10年到12年線性代數(shù)試題

1、全國2012年10月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 課程代碼：04184 說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，|表示矢量:-的長度，：.T表示矢量:-的轉置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.、單項選擇題 (本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。設行列式a12a133an3a123a13a22a23=2，則a31a32833a32a33a21 a31a22 a32氏3 a33=()ana21a31-6B . -3設矩陣A, X為同階方陣，且 A可逆，若A

2、(X-E) =E，則矩陣X =()E+A-1E-AE +AE-A-1設矩陣A, B均為可逆方陣，則以下結論正確的是()AB逆,且其逆為A-1-1不可逆AB逆,且其逆為B-1),二k是n維列矢量，則1, 2,可逆，且其逆為,:-k線性無關的充分必要條件是()A .矢量組二1, -： 2,，-：k中任意兩個矢量線性無關B .存在一組不全為0的數(shù)11 , 12,，Ik,使得h什122+ lk嚴0C .矢量組1, 2,，k中存在一個矢量不能由其余矢量線性表示D .矢量組1, 2,，:-k中任意一個矢量都不能由其余矢量線性表示5. 已知矢量 2-(1, -2, -2, -1)T,2 - =(1, Y,

3、£,0)T,貝y 二 山-=()(0,-2, -1 ,1) TB . (-2, 0, -1 , 1)C . ( 1, -1 , -2,0) TD . (2, -6, -5, -1)6 .實數(shù)矢量空間V=( x,y,z)|3x+2y+5z=0的維數(shù)是()C. 3D . 47 .設是非齊次線性方程組 Ax = b的解，是其導出組 Ax=0的解，則以下結論正確的是()A .:-+卜是Ax= 0的解B .:-+是Ax= b的解C .'-:-是Ax= b的解D .：-是Ax= 0的解8 .1 1設三階方陣A的特征值分別為丄，丄,3，則A-1的特征值為()2 4A .1B .1 1 12

4、,4,-JJ 32 4 3C .1 1,3D .2,4,32 419 .設矩陣A=2，則與矩陣A相似的矩陣是()0 1B.1021D.-211 -AA .123-2C.1110. 以下關于正定矩陣敘述正確的是()A .正定矩陣的乘積一定是正定矩陣B .正定矩陣的行列式一定小于零C .正定矩陣的行列式一定大于零D .正定矩陣的差一定是正定矩陣二、填空題(本大題共10小題，每空2分，共20分) 請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。311. 設 det(A)=-1 , det(B)=2，且 A, B 為同階方陣，則 det(AB) )=.1 2 -212 .設3階矩陣A= 4 t 3

5、, B為3階非零矩陣，且 AB = 0,則t=3-1113.設方陣A滿足Ak= E，這里k為正整數(shù)，則矩陣 A的逆A-1=.14 .實矢量空間 Rn的維數(shù)是.15.設A是mx n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎解系中含解矢量的個數(shù)為 .16 .非齊次線性方程組 Ax= b有解的充分必要條件是 .17 .設是齊次線性方程組 Ax=0的解，而一：是非齊次線性方程組 Ax= b的解，則A( 2 )=18 .設方陣A有一個特征值為 8,則det (-8E+A) =.19 .設P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列矢量，則|Px|=.20 .二次型 口捲必必)5x| 6x( 4x1X2-2x1X3-2

6、x2X3的正慣性指數(shù)是 .三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)11-1221.計算行列式T TY 12 4-61124222 設矩陣A=5，且矩陣B滿足ABA-1=4A-1 + BA-1,求矩陣B .23設矢量組 =(3,1,2,0),=(0,7,1,3),= (-1,2,0,1),為=(6,9,4,3),求其一個極大線性無關組，并將其余矢量通過極大線性無關組表示出來.-1424.設三階矩陣 A= -252 -433，求矩陣A的特征值和特征矢量-225.求下列齊次線性方程組的通解.X X3 - 5x4 =0 2為 x2 -3x4 =0x1 冷一x3 2x4 =02-24-2 02

