線性代數(shù)習(xí)題集帶答案

1、第一部分 專項(xiàng)同步練習(xí)第一章 行列式一、單項(xiàng)選擇題1下列排列是5階偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512如果階排列的逆序數(shù)是, 則排列的逆序數(shù)是( ). (A) (B) (C) (D)3. 階行列式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)共有( )項(xiàng).(A) 0 (B) (C) (D) 4( ).(A) 0 (B) (C) (D) 25. ( ).(A) 0 (B) (C) (D) 26在函數(shù)中項(xiàng)的系數(shù)是( ). (A) 0 (B) (C) (D) 27. 若，則 ( ). (A) 4 (B) (C) 2 (D) 8若，則 ( ). (A) (B) (C)

2、(D)9 已知4階行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次為, 則( ).(A) 0 (B) (C) (D) 210. 若，則中第一行元的代數(shù)余子式的和為( ).(A) (B) (C) (D)11. 若，則中第四行元的余子式的和為( ).(A) (B) (C) (D)12. 等于下列選項(xiàng)中哪個(gè)值時(shí)，齊次線性方程組有非零解. ( ) (A) (B) (C) (D)二、填空題1. 階排列的逆序數(shù)是.2在六階行列式中項(xiàng)所帶的符號(hào)是.3四階行列式中包含且?guī)д?hào)的項(xiàng)是.4若一個(gè)階行列式中至少有個(gè)元素等于, 則這個(gè)行列式的值等于.5. 行列式.6行列式.7行列式.8如果，則.9已知某5階行列式的值為

3、5，將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘所有元素，則所得的新行列式的值為.10行列式.11階行列式.12已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3, 其對(duì)應(yīng)的余子式依次為3,2,1，則該行列式的值為.13設(shè)行列式，為D中第四行元的代數(shù)余子式，則.14已知， D中第四列元的代數(shù)余子式的和為.15設(shè)行列式，為的代數(shù)余子式，則，.16已知行列式，D中第一行元的代數(shù)余子式的和為.17齊次線性方程組僅有零解的充要條件是.18若齊次線性方程組有非零解，則=.三、計(jì)算題1. ; 2；3解方程； 4； 5. ()； 6. 7. ； 8; 9. ; 10. 11.四、證明題1設(shè)，證明：.2.3.4.5設(shè)兩兩不

4、等，證明的充要條件是.參考答案一單項(xiàng)選擇題A D A C C D A B C D B B二填空題1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.三計(jì)算題1； 2. ；3. ; 4. 5. ; 6. ;7. ; 8. ;9. ; 10. ;11. .四. 證明題 (略)第二章 矩陣一、單項(xiàng)選擇題1. A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是( )。(a)(b) (c) (d) 2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足( )時(shí)，B=C。(a) AB =BA (b) (c) 方程組AX=0

5、有非零解 (d) B、C可逆 3.若為n階方陣，為非零常數(shù)，則( )。(a) (b) (c) (d) 4.設(shè)為n階方陣，且，則( )。 (a) 中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例 (b) 中任意一行為其它行的線性組合(c) 中至少有一行元素全為零 (d) 中必有一行為其它行的線性組合 5.設(shè)，為n階可逆矩陣,下面各式恒正確的是( )。(a) (b) (c) (d) 6.設(shè)為n階方陣,為的伴隨矩陣,則( )。(a) (a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)為3階方陣,行列式,為的伴隨矩陣,則行列式( )。(a) (b) (c) (d) 8. 設(shè)，為n階方矩陣,則下列各式成立的是( )。(a) (b) (

6、c) (d) 9. 設(shè)，均為n階方矩陣,則必有( )。(a) (b) (c) (d) 10.設(shè)為階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是（ ）。（a） (b) (c) (d) 11.如果，則（ ）。 （a） (b) (c) (d) 12.已知，則（ ）。 （a） (b) （c） （d） 13.設(shè)為同階方陣，為單位矩陣，若，則（ ）。（a） （b） （c） （d） 14.設(shè)為階方陣，且，則（ ）。（a）經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂嚕╞）由，可得（c）當(dāng)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)闀r(shí)，有（d）以上（a）、（b）、（c）都不對(duì) 15.設(shè)為階矩陣，秩，則（ ）。（a）中階子式不全為零 （b）中階數(shù)小于的子式全為零（c）經(jīng)

