任意角的概念與弧度制教案

1、課 程數(shù)學(xué)第 7章 第 7.1.1節(jié) 任意角的概念授 課 時(shí) 數(shù)2授課方法講授法授 課 時(shí) 間授課班級海乘1601/輪機(jī)1601教 學(xué) 目 的知識目標(biāo)： 了解角的概念推廣的實(shí)際背景意義； 理解任意角、象限角、界限角、終邊相同的角的概念能力目標(biāo)：（1）會(huì)判斷角所在的象限；（2）會(huì)求指定范圍內(nèi)與已知角終邊相同的角；（3）培養(yǎng)觀察能力和計(jì)算技能教 學(xué) 重 點(diǎn)和 難 點(diǎn)重點(diǎn)：終邊相同角的概念難點(diǎn)：終邊相同角的表示和確定復(fù) 習(xí) 提 問 與作 業(yè) 布 置P6 練習(xí) 2 預(yù)習(xí)教 學(xué) 思 路 、方 法 、手 段（1）以豐富的生活實(shí)例為引例,引入學(xué)習(xí)新概念角的推廣；（2）在演示觀察思維探究活動(dòng)中，使學(xué)生認(rèn)識、理

2、解終邊相同的角；（3）在練習(xí)討論中深化、鞏固知識，培養(yǎng)能力；（4）在反思交流中，總結(jié)知識，品味學(xué)習(xí)方法教學(xué)備品教學(xué)課件、學(xué)習(xí)演示用具（兩個(gè)硬紙條一個(gè)扣釘）【教學(xué)過程】教 學(xué) 過 程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間*揭示課題7.1任意角的概念與弧度制*創(chuàng)設(shè)情景 興趣導(dǎo)入問題1 游樂場的摩天輪，每一個(gè)轎廂掛在一個(gè)旋臂上，小明與小華兩人同時(shí)登上摩天輪，旋臂轉(zhuǎn)過一圈后，小明下了摩天輪，小華繼續(xù)乘坐一圈那么，小華走下來時(shí)，旋臂轉(zhuǎn)過的角度是多少呢？問題2用活絡(luò)扳手旋松螺母，當(dāng)扳手按逆時(shí)針方向由OA旋轉(zhuǎn)到OB位置時(shí)，就形成一個(gè)角 ；在扳手由OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，就形成了0°到360°之

3、間的角；扳手繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，就形成大于 的角如果用扳手旋緊螺母，就需將扳手按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，形成與上述方向 的角歸納通過上面的三個(gè)實(shí)例，發(fā)現(xiàn)僅用銳角或0°360°范圍的角，已經(jīng)不能反映生產(chǎn)、生活中的一些實(shí)際問題，需要對角的概念進(jìn)行推廣介紹質(zhì)疑提問說明總結(jié)了解思考求解討論交流理解利用實(shí)際問題引起學(xué)生的好奇心和求知欲生活實(shí)例有助于學(xué)生理解角的推廣的意義10*動(dòng)腦思考 探索新知概念一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)，按逆時(shí)針（或順時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)到另一位置就形成角旋轉(zhuǎn)開始位置的射線叫角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊，端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn) 規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角（如圖

4、（1），按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角（如圖（2）當(dāng)射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，也認(rèn)為形成了一個(gè)角，這個(gè)角叫做零角 （1） （2）類型經(jīng)過這樣的推廣以后，角包含任意大小的正角、負(fù)角和零角 表示除了使用角的頂點(diǎn)與邊的字母表示角，將角記為“AOB”或“O”外，本章中經(jīng)常用小寫希臘字母、來表示角概念數(shù)學(xué)中經(jīng)常在平面直角坐標(biāo)系中研究角將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊在軸的正半軸，此時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角（或者說這個(gè)角在第幾象限）如圖所示，30°、390°、330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，120°是第三象限的