7、6.求矩陣A = 306一11的秩.030011-121 0四、證明題(本大題共1小題，6分)an27.設三階矩陣A= a21ai2 a13a22 a23的行列式不等于0，證明:a31a32a33a11=a21ai2O-2 = 322a23線性無關.033丿全國2012年7月自學考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼:04184說明：本卷中"7表示矩陣A的轉置，Q表示向童a的轉置.E表示單位矩陣，|A|表示方陣A 的行列式,A '表示方陣A的逆矩陣“（A）表示矩陣A的秩.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請

8、將其代碼填寫在題后 的括號內(nèi)錯選.多選或未選均無分.1設A為三階矩陣，且|獷|=3,則|3A| ()A. -9B. -1C. 1D.92設A = al,aMaJ»其中®(i=l,2,3)是三維列向量，若|A|=1貝 ij|4a】，2®3a2 心|=()A.-24B12C. 12D.243. 設A、B均為方陣，則下列結論中正確的是()A若AB=Q,則 A = 0 或 B=0B.若 |AB|=0,JillJ|A|= 0 或 |B|=0C.若 AB = 0,則 A = 0 或 B=0D.若 ABHO,則 I A|H0 或 |硏工04. 設A、B為”階可逆陣，則下列等式成

9、立的是()A. (AB)'1 =A lB lB (A十BY1 =A'r +B 1IX |(A + B)-l| = |A-1HlB*ll5設A為/nXn矩陣，且則齊次方程AX=0必（）A無解n6設 A= 00A. 1B 只有唯一解2 3'；，則 r(A)=()0 3,B.2C 有無窮解C.3D不能確定D.47 若A為正交矩陣，則下列矩陣中否耀正交陣的是（）A.AhB. 2A C. A2D.AT8設三階矩陣A有特征值0丄2.其對應特征向量分別為&弋2、®,令P=h&依則2 0 0"_2 0 0'0 0 o'2 0 O

10、9;A.0 1 0B.0 0 0C.0 1 0D.0 0 00 0 0_0 0 1 0 00 0 2*PAP=()9設A、B為同階方陣且r（A） = r（B）,則（）A.A與B等階B.A與合同C. |A| = |B|二、填空題（本大題共10 請在每小題的空格中填11設A、B均為三階方陣,D.A與B相似10.實二次型 /（X）皿 ） =X1 +2X2 "2X| X2 4-X3 則 /是（A負定B正定C.半正定12設 A =_3113設 A= 0P214若 A= 1.115.設a】=是2110_20、10則A02.2r24，且,4t_110* a?=21116設A為三階方陣，其特n117

11、. a =、卩H211t且（X與0疋交，則t n方程町+恐一=!的通解是ri20.若 A 019二歡型f f芯，工“曲，工=工皿 +工工* +町中+ 5 所對應的對稱矩陣是1逅0是正交矩陣，則工=三、計算題 【本大題掛6小邇，每小題9分扶54分）1112器.計算行列式191J.ZiJ.Ji2 111_ 0 10_i -r22r設丸=-1 112 0，且兀滿足X = AX¥Bf求X.J o” L5-3'北I +惡=523+求線性方程組*藥+耳+ &十2耳 =1的通解.5xi +3曲十2工3 +2忑q =324求向凰組偽冃（龍沁，即，皿二1”衛(wèi)八臥= （2T31>*

12、礙=（軋氣2）的一個扱大線性無關組 并把其余向量川該概大線性無關組表示.1 2 -11 '2亂設占=3 2 a -1 *已知= 求花占的值.5 6 3t _3 -2 W2筑已知A一260，求可逆陣P便P"AP為對角陣.、003匹、證明題（本大題共I小題冷分）27.設叫，心心 是藥維向量*且線性無關，證明區(qū)=閔-ap=a.十禹屈=斷十 , 卩產(chǎn)叫十附線性相關.全國2012年4月試題課程代碼：04184說明：在本卷中,A表示矩陣A的轉置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A表示方陣A的行列式,r（A）表示矩陣A的秩.、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

