高三數(shù)學(xué)數(shù)列解題方法集錦

1、高三復(fù)習(xí)-數(shù)列解題方法集錦數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。一、數(shù)列的基礎(chǔ)知識1數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn的關(guān)系它包括兩個方面的問題：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；1.1 已知Sn求an對于這類問題，可以用公式an=.1.2 已知an求Sn這類問題實(shí)際上就是數(shù)列求和的問題。數(shù)列求和一般有三種方法：顛倒相加法、錯位相減法和通項(xiàng)分解法。2遞推數(shù)列：，解決這類問題時一般都要與兩類特殊數(shù)

2、列相聯(lián)系，設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)問題，然后解決。例1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n+3,求數(shù)列an的通項(xiàng)an，并判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列。解：由已知：Sn=n2-2n+3，所以，Sn-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n2-4n+6,兩式相減，得：an=2n-3(n2),而當(dāng)n=1時,a1=S1=2,所以an=.又a2-a1a3-a2，故數(shù)列an不是等差數(shù)列。注意：一般地，數(shù)列an是等差數(shù)列Sn=an2+bnSn.數(shù)列an是等比數(shù)列Sn=aqn-a.例2 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn=,求證：數(shù)列an是等差數(shù)列。證明：因?yàn)镾n=，所以，兩式相減，得：，所以，即：，同理

3、：，即：，兩式相加，得：，即：，所以數(shù)列an是等差數(shù)列。例3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn+ an=2n+1,求數(shù)列an的通項(xiàng)an.解：因?yàn)镾n+ an=2n+1，所以， Sn+1+an+1=2(n+1)+1,兩式相減，得：2an+1-an=2,即：2an+1-an+2=4，2an+1-4= an-2，所以，而S1+a1=3，a1=，故a1-2=，即：數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以 an-2=()n-1= - ()n,從而an=2 - ()n。例4 （2000年全國）設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),則它的通項(xiàng)公式

4、是an= .分析：（1）作為填空題，不需要解題步驟，所以可以采用不完全歸納法。令n=1，得：2a22+a2-1=0,解得，a2=.令n=2, 得：3a32+a3-=0, 解得，a3=.同理，a4=由此猜想：an=.(2)由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，得：(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0, 所以(n+1)an+1=nan，這說明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，故nan=1，an=.也可以由(n+1)an+1=nan，得：，所以。例5 求下列各項(xiàng)的和(1).(2)1+221+322+423+n2n-1.(3)12+23+34+n(n+1).(4).解：（1）設(shè) Sn=,則 S

5、n=,兩式相加，得：2Sn= (n+2)=(n+2)()=(n+2)2n,所以Sn=(n+2)2n-1.思考：又如何求呢？（2）設(shè)Sn=1+221+322+423+n2n-1，則 2 Sn= 12+222+323+（n-1）2n-1+n2n.兩式相減。得：- Sn=1+21+22+2 n-1-n2 n =2n(1-n)-1.Sn=2n(n-1)+1.(3)12+23+34+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ +(n2+n)=(12+22+32+ +n2)+(1+2+3+ +n)=.(4) =.二、等差數(shù)列與等比數(shù)列1定義：數(shù)列an為等差數(shù)列an+1-an=dan+1-an

6、=an-an-1；數(shù)列bn為等比數(shù)列。2通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式：數(shù)列an為等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d, 前n項(xiàng)和Sn=.數(shù)列an為等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式an=a1qn-1, 前n項(xiàng)和Sn=.3性質(zhì)：等差數(shù)列若m+n=p+q，則am+an=ap+aq每連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m組成等差數(shù)列等比數(shù)列若m+n=p+q，則aman=apaq每連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列，即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m組成等比數(shù)列（4）函數(shù)的思想：等差數(shù)列可以看作是一個一次函數(shù)型的函數(shù)；等比數(shù)列可以看作是一個指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)?？梢岳煤瘮?shù)的思想、觀點(diǎn)和方法分析解