5、角，60°、300°都是第四象限的角 終邊在坐標(biāo)軸上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、90°、270°角等都是界限角說明仔細(xì)分析講解關(guān)鍵點(diǎn)引導(dǎo)強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)展示強(qiáng)調(diào)思考理解記憶明確領(lǐng)會(huì)觀察理解結(jié)合圖形講解角的圖形可以加入學(xué)生的舉例明確角的類型完成角的推廣象限角可以引導(dǎo)學(xué)生一步步自然得出強(qiáng)調(diào)特殊情況30*運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí) 練習(xí)7-11在直角坐標(biāo)系中分別作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角： 60°； 210°； 225°； 300°提問巡

6、視指導(dǎo)思考動(dòng)手求解交流反饋學(xué)習(xí)狀態(tài)鞏固知識40*動(dòng)手操作 實(shí)驗(yàn)觀察用圖釘聯(lián)結(jié)兩根硬紙條，將其中一根固定在OA的位置，將另一根先轉(zhuǎn)動(dòng)到OB的位置，然后再按照順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察木條重復(fù)轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)所形成角的特征*問題引導(dǎo) 實(shí)踐探究問題在直角坐標(biāo)系中作出390°、330°和30°角，這些角的終邊有何關(guān)系？探究390°=30°+1×360° ； 330°=30°+（-1）×360°即390°、330°與30°角之差都是360°角的整數(shù)倍

7、數(shù)，它們是射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到30°角的終邊位置后，分別繼續(xù)按逆時(shí)針或順時(shí)針方向再旋轉(zhuǎn)一周所形成的角推廣與30°角終邊相同的角還有：750°=30°+2×360°； -690°=30°+（-2）×360°；1110°=30°+3×360°； -1050°=30°+（-3）×360°； 所有與30°角終邊相同的角的度數(shù)，與30°角的度數(shù)之差都恰好為360°的整數(shù)倍數(shù)它們（包括30°

8、;角）都可以表示為30°+360°的形式因此，與30°角終邊相同的角的集合為演示操作質(zhì)疑提問引導(dǎo)分析講解總結(jié)動(dòng)手操作思考求解領(lǐng)會(huì)理解明確由具體的問題實(shí)際操作引導(dǎo)學(xué)生一步步的體會(huì)終邊相同角的含義自然得出結(jié)論50*動(dòng)腦思考 探索新知一般地，與角終邊相同的角（包括角在內(nèi)），都可以表示為 的形式與角終邊相同的角有無限多個(gè)，它們所組成的集合為 說明強(qiáng)調(diào)理解記憶強(qiáng)調(diào)概念的關(guān)鍵點(diǎn)55*鞏固知識 典型例題例1 寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把其中在360°720°內(nèi)的角寫出來： 60°； 114°26 分析 首先要寫出與已知角終邊相同

9、的角的集合，然后選取整數(shù)的值，使得在指定的范圍內(nèi)解 與60°角終邊相同的角的集合是 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在360°720°之間與60°角終邊相同的角為、和 與114°26角終邊相同的角的集合是當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在360°720°之間與角終邊相同的角為、和例2 寫出終邊在軸上的角的集合 分析 在0°360°范圍內(nèi)，終邊在軸正半軸上的角為90°，終邊在軸負(fù)半軸上的角為270°，因此，終邊在軸正半軸、負(fù)半軸上所有的角分別是， 其中式等號右邊表示180°的偶數(shù)倍再加

10、上90°；(2)式等號右邊表示180°的奇數(shù)倍再加上90°，可以將它們合并為180°的整數(shù)倍再加上90°解 終邊在軸上的角的集合是當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，角的終邊在軸正半軸上；當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，角的終邊在軸負(fù)半軸上質(zhì)疑說明講解說明引領(lǐng)分析總結(jié)講解引領(lǐng)觀察思考主動(dòng)求解思考理解領(lǐng)會(huì)求解理解明確安排與知識點(diǎn)對應(yīng)的例題鞏固新知計(jì)算部分可以教給學(xué)生完成利用觀察圖像加強(qiáng)問題的理解強(qiáng)調(diào)規(guī)范寫法70*運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí) 教材練習(xí)5.1.21 在0°360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個(gè)象限的角： 405°； 165°