13、在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選 或未選均無分。a11旦2厲3112a123a131.設行列式a21a22a23=2,則一 a212a22-3a23=(a31a32a33_a312a32_3a33A. -12B.-6C.6“20）2設矩陣A= 1 2 0 ,則A*中位于第1行第2列的元素是（e o 3A.-6B.-3C.33設A為3階矩陣，且|A|=3，則（-A）丄=（）11A. 一 3B.C.-334已知4 3矩陣A的列矢量組線性無關，則AT的秩等于（）)D.12)D.6D.3D.4彳05設A為3階矩陣,P = 2 1電0A.1B.

14、2C.3 00，則用P左乘A,相當于將A（）bA.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列x1 2x2 3x3= 06齊次線性方程組123的基礎解系所含解矢量的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4 X2+X3 X4= 07設4階矩陣A的秩為3， 1， 2為非齊次線性方程組 Ax= b的兩個不同的解，c為任意常數(shù)，則該方程組的通解為（）代1C18.設A是n階方陣，且|5A+3 E |：=0,則A必有一個特征值為（）533A. _ B.-C. _355J009.若矩陣A與對角矩陣D=0-10曲似，則A3=（）201JA. EB. DC. A

15、5D.-3D.-E10.二次型 f (x1, x2, x3) = 3X2 2x| - x3是()A.正定的B.負定的C.半正定的D.不定的、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式163612.設3階矩陣A的秩為2,矩陣'001100、010，Q=01000>0bP=，若矩陣B= QAP,則 r(B)=廣1-4、'4 8、A=，B=<-14J 2，貝U AB=13.設矩陣14. 矢量組 冷=(1,1,1,1), : 2=(123,4), : 3=(0,123)的秩為15.設111 /*2是5元齊次

16、線性方程組 Ax=0的基礎解系，則 r(A) ="10 02"16. 非齊次線性方程組 Ax=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為0 10 02 ，衛(wèi)0 1 2 -2則方程組的通解是.17. 設A為3階矩陣，若 A的三個特征值分別為1，2，3，則|A|=.18. 設A為3階矩陣，且|A|=6，若A的一個特征值為 2,貝U A*必有一個特征值為 19. 二次型f (%, X2 , X3) = x2 -X； + 3xf的正慣性指數(shù)為 .20.二次型f(X1,X2,X3)=x2-2x；-2xf+4x2x3經(jīng)正交變換可化為標準形 三、計算題(本大題共36小題，每小題9分，共54 分)5-1

17、24階方陣.若行，求矢量組的21. 計算行列式D= Y 5，Z1-3 0 "22.設A= 210，矩陣X滿足關系式A+X=XA，求X.2 0 223.設，：，2，3，4 均為 4 維列矢量，A= (， 2， 3，4)和 B= (:, 2， 3， 4)為列式|A|=4， |B |=1，求行列式|A+B |的值.24. 已知矢量組=(1,2, T,1)T2=(2,0,t,0)T3=(0, 一4,5,-2)丁， =(3, -2計4,-1)丁(其中 t 為參數(shù))秩和一個極大無關組x-ix2 2x3 X4 = 325. 求線性方程組x1 2x2 x3 -X4 =2 的通解.I2x1 x2 5x

18、3 4x4 = 7(要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示)26. 已知矢量_：»= (1,1,1)T，求矢量_：込，3，使胡，-：2 ,二3兩兩正交四、證明題(本題 6分)27. 設A為mxn實矩陣，ATA為正定矩陣.證明：線性方程組 Ax= 0只有零解.全國2012年1月試題課程代碼：04184說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，|表示矢量:-的長度，】T表示矢量的轉置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.、單項選擇題 (本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯

19、選、多選或=E，則矩陣X =()未選均無分。a11a123an3a123a131 .設行列式a?!a22a23=2 ,則T31-a32733=()a32a33a21 為a22 a32比3 a33A . -6B . -3C . 3D . 62 .設矩陣A, X為同階方陣，且 A可逆，若A (X-E) -1 -1A . E+A B . E-A C . E +A D . E-A設矩陣A, B均為可逆方陣，則以下結論正確的是A 可I B丿逆，且其逆為A B可逆，且其逆為A-1B-1設_：X,用2,，爲k是n維列矢量，則2,()A不可逆可逆，且其逆為A-1B-1,： k線性無關的充分必要條件是()A .

