線代習(xí)題答案陳萬(wàn)勇版

1、線性代數(shù)習(xí)題解答陳萬(wàn)勇 習(xí)題一1.1 利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式. (1); 解：=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解：=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3); 解：=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).(4). 解：=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx

2、-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 1.2 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序, 求下列各排列的逆序數(shù).(1)1 2 3 4; 解：逆序數(shù)為0(2)4 1 3 2; 解 逆序數(shù)為4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1; 解：逆序數(shù)為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3; 解：逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解：逆序數(shù)為: 3 2 (1個(gè)

3、)5 2, 5 4(2個(gè))7 2, 7 4, 7 6(3個(gè))× × × × × ×(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個(gè))(6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解：逆序數(shù)為n(n-1) : 3 2(1個(gè))5 2, 5 4 (2個(gè))× × × × × ×(2n-1)2, (2n-1

4、)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個(gè))4 2(1個(gè))6 2, 6 4(2個(gè))× × × × × ×(2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個(gè))1.3 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng). 解：含因子a11a23的項(xiàng)的一般形式為：(-1)ta11a23a3ra4s,其中r、s是2和4構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個(gè), 即24和42. 所以含因子a11a23的項(xiàng)分別是(-1)ta11a23a

5、32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.1.4 計(jì)算下列各行列式. (1); 解：. (2); 解：. (3); 解： . (4). 解： =abcd+ab+cd+ad+1. 1.5 證明:(1)=(a-b)3;證明：=(a-b)3 . (2);證明：. (3);證明：(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)(c4-c3, c3-c2得) . (4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);證明： =(a-b)(a-c

6、)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時(shí), , 命題成立. 假設(shè)對(duì)于(n-1)階行列式命題成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .因此, 對(duì)于n階行列式命題成立. 1.6 設(shè)n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋

7、轉(zhuǎn)90°、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn), 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明：因?yàn)镈=det(aij), 所以 . 同理可證. . 1.7 計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式).(1), 其中對(duì)角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解：（按第n行展開) =an-an-2=an-2(a2-1). (2)解：將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得, 再將各列都加到第一列上, 得=x+(n-1)a(x-a)n-1.(3);解：根據(jù)第6題結(jié)果, 有此行列式為范德蒙德行列式. . (4);解：(按第1行展開). 再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,

8、 即D2n=(andn-bncn)D2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;解：aij=|i-j|, =(-1)n-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 × × × an¹0. 解：. 1.8 用克萊姆法則解下列方程組. (1) 解：因?yàn)? , , ,所以 , , , . (2). 解：因?yàn)?， 所以, , , , .1.9 問l, m取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解？解：系數(shù)行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當(dāng)m=0或l=1時(shí)該齊次線性方程組有非零解. 1.10

9、問l取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解？解：系數(shù)行列式為 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得l=0, l=2或l=3. 于是, 當(dāng)l=0, l=2或l=3時(shí), 該齊次線性方程組有非零解. 習(xí)題二2.1 已知，求解： 3A-2B=3-2 =2.2 已知，且，求解： A+2X=B 2X=B-A X=(B-A)/2 B-A= X=2.3 計(jì)算下列各題（1）； （2）；（3） ； （4）解： (1) 當(dāng)n=2時(shí) 2= 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí) k= 當(dāng)n=k+1 時(shí) k+1=k= n= (2) = (3) 原式= （4） 原

10、式= = = 原式=3n-1 2.4 設(shè)，A是一個(gè)矩陣，B是矩陣，求AB與BA及 解： AB= ATBT 2.5 設(shè)A、B均為階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明也是對(duì)稱矩陣 證： ()T=BTAT(BT)T=BTATB AT=A ()T=BTAB 即 也是對(duì)稱矩陣2.6 求下列矩陣的逆矩陣（1）; （2）；（3）； （4） 解：(1) -1 (2) -1 (3) -1 (4) 2.7 求下列分塊矩陣的逆矩陣（1） ； （2） 解：（1） 原式 -1 -1 -1 A -1= (2) -1 -1 A -12.8 已知，求 解： 2.9 利用初等變換求下列矩陣的逆矩陣（1） ; （2） 解：（1） A-1

11、 (2) A-12.10 求下列矩陣的秩（1） ； （2） 解： （1） (2) 2.11 設(shè)方陣A滿足，證明A與都可逆，并求它們的逆矩陣證： A2-A-2E=0 A(A-E)=2E A-1 (A-E)-12.12 解下列矩陣方程（1）；（2）；（3） 解：（1） (2) = =2.13 求的逆矩陣解： -1 -1 A-1習(xí)題三3.1解： (1).對(duì)系數(shù)矩陣A施以初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形 即得原方程組的同解方程組 ，即，令,原方程組的同解方程組寫成向量形式如下(2). 對(duì)系數(shù)矩陣A施以初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形 即得原方程組的同解方程組 令原方程組的同解方程組寫成向量形式如下(3). 則有(4)

12、. 即 3.2 解：(1). 對(duì)增廣矩陣（A，b）施以初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形 (A,b)= R(A)<R(A,b) 無解（2） . 即得原方程組的同解方程組 ， 令，原方程組的同解方程組寫成向量形式如下（3） ，同解方程組為 ， 通解為 （4） ，即，令， 即 3.3解：（1）. 對(duì)增個(gè)矩陣B=（A，b）作初等變換化為行階梯形 ，因此 時(shí)，R（A）<R(A,b),無解 時(shí)，R（A）=R（B）=1 且時(shí)，有唯一解 ， （2）.，有唯一解，有無窮多解， 3.4解;，當(dāng)時(shí)，有解，通解為：3.5解：（1）. 由， 知線性無關(guān) 而， 則線性相關(guān) 其中是一個(gè)最大線性無關(guān)組 故可由線性表示（2