11、； 1563°； 5421°2 寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把其中在360°360°范圍內(nèi)的角寫出來： 45°； 55°； 220°45； 1330°提問巡視指導(dǎo)思考動(dòng)手求解交流及時(shí)了解學(xué)生知識掌握情況80*歸納小結(jié) 強(qiáng)化思想本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？*自我反思 目標(biāo)檢測 本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？你的學(xué)習(xí)效果如何？引導(dǎo)提問回憶反思交流培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思學(xué)習(xí)過程能力85*繼續(xù)探索 活動(dòng)探究(1)讀書部分： 教材章節(jié)7.1.1；(2)書面作業(yè)：；練習(xí)7.1；(3)實(shí)踐調(diào)查：

12、生活中角的概念的推廣實(shí)例說明記錄90課 程數(shù)學(xué)第 7章 第 7.1.2節(jié) 弧度制授 課 時(shí) 數(shù)2授課方法講授法授 課 時(shí) 間授課班級海乘1601/輪機(jī)1601教 學(xué) 目 的知識目標(biāo)： 理解弧度制的概念； 理解角度制與弧度制的換算關(guān)系.能力目標(biāo)：（1）會(huì)進(jìn)行角度制與弧度制的換算；（2）會(huì)利用計(jì)算器進(jìn)行角度制與弧度制的換算；（3）培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能教 學(xué) 重 點(diǎn)和 難 點(diǎn)重點(diǎn)：弧度制的概念，弧度與角度的換算難點(diǎn)：弧度制的概念復(fù) 習(xí) 提 問 與作 業(yè) 布 置P6 練習(xí) 2 預(yù)習(xí)教 學(xué) 思 路 、方 法 、手 段（1）由問題引入弧度制的概念；（2）通過觀察探究，明晰弧度制與角度制的換

13、算關(guān)系；（3）在練習(xí)討論中，深化、鞏固知識，培養(yǎng)計(jì)算技能；（4）在操作實(shí)踐中，培養(yǎng)計(jì)算工具使用技能；（5）結(jié)合實(shí)例了解知識的應(yīng)用教學(xué)備品教學(xué)課件【教學(xué)過程】教 學(xué) 過 程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間*揭示課題7.2.2弧度制*回顧知識 復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題 角是如何度量的？角的單位是什么？解決將圓周的圓弧所對的圓心角叫做1度角，記作1°1度等于60分（1°=60），1分等于60秒（1=60） 以度為單位來度量角的單位制叫做角度制擴(kuò)展 計(jì)算：23°3526+31°4043角度制下，計(jì)算兩個(gè)角的加、減運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常會(huì)帶來單位換算上的麻煩能否重新設(shè)計(jì)角的單位制，使兩角的

14、加、減運(yùn)算像10進(jìn)位制數(shù)的加、減運(yùn)算那樣簡單呢？介紹質(zhì)疑引領(lǐng)講解說明了解思考明確思考了解利用復(fù)習(xí)角度制為新知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊5*動(dòng)腦思考 探索新知概念將等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1弧度或1rad以弧度為單位來度量角的單位制叫做弧度制若圓的半徑為，圓心角AOB所對的圓弧長為，那么AOB的大小就是 規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零分析由定義知道，角的弧度數(shù)的絕對值等于圓弧長與半徑的比，即 （rad） 半徑為的圓的周長為，故周角的弧度數(shù)為 由此得到兩種單位制之間的換算關(guān)系： 360°=，即 180°=換算公式 1°=