20、矢量組1, 2,，k中任意兩個矢量線性無關B .存在一組不全為 0的數(shù)11 , 12,，Ik,使得111+122+lk嚴0C .矢量組1,二2,，二k中存在一個矢量不能由其余矢量線性表示D .矢量組二1, 2,，- k中任意一個矢量都不能由其余矢量線性表示5 已知矢量 2a + 0=(1,2,2,_1)T,3a+20=(1,_4,；,O)T,則 a+ 0=()(0,-2, -1 ,1) TB (-2, 0, -1 , 1)C ( 1, -1 , -2,0) TD (2,-6, -5, -1)6 .實數(shù)矢量空間 V=( x,y,z)|3x+2y+5z=0的維數(shù)是()A 1B. 2C. 3D 47

21、設是非齊次線性方程組Ax= b的解，1是其導出組 Ax=0的解，則以下結論正確的是()A + -是 Ax=0 的解B + -是 Ax=b 的解C 一 -是 Ax=b 的解D -是 Ax=0 的解8設三階方陣 A的特征值分別為!,!,3，則A-1的特征值為()2 41 11 111A 2,4,' B 1,', 1 C.',' ,3D 2,4,33 24 32419. 設矩陣A=2，則與矩陣A相似的矩陣是()1 M01-21A .二 2B.10C .1D .-2321110 .以下關于正定矩陣敘述正確的是()B .正定矩陣的行列式一定小于零D .正定矩陣的差一定是正

22、定矩陣A .正定矩陣的乘積- -定是 正定矩陣C 正定矩陣的行列式一定大于零二、填空題(本大題共10小題，每空2分，共20分) 請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。311 .設 det(A)=-1 , det(B)=2，且 A, B 為同階方陣，則 det(AB) )=.1 2 -212 .設3階矩陣A= 4 t 3 , B為3階非零矩陣，且 AB =0,則t=.3 -1113. 設方陣A滿足Ak= E，這里k為正整數(shù)，則矩陣 A的逆A-1=.14 .實矢量空間 Rn的維數(shù)是15. 設A是mx n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎解系中含解矢量的個數(shù)為 .16 .非齊次線性方程

23、組 Ax= b有解的充分必要條件是 .17 .設是齊次線性方程組 Ax=0的解，而1是非齊次線性方程組 Ax = b的解，則A (32J=18 .設方陣A有一個特征值為 8,則det (-8E+A) =.19 .設P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列矢量，則|Px|=.2 2 220 .二次型f(X1,x2,xs)=為5x26x34x1x2-2x1X3-2x2X3的正慣性指數(shù)是 .二、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)11-1221.計算行列式V V -4 124-61124222 設矩陣A=，且矩陣B滿足ABA-1 =4A-1+BA-1，求矩陣B.23. 設矢量組 r =(3,1

24、,2,0),=(0,7,1,3), x =(-1,2,0,1),=(6,9,4,3),求其一個極大線性無關組，并將其余向通過極大線性無關組表示出來.-1424.設三階矩陣 A= -252 -433，求矩陣A的特征值和特征矢量.-225. 求下列齊次線性方程組的通解.x X3 -5x4 =02x1 x2 -3x4 =0十冷一X3 +2X4=02-24-2026.求矩陣A=306-11的秩030011-1210四、證明題(本大題共1小題，6分)a11a12a1327.設三階矩陣A= a21a22a23的行列式不等于0，證明：a31爲2a3323 'q =a21q =a22，口3 =a23線

