向上，若的一次項前符號為負，則開口向下。 拋物線的簡單幾何性質方程設拋物線性質焦點范圍對稱性頂點離心率準線通徑關于軸對稱原點拋物線的參數方程為：（t為參數）。(4).圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義與一定點的距離和一條定直線的距離的比等于常數的點的軌跡叫做圓錐曲線，定點叫做焦點，定直線叫做準線、常數叫做離心率，用e表示，當0e1時，是橢圓，當e1時，是雙曲線，當e1

6、時，是拋物線4. 直線與圓錐曲線的位置關系：（在這里我們把圓包括進來）(1).首先會判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是相離的 a.直線與圓：一般用點到直線的距離跟圓的半徑相比(幾何法)，也可以利用方程實根的個數來判斷(解析法).b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直線方程;b.根據其它條件求圓錐曲線方程(3).已知一點A坐標，一直線與圓錐曲線交于兩點P、Q，且中點為A，求P、Q所在的直線方程(4).已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點關于直線對稱，求某個值的取值范圍（或者是圓錐曲線上否存在兩點關于直線對稱

7、）5.二次曲線在高考中的應用二次曲線在高考數學中占有十分重要的地位，是高考的重點、熱點和難點。通過以二次曲線為載體，與平面向量、導數、數列、不等式、平面幾何等知識進行綜合，結合數學思想方法，并與高等數學基礎知識融為一體，考查學生的數學思維能力及創(chuàng)新能力，其設問形式新穎、有趣、綜合性很強。本文關注近年部分省的高考二次曲線問題，給予較深入的剖析，這對形成高三復習的新的教學理念將有著積極的促進作用。(1).重視二次曲線的標準方程和幾何性質與平面向量的巧妙結合。(2).重視二次曲線的標準方程和幾何性質與導數的有機聯(lián)系。(3).重視二次曲線性質與數列的有機結合。(4).重視解析幾何與立體幾何的有機結合。

8、三、考點剖析考點一 點、直線、圓的位置關系問題【內容解讀】點與直線的位置關系有：點在直線上、直線外兩種位置關系，點在直線外時，經?？疾辄c到直線的距離問題；點與圓的位置關系有：點在圓外、圓上、圓外三種；直線與圓的位置關系有：直線與圓相離、相切、相交三點，經常用圓心到直線之間的距離與圓的半徑比較來確定位置位置關系；圓與圓的位置關系有：兩圓外離、外切、相交、內切、內含五種，一般用兩點之間的距離公式求兩圓之間的距離，再與兩圓的半徑之和或差比較?！久}規(guī)律】本節(jié)內容一般以選擇題或填空題為主，難度不大，屬容易題。例、(2008全國卷文)原點到直線的距離為（ ）A1B C2 D解：原點為(0，0)，由公式，

9、得：，故選（）。點評：本題直接應用點到直線的公式可求解，屬容易題。例、（湖南理）圓心為且與直線相切的圓的方程是解：圓與直線相切，圓心到直線的距離為半徑，所以，所以，所求方程為：點評：直線與圓的位置關系問題是經常考查的內容，對于相切問題，經常采用點到直線的距離公式求解。例、 (2008重慶理)圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關系是 ( )(A)相離(B)相交 (C)外切(D)內切解：配方，得：圓O1：（x）2y2和圓O2：x2（y）2，圓心為（，），（，），半徑為r，圓心之間距離為：，因為，所以，兩圓相交選（）點評：兩圓的位置關系有五種，通常是求兩圓心之間的距離，再與兩圓的半

10、徑之和或之差來比較，確定位置關系考點二 直線、圓的方程問題【內容解讀】直線方程的解析式有點斜式、斜截式、兩點式、.截距式、一般式五種形式，各有特點，根據具體問題，選擇不同的解析式來方便求解。圓的方程有標準式一般式兩種；直線與圓的方程問題，經常與其它知識相結合，如直線與圓相切，直線與直線平行、垂直等問題?！久}規(guī)律】直線與圓的方程問題多以選擇題與填空題形式出現，屬容易題。例、(2008廣東文)經過圓的圓心C，且與直線x+y0垂直的直線方程是（ ）A B. C. D. 解：易知點C為，而直線與垂直，我們設待求的直線的方程為，將點C的坐標代入馬上就能求出參數的值為，故待求的直線的方程為,因此，選（.