15、說明1用弧度制表示角的大小時(shí)，在不至于產(chǎn)生誤解的情況下，通?？梢允÷詥挝弧盎《取被颉皉ad”的書寫例如，1 rad，2rad，rad，可以分別寫作1，2，2采用弧度制以后，每一個(gè)角都對應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)；反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)都對應(yīng)唯一的一個(gè)角于是，在角的集合與實(shí)數(shù)集之間，建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系說明舉例仔細(xì)分析講解關(guān)鍵點(diǎn)歸納強(qiáng)調(diào)說明理解記憶領(lǐng)會(huì)明確了解弧度概念較為抽象講解時(shí)注重分析關(guān)鍵點(diǎn)弧長與角的對應(yīng)關(guān)系強(qiáng)調(diào)換算的方法引領(lǐng)學(xué)生加強(qiáng)記憶簡單說明對應(yīng)關(guān)系20*鞏固知識 典型例題例1 把下列各角度換算為弧度(精確到0001)： 15°； 8°30； 100°分析 角度制換算為弧

16、度制利用公式1°=解 ； ； 例2 把下列各弧度換算為角度（精確到1）： ； 2.1； 3.5分析 弧度制換算角度制利用公式解 ； 3.5 說明強(qiáng)調(diào)講解分析引領(lǐng)思考理解求解領(lǐng)會(huì)計(jì)算求解利用例題強(qiáng)化換算公式方法計(jì)算方面可由學(xué)生自我主動(dòng)完成30*運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí) 教材練習(xí)5.2.11 把下列各角從角度化為弧度（口答）：180° ； 90° ； 45° ； 15° ；60° ； 30° ； 120° ； 270° 2 把下列各角從弧度化為角度（口答）： ； ； ； ； ； ； ； 3 把下列各角從角度化為弧度

17、： 75°； 240°； 105°； 67°304 把下列各角從弧度化為角度： ； ； ； 提問巡視指導(dǎo)思考動(dòng)手求解交流及時(shí)了解學(xué)生知識掌握情況糾錯(cuò)答疑40*自我探索 使用工具 準(zhǔn)備計(jì)算器觀察計(jì)算器上的按鍵并閱讀相關(guān)的使用說明書，小組完成計(jì)算器弧度與角度轉(zhuǎn)換的方法利用計(jì)算器，驗(yàn)證計(jì)算例題1與例題2質(zhì)疑巡視匯總小組討論探究培養(yǎng)使用計(jì)算器能力50*鞏固知識 典型例題例3 某機(jī)械采用帶傳動(dòng)，由發(fā)動(dòng)機(jī)的主動(dòng)軸帶著工作機(jī)的從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)主動(dòng)輪A的直徑為100 mm，從動(dòng)輪B的直徑為280 mm問：主動(dòng)輪A旋轉(zhuǎn)360°，從動(dòng)輪B旋轉(zhuǎn)的角是多少？（精確到1）解

18、主動(dòng)輪A旋轉(zhuǎn)360°就是一周，所以，傳動(dòng)帶轉(zhuǎn)過的長度為×100 = 100（mm）再考慮從動(dòng)輪，傳動(dòng)帶緊貼著從動(dòng)輪B轉(zhuǎn)過100(mm)的長度，那么，應(yīng)用公式，從動(dòng)輪B轉(zhuǎn)過的角就等于答 從動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)，用角度表示約為128°34例4 如下圖，求公路彎道部分的長（精確到01m圖中長度單位：m）分析 知道圓心角和半徑，求弧長時(shí)，要首先將圓心角換算為弧度制解 60°角換算為弧度， 因此 （m） 答 彎道部分的長約為47.1 m 質(zhì)疑說明講解說明提問引領(lǐng)介紹分析明確觀察思考主動(dòng)求解思考理解討論求解安排實(shí)際問題使學(xué)生了解弧度制應(yīng)用重點(diǎn)分析題目中各數(shù)據(jù)的處理計(jì)算部分交給學(xué)生完成65*運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí) 教材練習(xí)5.2.21填空： 若扇形的半徑為10cm，圓心角為60°，則該扇形的弧長 ，扇形面積 已