13、）假設(shè)可由線性表示， 由（1）可設(shè) 則可由線性表示 與矛盾 假設(shè)不成立3.6 解:對(duì)矩陣施以初等行變換，化為行階梯形則等價(jià).3.7解：由題意知?jiǎng)t，而故.3.8 解： =(1) 時(shí)，線性無關(guān)(2) 時(shí)，線性相關(guān) 3.9解：（1）.，線性相關(guān).（2）. ， 線性無關(guān)（3）. ， 線性相關(guān)3.10解：，時(shí)，線性無關(guān)3.11解;存在1，-1，1，-1使的線性組合為3.12證：， 又是線性無關(guān)的，故也是線性無關(guān)的.3.13解：（1） 秩為2，為一個(gè)最大無關(guān)組，也為一個(gè)最大無關(guān)組（2） 秩為2， 最大無關(guān)組為或3.14解;（1） （2）. 為最大無關(guān)組 3.15解： ， 3.16解：（1）. 即 令 則基

14、礎(chǔ)解系為 ，（2） 基礎(chǔ)解系為 3.17解：（1）. 所以，令，基礎(chǔ)解系為， 特解為。（2）令基礎(chǔ)解系為 ， 特解.3.18解：（1）因,而，,故得,即,利用P的可逆性，用左乘上式兩端，則得.(2)由已知條件以及（1）知，從而.3.19證：， 則3.20解; 3.21證：由代入知，都是的解假設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為0的n-r+1個(gè)數(shù).由都為AX=0的解，則由的線性無關(guān)知：而，則同理可證：是線性無關(guān)3.22證：線性無關(guān)，有t個(gè)向量，故是AX=0的一組最大無關(guān)的解向量，即為基礎(chǔ)解系。3.23解： 習(xí)題四4.1 解 記，設(shè)，因與都正交，所以，即是：，方程組為：，其基礎(chǔ)解系為：，取即可。4.2解(1)

15、根據(jù)施密特正交化方法:令，故正交化后得: (2)根據(jù)施密特正交化方法令故正交化后得 4.3解(1) 該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣 (2) 第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣4.4證 因?yàn)槭请A正交陣，故，故也是正交陣4.5 證 =4.6解 (1)故的特征值為當(dāng)時(shí),解方程,由 得基礎(chǔ)解系所以是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí),解方程,由 得基礎(chǔ)解系 (2)故的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量.當(dāng)時(shí),解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量當(dāng)時(shí)，解方程，由得基礎(chǔ)解系故是對(duì)應(yīng)于的全部特征值向量（3）因 所以得方陣的特征根為：， 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向

16、量應(yīng)滿足齊次線性方程組： 即 ， 而 故對(duì)應(yīng)的方程組為： ，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系為：， 所以方陣對(duì)應(yīng)于特征根的全部特征向量為：， 其中為任意非零實(shí)數(shù)。 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足齊次線性方程組： 即 ， 而 故對(duì)應(yīng)的方程組為： ，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系為：， 所以方陣對(duì)應(yīng)于特征根的全部特征向量為：， 其中為任意非零實(shí)數(shù)。4.7證因?yàn)?，所以與的特征值相同.4.8 證 因?yàn)?，所以，所以的特征值只能?，-3.4.9 證與相似.存在可逆陣，使得，有因?yàn)椋?4.10. 解，.4.11. 解與相似，與特征值相同，的特征值為2，3，4，5， 4.12解的特征值為1，2，3，特征值為1，2，3為3，2，3.所以4.1

17、3 解 已知3階行列式的特征值為1，2，-3，而 ，4.14解(1)特征值 , (2)有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,故可角化 4.15（1）解：令得時(shí)， ；，；，將所得向量正交化、單位化得：令，則有4.15（2）解：時(shí)，對(duì)應(yīng)矩陣的基礎(chǔ)解系為正交化：?jiǎn)挝换?，時(shí)，對(duì)應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為，令，則有4.16 4.17解 條件說明(1,1,1)T=(3,3,3)T,即=(1,1,1)T是的特征向量,特征值為3.又，都是的解說明它們也都是的特征向量,特征值為0.由于線性無關(guān), 特征值0的重?cái)?shù)大于1.于是的特征值為3,0,0.屬于3的特征向量:c , c¹0.屬于0的特征向量:c11+c22, c1

18、,c2不都為0. 將0單位化,得h=(,)T.對(duì)，作施密特正交化,的h=(0,-,)T, =(-,)T.作則是正交矩陣,并且 . 解得. 4.18 因?yàn)樗鼈兿嗨朴谕粚?duì)角陣.習(xí)題五5.1 (1) f(x，y，z) =(x，y，z) ， A =.(2) .5.2 (1) f (x1，x2，x3) =；(2).5.3 (1) f(x，y)=；(2) f (x1，x2，x3，x4) =.5.4首先作出二次型的矩陣A=，做初等變換A.令r(A)=2，得到.5.5 (1) 解得: .所以可用正交變換將原二次型化成以下標(biāo)準(zhǔn)形:. (2) 解得: 所以可用正交變換將原二次型化成以下標(biāo)準(zhǔn)形:.5.6 (1) =2(x12+2x1x2+x22) +3x22 =2(x1+x2) 2+3x22令即， ，x=Cy，可逆變換矩陣,標(biāo)準(zhǔn)形為 g(y)=(2) 令則 = =. 5.7 f (x)的矩陣A=因?yàn)锳的特征值等于1，2，5，所以| A | =18-2a2=10.得到a=2A=，E-A=，1=1，2=2，3=5，1E-A=，x1=，p1=；2E-A=，