25、性無關&31 J©2 Jla33 )全國2011年10月試題課程代碼：04184說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。 A表示方陣A的 行列式，r(A)表示矩陣A的秩。一、單項選擇題(本大題共 10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選 或未選均無分。11設3階方陣A的行列式為2U -一 A =()21 1A.-1B. C.D.144x _2x -12設 f(x)=2x2 2x13x2 3x2x_22x-2,則方程f(x)=O的根的個數(shù)為()3x53

26、設A為n階方陣，將 A的第1列與第2列交換得到方陣 B,若 A式B次泌有()A. A = Ob.A +B 式0C. A 手 0d. A B 式 04.設A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是()A. (A B)2 二 A2 2 AB B2B. (A B)(A B)二 A2 一 B22 2 2C.( A-E)(A E )=(A E )(A-E)D. (AB)二 A B'a1b1a1b25. 設 A = 826826Ia3b1a3b26. 設6階方陣A的秩為a1bs 'a2b3 ,其中a式0,b式0,i =1,2,3,則矩陣A的秩為() 玄3鳥4,則A的伴隨矩陣A *的秩為()

27、7. 設矢量a= (1, -2, 3)與3= ( 2, k, 6)正交，則數(shù) k為()x1 x2 x3 - 48. 已知線性方程組人ax2 x3無解，則數(shù)a=()2x1 2ax2 =411A. B.0C. 一D.1229. 設3階方陣A的特征多項式為|九EA=(人+2)(人+3)2,則A=()10. 若3階實對稱矩陣 A二)是正定矩陣，則 A的3個特征值可能為()A.-1 , -2, -3B.-1 , -2, 3C.-1, 2, 3D.1 , 2, 3二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。3 011.設行列式D = 225 342

28、 ,其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為-2(aa )f b Hb)12.設 A=, B=,則 AB =<_a a 丿<_b b 丿廣103、13. 設 A 是 4 X3 矩陣且 r(A) =2, B= 02 0 ,則 r( AB)=d 0 314. 矢量組(1 , 2) , (2, 3) (3, 4)的秩為 .15設線性無關的矢量組ai, a,，a可由矢量組 3,陸 ，也線性表示，則r與s的關系為.Xr ：； ； X2 X3 二 016. 設方程組 < 人為+x2+x3 =0有非零解，且數(shù) 人v0,則=x1 x2 - .，.x3 = 017. 設 4 元線性方程組 Ax= b

29、的三個解 a1, a, a,已知 = (1,2,3,4) T , a2+a3 = (3,5,7,9) T,r( A) = 3.則方程 組的通解是.r2 ,貝V數(shù)a=18. 設3階方陣A的秩為2,且A2 +5A = 0,則A的全部特征值為 .心11 )19. 設矩陣A= 0 a 0有一個特征值 幾=2,對應的特征矢量為亡 1 3.>20. 設實二次型f(x,X2,x3) =XTAx,已知A的特征值為-1, 1, 2，則該二次型的規(guī)范形為 三、計算題(本大題共 6小題，每小題9分，共54分)21.設矩陣 A 二 C ,2 2,3 3), B =( -, 2, 3),其中：，2, 3均為 3

30、維列矢量，且 A =18, B = 2.求 A-B .23.設矢量組a= (1 , 1,1, 3) T,a= ( - 1 ,-3, 5, 1) T, a= (3, 2, -1, p+2) T, a= (3, 2 , -1 , p+2) T*1 1-1 ”1、q-1、22.解矩陣方程0 22X +101 1J T0丿<43丿<2 1丿問p為何值時，該矢量組線性相關？并在此時求出它的秩和一個極大無關組2人：；，x2 - x3 =124. 設3元線性方程組w -x2 * x3 =2,4X1 5X2 -5X3 = -1(1)確定當入取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解？(2 )當方程

31、組有無窮多解時，求出該方程組的通解(要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示)1 225. 已知2階方陣A的特征值為=1及'2,方陣B =A .3(1 )求B的特征值；(2 )求B的行列式.26.用配方法化二次型 f（XX2, %） = X： -2x； -2x； -4x2 - 12x2x3為標準形，并寫出所作的可逆線性變換A = 0.四、證明題（本題6分）27.設A是3階反對稱矩陣，證明全國2011年7月試題課程代碼：04184|A|表示方陣A的行列說明：本卷中，AT表示方陣A的轉置鉅陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣, 式.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20