11、）。點評：兩直線垂直，斜率之積為，利用待定系數法求直線方程，簡單、方便。例、(2008山東文)若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標準方程是（ ）ABCD解：設圓心為由已知得故選B.點評：圓與x軸相切，則圓心的縱坐標與半徑的值相等，注意用數形結合，畫出草圖來幫助理解?？键c三 曲線（軌跡）方程的求法【內容解讀】軌跡問題是高中數學的一個難點，常見的求軌跡方程的方法：（1）單動點的軌跡問題直接法 待定系數法；（2）雙動點的軌跡問題代入法；（3）多動點的軌跡問題參數法 交軌法?！久}規(guī)律】軌跡問題在高考中多以解答題出現，屬中檔題。例、（2008深圳福田模擬）已知動圓過定點，且與直

12、線相切.(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點（0，1），并與軌跡交于兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.解：（1）如圖，設為動圓圓心， ，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知： 即動點到定點與到定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點， 為準線， 動圓圓心的軌跡方程為（2）由題可設直線的方程為由得，設，則， 由，即 ，于是，即，解得或（舍去）， 又， 直線存在，其方程為點評：本題的軌跡問題采用拋物線的定義來求解，用圓錐曲線的定義求軌跡問題是經常采用的方法，要求充分掌握圓錐曲線的定義，靈活應用。例、（2008廣州模擬）已知曲線上

13、任意一點到兩個定點和的距離之和為4（1）求曲線的方程；（2）設過的直線與曲線交于、兩點，且（為坐標原點），求直線的方程解：（1）根據橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓， 其中，則 所以動點M的軌跡方程為 （2）當直線的斜率不存在時，不滿足題意 當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設， ，由方程組得 則，代入，得即，解得，或所以，直線的方程是或點評：本題考查橢圓的定義，橢圓與向量結合的綜合題的解法。例、（2008廣東吳川模擬）已知點和圓C：，（1）求經過點P被圓C截得的線段最長的直線的方程；（2）過P點向圓C引割線，求被此圓截得的弦的中點的軌跡。解：（1）化圓的方程為： 圓心坐標： 由題意可得直線

14、經過圓C的圓心，由兩點式方程得：PAxyCBM化簡得：直線的方程是：（2）解：設中點CMPM 是 有： 即： 化簡得： 故中點M的軌跡是圓在圓C內部的一段弧。點評：合理應用平面幾何知識，這是快速解答本題的關鍵所在。要求掌握好平面幾何的知識，如勾股定理，垂徑定理等初中學過的知識要能充分應用?？键c四 有關圓錐曲線的定義的問題【內容解讀】圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經?？疾榈膬热?，除了在大題中考查軌跡時用到外，經常在選擇題、填空題中也有出現?！久}規(guī)律】填空題、選擇題中出現，屬中等偏易題。例9、(2008上海文)設是橢圓上的點若是橢圓的兩個焦點，則等于（）A4B5C8D10 解：由橢圓的定義知：

15、故選（D）。點評：本題很簡單，直接利用橢圓的定義即可求解，屬容易題。例0、（2008北京理）若點到直線的距離比它到點的距離小1，則點的軌跡為（ ） A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解: 把到直線向左平移一個單位，兩個距離就相等了，它就是拋物線的定義。故選（D）。點評： 本題考查拋物線的定義，將點P到x=-1的距離，轉化為點P到x2的距離，體現了數學上的轉化與化歸的思想。例12、(2008海南、寧夏理)已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（ ）A. （，1） B. （，1）C. （1，2） D. （1，2）解：點P到拋物線

