重積分習(xí)題課

1、重積分典型例題一、二重積分的概念、性質(zhì)1、二重積分的概念：其中：D：平面有界閉區(qū)域，：D中最大的小區(qū)域的直徑（直徑：小區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大值者），：D中第i個(gè)小區(qū)域的面積2、幾何意義：當(dāng)時(shí)，表示以曲面為曲頂，D為底的曲頂柱體的體積。所以表示區(qū)域D的面積。3、性質(zhì)（與定積分類似）：:線性性、對積分區(qū)域的可加性、比較性質(zhì)、估值性質(zhì)、二重積分中值定理（03年）二、二重積分的計(jì)算1、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（1） 若D為X型積分區(qū)域：，則（2）若D為Y型積分區(qū)域：，則（3）D必須經(jīng)過分割才能化為若干塊X型或者Y型區(qū)域之和，如圖，則 （4）被積函數(shù)含有絕對值符號時(shí)，應(yīng)將積分區(qū)域分割成幾個(gè)子域，使

2、被積函數(shù)在每個(gè)子域保持同一符號，以消除被積函數(shù)中的絕對值符號。oxyD1（5）對稱性的應(yīng)用oxyD1（6）積分順序的合理選擇：不僅涉及到計(jì)算繁簡問題，而且又是能否進(jìn)行計(jì)算的問題。凡遇到如下積分：一定要放在后面積分。例1設(shè)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序。例2 （08年期末考試，二，7分）計(jì)算二重積分，其中是由所圍成的區(qū)域。例3（07年期末考試，二、3，3分）交換積分次序后， 例4 （07年期末考試，三、7分）計(jì)算二重積分，其中是由所圍成的區(qū)域。例5 （06年期末考試，一、5，3分）累次積分例6（04年期末考試，一、3，3分）將積分交換積分次序后的結(jié)果為 例7 （03年期末考試，四、1，7分）

3、計(jì)算二重積分，其中是由所圍成的區(qū)域。例8求積分的值。例9（考研題）若D是由所圍成的平面有界閉區(qū)域，而是連續(xù)函數(shù)，則 ；（注意對稱性的應(yīng)用：）例10、計(jì)算二重積分，其中D是第一象限中直線和曲線圍成的區(qū)域。例11、用二重積分求由曲線，所圍成的平面圖形的面積。例12利用二重積分計(jì)算由曲面，所圍成的曲頂柱體的體積。2、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分（1）極坐標(biāo)下區(qū)域D的面積為：（2）如果被積函數(shù)為，或者積分區(qū)域?yàn)閳A域、扇形域、圓環(huán)時(shí)，則可用極坐標(biāo)。（3） 若積分區(qū)域D為：，則（4）若積分區(qū)域D為：，則（5）若積分區(qū)域D為：例1計(jì)算二重積分，其中。例2、計(jì)算。例3、計(jì)算例4（06年期末考試，六，8分）計(jì)算二重積

4、分，其中積分域D為。例5（04年期末考試，四、1，7分）計(jì)算二重積分，其中是由所確定。三、三重積分的概念、性質(zhì)1、三重積分的概念：其中：空間有界閉區(qū)域，：中最大的小區(qū)域的直徑（直徑：小區(qū)域上任意兩點(diǎn)間距離的最大值者），：中第i個(gè)小區(qū)域的體積面積2、幾何意義：表示空間閉區(qū)域的體積。3、性質(zhì)（與二重積分類似）：:線性性、對積分區(qū)域的可加性、比較性質(zhì)等四、三重積分的計(jì)算1、對稱性的應(yīng)用（1）若積分區(qū)域關(guān)于xoy坐標(biāo)面對稱，則其中為在xoy坐標(biāo)面的上半部分區(qū)域（2）若積分區(qū)域關(guān)于yoz，xoz坐標(biāo)面同時(shí)對稱，則其中為在第一、五卦限部分的區(qū)域（3）若積分區(qū)域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對稱，則其中為在第一卦限部分的

5、區(qū)域2、直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算（1） 投影法（先一后二法）例如，將空間閉區(qū)域投影到xoy面：則注意：投影到xoy面上，則最先對z積分。當(dāng)然，也可以投影到y(tǒng)oz面上：（2）截面法（先二后一法） 例如把積分區(qū)域D先向Z坐標(biāo)軸投影：注意：Ø 投影到z軸上，則最后對z積分。Ø 當(dāng)被積函數(shù)僅與變量z有關(guān)，且截面容易知道時(shí)，用上述公式簡便Ø 當(dāng)然也可以投影到其他兩個(gè)坐標(biāo)軸上。3、柱坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算（1）計(jì)算公式：例如將投影到xoy面上：，則（2）如果被積函數(shù)為，積分區(qū)域?yàn)閳A柱面（或一部分）、錐面、拋物面所圍成時(shí)，則柱面坐標(biāo)比較方便。4、球面坐標(biāo)（1）計(jì)算公式：（2）

6、通常是先對r積分，再對積分，最后對積分。（3）當(dāng)積分區(qū)域是球形或球的一部分，或上部分是球面、下半部分是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面，被積函數(shù)為時(shí)，則球面坐標(biāo)比較方便。例1化三重積分為累次積分，其中積分區(qū)域?yàn)橛汕婕八鶉?。?設(shè)在上連續(xù)，證明：，其中所圍成的空間區(qū)域。例3計(jì)算，其中。例4（08年期末考試，三、7分）計(jì)算，其中是由所確定。例5（07年期末考試，四、7分）計(jì)算，其中是由柱面及平面圍成的區(qū)域。例6（06年期末考試，七，8分）計(jì)算，式中為由所確定的固定的圓臺體。例7（04年期末考試，二、4，3分）設(shè)是球心在原點(diǎn)，半徑為R的球體，則 例8（04年期末考試，四、2，7分）設(shè)為兩球的公共部分，計(jì)算。例9（03年期末考試，四、2，7分）計(jì)算，其中是由不等式所確定的閉區(qū)域。例10、求曲面及所圍立體體積。例11、計(jì)算，其中是由半圓柱面及平面圍成的區(qū)域。例12將三次積分表示為球面坐標(biāo)下的三次積分，則 ；例13設(shè)是由所確定的立體，試將化成球面坐標(biāo)下的三次積分。（。）例14、計(jì)算，其中積分區(qū)域是由與確定。 五、重積分的應(yīng)用1