32、分）多選或在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、 未選均無分。1 0 -11 設 A = 3 50，則 |從丁|=（）】0 4 1 _A -49B -7C 7D 492 設A為3階方陣，且|円=4，則| -2A|=（）A -32B -8C 8D 323 設A, B為n階方陣，且 AT=-A, BT=B，則下列命題正確的是（）A. （A+B） T=A+BB （AB） T=-ABC A2是對稱矩陣D B2+A 是對稱陣4 設A, B, X, Y都是n階方陣，則下面等式正確的是（）2 2 2B (AB) =A B2A 若 A =0，貝U A=0-1

33、13115 設矩陣A=02-14，則秩0005-0000_C 若 AX=AY，貝U X=YD 若 A+X=B，貝U X=B-A(A)=()A 1B 2C 3D 4kx z = 06 若方程組 2x ky 0僅有零解，則k=()kx -2y z = 0A -2B -1C 0D 27 實數(shù)矢量空間 V= (X1, x2, X3) |x計X3=0的維數(shù)是()A 0B 1C 2D 3x1 2x2 _ x3 = ' T8 若方程組3x2 - x3 =，- 2有無窮多解，則1 =()I厲“、X2 -X3-3)( ' -4)(- -2)A . 1B. 2C. 3D. 41 0 09 .設A=

34、 01 o，則下列矩陣中與 A相似的是()0 0 2110100010C.011D.0020022210設實二次型 f(X1,X2,X3)=X2 -X3，貝U f (A .正定B .不定C.負定 D .半正定二、填空題(本大題共 10小題，每小題2分，共20分) 請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11. 設 A=(-1,1,2)T, B=(0,2,3)t,則 |ABT|=.12. 設三階矩陣 A -11, R, >3 1,其中:i(i =1,2,3)為A的列矢量，且|A|=2,則| 上1 +a2,G2,G1 +口2 _口3 =13.設，且秩(A)=3,則a,b,c應滿足0

35、14.的逆矩陣是15 .三元方程X什X3=1的通解是 .16 .已知A相似于，：T 0，則|A-E|=0 200117. 矩陣A=010的特征值是.100 一18. 與矩陣A = "2相似的對角矩陣是2門"1 0 019 .設A相似于a= 00，則A4衛(wèi)0 1 一20 .二次型 f(X1,X2,X3)=X1X2-X1X3+X2X3 的矩陣是 三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54 分)123 421 .計算4階行列式D= 2 3 4 1 .3 4124 12 31 0 122 .設 A= o 2 0，而 X 滿足 AX+E=A2+X,求 X.1 6 123.求矢量組

36、:112 15 13 1-210-13、5 =2,。3 =7,C(4 =5-1-2-5-3工I i-31 1-1：-1的秩，并給出該矢量組的一個極大無關組，同時將其余的矢量表示成該極大無關組的線性組合X 2x2 - 2x3 二 024.當為何值時，齊次方程組2論-x2 ：lx3 = 0有非零解？并求其全部非零解3x1 x2 _x3 = 025已知1,1,-1是三階實對稱矩陣A的三個特征值，矢量：=(1,1,1)T、2=(2,2,1)T是A的對應于=，2=1的特征矢量，求A的屬于，3 - -1的特征矢量.26 .求正交變換 Y=PX，化二次型 f(X1,X2,X3)=2X1x2+2X1X3-2X

37、2x3 為標準形.四、證明題(本大題 6分)27.設円，a2, a3線性無關，證明 些，a勺+2,。1十*3也線性無關全國2011年4月試題課程代碼：04184說明：At表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.下列等式中，正確的是()BY，；設A、B均為n階可逆矩陣，且C=，則c-1是（）B'10I 0 AAC.D .A-10 0 fl-V設A為3階矩陣，A的秩r（A）=3，