16、焦點距離等于點P到拋物線準線距離，如圖,故最小值在三點共線時取得，此時的縱坐標都是，點坐標為，所以選A。點評：點P到焦點的距離，利用拋物線的定義，轉化為點P到準線之間的距離，體現數學上的轉化與化歸的思想，在數學問題中，經?？疾檫@種數學思想方法。考點五 圓錐曲線的幾何性質【內容解讀】圓錐曲線的幾何性質包括橢圓的對稱性、頂點坐標、離心率，雙曲線的對稱性、頂點坐標、離心率和近近線，拋物線的對稱性、頂點坐標、離心率和準線方程等內容，離心率公式一樣：e，范圍不一樣，橢圓的離心率在（0,1）之間，雙曲線的離心率在（1，）之間，拋物線的離心率為1，【命題規(guī)律】例13、(2008海南、寧夏文)雙曲線的焦距為（

17、 ）A. 3B. 4C. 3D. 4解：因為a，b，所以c2，2c4，故選（D）。點評：本題考查雙曲線中a、b、c之間的關系，焦距的定義，屬容易題。例14、(2008福建文、理)雙曲線的兩個焦點為，若P為其上的一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（）解：如圖，設，當P在右頂點處，點評：本題考查離心率的公式及其意義，另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊來求解,但要注意前者可以取到等號成立,因為可以三點一線. 例15、(2008遼寧文) 已知雙曲線的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，則( ) A1B2C3D4解：取頂點,一條漸近線為故選（D）。點評：本題主要考查雙曲線的漸近線方程

18、，點到直線的距離公式問題。考點六 直線與圓錐曲線位置關系問題【內容解讀】能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題；能夠把研究直線與圓錐曲線位置關系的問題轉化為研究方程組的解的問題；會利用直線與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題；能夠利用數形結合法，迅速判斷某直線與圓錐曲線的位置關系，但要注意曲線上的點的純粹性；涉及弦長問題時，利用弦長公式及韋達定理求解，涉及弦的中點及中點弦的問題，利用點差法較為簡便?！久}規(guī)律】直線與圓錐曲線位置關系涉及函數與方程，數形結合，分類討論、化歸等數學思想方法，因此這部分

19、經常作為高考試題的壓軸題，命題主要意圖是考查運算能力，邏輯揄能力。例6、(2007年重慶)已知以，為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ ）（A）（B）（C）（D）解：設橢圓方程為，聯(lián)立方程組：消x得：10，192m24(16m1)（3mn)0，整理，得：即：，又c2，由焦點在x軸上信，所以，4，聯(lián)立解得：，故長軸長為點評：直線與圓錐曲線只有一個交點時，經常采用聯(lián)立方程組，消去一個未知數后，變成一元二次方程，由判別式來求解，但要注意，有時要考慮二次項的系數為0的特殊情況。例7、(2007年浙江)如圖，直線與橢圓交于兩點，記圖1的面積為（I）求在，的條件下，的最大值；（II）當，

20、時，求直線的方程解：設點的坐標為，點的坐標為由，解得，所以，當且僅當時，取到最大值1（）解：由，得，1，AB2設到的距離為，則，又因為，所以，代入式并整理，得，解得，代入式檢驗，故直線的方程是，或，或，或點評:求圓錐曲線的弦長時，可利用弦長公式：AB來求解。例8、(2006上海卷)已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；解：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點在x軸上, 橢圓的標準方程為(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0)，由，得由,點P在橢圓上,得, 線段PA中點M的軌跡方程是.點評:涉及弦的中點問題，除用上述方法外，有時也聯(lián)立方程組，轉化為一元二次方程，利用韋達定理，或運用平方差法求解，但必須是以直線與圓錐曲線相交為前提。四、方法總結與2009年高考預測（一）方法總結1求曲線方程常利用待定系數法，求出相應的a，b，p等.要充分認識橢圓中參數a，b，c，e的意義及相互關系，在求標準方程時，已知條件常