7、決有關(guān)數(shù)列的問題。例6 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，已知S3與S4的等比中項(xiàng)為S5，S3與S4的等差中項(xiàng)為1，求等差數(shù)列an的通項(xiàng)。(1997年高考題)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則，即，解得：，所以。評說：當(dāng)未知數(shù)與方程的個數(shù)相等時，可用解方程的方法求出這兩類特殊數(shù)列的首項(xiàng)與公差或公比，然后再解決其他問題。例7 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列an的公比q (1996年高考題)。解：若q=1，則S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1, 由已知S3+S6=2S9, 得：3a1+6a1=18a1,解得：a1=0，這與數(shù)列an為等比數(shù)列矛盾，所以，q1。由已知S

8、3+S6=2S9, 得：，整理得：，解得：。例8 在等差數(shù)列an中，已知a7=8，求S13.分析：在這個問題中，未知數(shù)有兩個：首項(xiàng)a1與公差d，但方程只有一個，因此不能象例6那樣通過解方程解決問題，必須利用這兩類數(shù)列的性質(zhì)或者利用整體性思想來解決問題。解：因?yàn)閍7=8，所以a1+a13=2a7=16，故S13=例9 在等差數(shù)列an中，已知a1>0,Sn是它的前n項(xiàng)的和.已知S3=S11，求Sn的最大值。分析：和例8一樣，也是未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，所以須考慮等差數(shù)列的性質(zhì)。解：由已知：S3=S11，故而因?yàn)镾3=S11，得a4+a5+a6+a10+a11=0.由于a4+a11=a5+

9、a10=a6+a9=a7+a8,所以a7+a8=0。故a7>0,a8<0,所以 S7最大。評說：(1)本題也可以利用函數(shù)的思想來解，即把Sn表示成某一變量的函數(shù)（比如n），然后再求這個函數(shù)的最大值。(2)本題還可以利用方程與不等式的思想來解，即Sn最大當(dāng)且僅當(dāng)an>0同時an+1<0，解這個不等式組即可。三、數(shù)列綜合問題對于綜合問題，要注意與其他數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，如函數(shù)、方程、不等式，還要注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，如歸納法、類比、疊加等。例10 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，令bn=，且b4=，S6-S3=15,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式和的值。分析：欲求bn，需先求Sn，

10、而Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，所以應(yīng)首先求出an。因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，故只要能找到關(guān)于a1與d的兩個方程即可。解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d.由已知得：，解得：。所以an=n,從而Sn=,故bn=。=2例11 已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn，且a1,a2,a3,an組成等差數(shù)列（n為正偶數(shù)），又f(1)=n2,f(-1)=n；（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)an；（2）試比較f(0.5)與3的大小，并說明理由。分析：顯然，只要能把f(1)=n2,f(-1)=n轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公差的兩個方程即可。解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)閒(1)= a1+a2+a3+an=n2，則na1+

11、d=n2,即2a1+(n-1)d=2n.又f(-1)= -a1+a2-a3+-an-1+an=n,即=n,d=2.解得a1=1.an=1+2(n-1)=2n-1.(2)f(0.5)=,把它兩邊都乘以，得：兩式相減，得：=。例12 （2001年春季）在1與2之間插入個正數(shù)a1,a2,a3,an，使這n+2個正數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個正數(shù)b1,b2,b3,bn，使這n+2個正數(shù)成等差數(shù)列。記An=a1a2a3an,Bn=b1+b2+b3+bn.（1）求數(shù)列An和Bn的通項(xiàng)；（2）當(dāng)n7時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。分析：本題的關(guān)鍵是求An與Bn，如果能注意到1，a1,a2,a3,an，2成等比數(shù)列，1，b1,b2,b3,bn，2成等差數(shù)列，則就容易想到利用這兩類數(shù)列的性質(zhì)。解：(1)因?yàn)?，a1,a2,a3,an，2成等比數(shù)列，所以a1an=a2an-1=a3an-2=12,從而An2= (a1a2a3an )(a1a2a3an)=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(ana1)=2n,故An=.因?yàn)?，b1,b2,b3,bn，2成等差數(shù)