38、則矩陣A*的秩r（A*）=（）0B. 1C. 2D. 3設矢量-':- ，若有常數(shù)a,b使用-二4,則（）a=-1,b=-2B . a=-1,b=2C . a=1,b=-2D . a=1,b=2矢量組'-I.- 的極大線性無關組為().二一二：C.二一 ： D . ：設矩陣A=|20，那么矩陣A的列矢量組的秩為（）0/3B. 2C. 1D.設二：是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣有一個特征值等于（）43彳一 B . - C. = D .34 . 4.T 0設矩陣A=-3 1:/ ，則A的對應于特征值的特征矢量為（）(0, 0, 0) TB. (0, 2, -1) TC. (1 ,

39、 0, -1)td . (0,1, 1) T9910.二次型 f (Xi, X2, Xa) =2Xi -X1X2 X2 的矩陣為()i 1JC.D.-000 0/、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。I11310511.行列式12.行列式01-139410-20102中第4行各元素的代數(shù)余子式之和為13.設矩陣-2 , B = (1, 2, 3),則 BA=14. 設3階方陣A的行列式|A|=丄，則|A3|=.2 15. 設 A, B 為 n 階方陣，且 AB =E , A-1 B=B-1A= E，則 A2+ B2=16 .已知

40、 3 維矢量氐=(1, -3, 3), B = (1, 0, -1 )則比+3廳=_17.設矢量a= (1 , 2, 3, 4),則優(yōu)的單位化矢量為 .18 設n階矩陣A的各行元素之和均為 0，且A的秩為n-1,則齊次線性方程組 Ax=0的通解為19. 設3階矩陣A與B相似，若A的特征值為-,-,-，則行列式|B-1|=.2 3 4fl監(jiān)20設A=b ” .是正定矩陣，則a的取值范圍為 .三、計算題(本大題共 6小題，每小題9分，共54分)卩 1 i/1 d21. 已知矩陣A =, B =,11 0 1/0 2 1/求: (1) ATB;(2) |ATB|.22 .設 一，B=，且滿足AXB

41、=C,求矩陣X.23 求矢量組二.=(1,2,1,0) T，二：=(1,1,1,2) T，山=(3,4,3,4) T，二=(4,5,6,4) T 的秩與一個極大線性無關組X1 -X2 3X3 -X4 =124判斷線性方程組2X1 -X2 -対4x2是否有解，有解時求出它的解X1 -4X3 5X4 - -125.已知2階矩陣A的特征值為._=1，紜=9，對應的特征矢量依次為 1= (-1 , 1) T, 他(7, 1) T，求矩陣A.26 .已知矩陣A相似于對角矩陣A =.，求行列式|A-E|的值.四、證明題(本大題共 6分) 27 .設A為n階對稱矩陣，B為n階反對稱矩陣證明：(1) AB-

42、BA為對稱矩陣；(2) AB+ BA為反對稱矩陣全國2011年1月試題課程代碼：04184說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，(：,'：)表示矢量：與的內(nèi)積，E表示單位矩 陣，A表示方陣A的行列式一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。a11a12a132a112a122a131設行列式a21a22a23=4，則行列式a21a22a23=()a31a32a333a313a323a332設矩陣A, B, C, X為同階方陣，且 A, B可逆

43、，AXB = C,則矩陣X =（）-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1A. A CB B.CA B C. B A CD.CB A2 13. 已知 A+A-E=0,則矩陣 A-=（）A. A-E B.- A- E C. A+ E D.- A+ E4. 設：1, ：2, >3，_：M，二5是四維矢量，則（）A.冷，：23，4，5 一定線性無關B.冷，：34,5 一定線性相關C. ：5 一定可以由 冷，二2，二3,二4線性表示D. ：'1 一定可以由 二2，二3,為，-：匚5線性表出5. 設A是n階方陣，若對任意的n維矢量x均滿足Ax= 0,則（）A. A= 0B. A =

44、EC. r（A ）=n D.0<r（ A ）<（ n）6. 設A為n階方陣，r（A）<n,下列關于齊次線性方程組Ax= 0的敘述正確的是（）A. Ax=0只有零解B. Ax= 0的基礎解系含r（A）個解矢量C.Ax= 0的基礎解系含7. 設1，2是非齊次線性方程組A. 1川2是Ax=b的解C.3 1 -2 2 是 Ax = b 的解38. 設h , h , 為矩陣A= 0P13.設2階可逆矩陣 A的逆矩陣2，則矩陣A=n-r （A）個解矢量D. Ax=0沒有解Ax = b的兩個不同的解，則（）B. 1 - 2是Ax= b的解D. 2 1 3 2 是 Ax= b 的解904 5

45、的三個特征值，則打 #-2，-3 =（）0 29. 設P為正交矩陣，矢量：，：的內(nèi)積為（:, ： ） =2，則（P，P ：）=（）1 3A. B.1C. D.22 210. 二次型 f（x1,x2,x3）= X12 X； X3 .2x1x2 AM 2x2x3 的秩為（）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1 -k -211. 行列式4=°，貝U k=2 k 112. 設A= 5 0 L k為正整數(shù)，則Ak=1 1 '14. 設矢量 0( = (6, -2, 0, 4), B = (-3, 1 , 5, 7),矢

46、量 丫滿足 2。+丫=30，則 Y =15. 設A是mXh矩陣，Ax=0，只有零解，則 r（A）=.16. 設是齊次線性方程組 Ax=0的兩個解，則 A （3%+7口2 ） =17. 實數(shù)矢量空間 V= (X1,x2,X3)|X1-x2+X3=0的維數(shù)是 .18. 設方陣A有一個特征值為 0,則|A3|=.19. 設矢量耳=(-1, 1, -3),色=(2, -1, Z.)正父，貝U 入=2 2 220. 設 f(X1,X2,X3)= X1 +4X2+2X3+21X1X2+2X1X3 是正定二次型，則 t 滿足.三、計算題（本大題共 6小題，每小題9分，共54分）a _b _c2a2a21.計

47、算行列式2bb _a _c2b2c2cc _a _b22.設矩陣A = 21-110_62151，對參數(shù)討論矩陣A的秩.23.求解矩陣方程-1425J-3J24.求矢量組：-1_1 12-1廠2 一2 15-6：4 二-1121-7的一個極大線性無關組，并將其余矢量通過該極大線性無關組表示出來-3x2 亠x3 亠5x4 =025.求齊次線性方程組2X1-3X1 X2 2X3 -4X4 =0的一個基礎解系及其通解-x1 -2x2 3x3 x4 =026.求矩陣2138-A422-3的特征值和特征矢量四、證明題（本大題共 1小題，6分）27.設矢量?1 , ?2 ,.，亠線性無關，1<j &

48、lt; k.證明：冷 + r, >2，,k線性無關.全國2010年10月試題課程代碼：04184、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選 或未選均無分。1.設 A 為 3 階矩陣，|A|=1,則 |-2AT|=()D.82.設矩陣A=1 '日腫1,1），則 AB=（）A.0B.(1,-1)C.(1 )I l_1 .丿D.<_1 一1 丿3.設A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣，則下列矩陣中為反對稱矩陣的是()4設矩陣A的伴隨矩陣A =1A.-2 1231B.-1 丿2 131 -2IC.-41D.-24 2 '<3 J彳 0 1 "601'1 0 0、Goo"A.0 1 0B.0 1 0C.03 0D.0 1 0®°° fQ 0 01g 0 1 je 0 b初等矩陣的是5下列矩陣中不是()均為n階可逆矩陣，則必有()6. 設 A,BA.A+B 可逆B.AB可逆 C.A-B可逆7. 設矢量組 a 仁(1,2), a 2=(0,2),則=)(4,2),A. a 1, a線性無關B. 3不能由a 1,線性表示C. 3可由a 1, c線性表示，但表示法