7、行初等變換可化為 （d）為滿秩矩陣 16.設(shè)為矩陣，為階可逆矩陣，則( )。(a)秩()> 秩() (b) 秩()= 秩()(c) 秩()< 秩() (d) 秩()與秩()的關(guān)系依而定 17.，為n階非零矩陣，且，則秩()和秩()( )。(a)有一個(gè)等于零 (b)都為n (c)都小于n (d)一個(gè)小于n，一個(gè)等于n 18.n階方陣可逆的充分必要條件是( )。(a) (b) 的列秩為n(c) 的每一個(gè)行向量都是非零向量 (d)伴隨矩陣存在 19.n階矩陣可逆的充要條件是( )。(a) 的每個(gè)行向量都是非零向量(b) 中任意兩個(gè)行向量都不成比例(c) 的行向量中有一個(gè)向量可由其它向量線

8、性表示(d)對(duì)任何n維非零向量，均有 二、填空題1.設(shè)為n階方陣,為n階單位陣,且,則行列式_ 2.行列式_ 3.設(shè)2，則行列式的值為_(kāi) 4.設(shè)，且已知，則行列式_ 5.設(shè)為5階方陣，是其伴隨矩陣，且，則_ 6.設(shè)4階方陣的秩為2，則其伴隨矩陣的秩為_(kāi) 7.非零矩陣的秩為_(kāi) 8.設(shè)為100階矩陣，且對(duì)任何100維非零列向量，均有，則的秩為_(kāi)9.若為15階矩陣，則的第4行第8列的元素是_ 10.若方陣與相似，則_ 11._ 12._ 三、計(jì)算題1.解下列矩陣方程(X為未知矩陣).1) ； 2) ；3) ,其中 ； ；4) ,其中；5) ,其中；2.設(shè)為階對(duì)稱陣,且,求. 3.已知,求. 4.設(shè),

9、求. 5.設(shè),求一秩為2的方陣,使. 6.設(shè),求非奇異矩陣,使. 7.求非奇異矩陣,使為對(duì)角陣. 1) 2) 8.已知三階方陣的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為,求矩陣. 9.設(shè),求. 四、證明題1. 設(shè)、均為階非奇異陣,求證可逆.2. 設(shè)(為整數(shù)), 求證可逆.3.設(shè)為實(shí)數(shù),且如果,如果方陣滿足,求證是非奇異陣.4. 設(shè)階方陣與中有一個(gè)是非奇異的,求證矩陣相似于.5. 證明可逆的對(duì)稱矩陣的逆也是對(duì)稱矩陣.6. 證明兩個(gè)矩陣和的秩小于這兩個(gè)矩陣秩的和.7.證明兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于這兩個(gè)矩陣的秩中較小者.8. 證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴隨矩

10、陣.9.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.10.證明每一個(gè)方陣均可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和。第二章參考答案一：1. a；2. b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. ；10. I；12. 0；11. .三、1.1）、；2）、；3）、；4）、；5）、. 2. 0；3. ；4.； 5.不唯一；6.；7. 1）、. 2)、；8.；9.第三章 向量一、單項(xiàng)選擇題1.

11、 ， 都是四維列向量，且四階行列式,則行列式 2. 設(shè)為階方陣，且,則（ ）。3. 設(shè)為階方陣，則在的個(gè)行向量中（ ）。4. 階方陣可逆的充分必要條件是（ ）5. 維向量組線性無(wú)關(guān)的充分條件是( )都不是零向量中任一向量均不能由其它向量線性表示中任意兩個(gè)向量都不成比例中有一個(gè)部分組線性無(wú)關(guān)6. 維向量組線性相關(guān)的充要條件是( ) 中至少有一個(gè)零向量中至少有兩個(gè)向量成比例中任意兩個(gè)向量不成比例中至少有一向量可由其它向量線性表示7. 維向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是( )使得中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)中存在一個(gè)向量,它不能被其余向量線性表示中任一部分組線性無(wú)關(guān)8. 設(shè)向量組的秩為,則( ) 中至少有一個(gè)

12、由個(gè)向量組成的部分組線性無(wú)關(guān)中存在由個(gè)向量組成的部分組線性無(wú)關(guān)中由個(gè)向量組成的部分組都線性無(wú)關(guān)中個(gè)數(shù)小于的任意部分組都線性無(wú)關(guān)9. 設(shè)均為維向量,那么下列結(jié)論正確的是( )若,則線性相關(guān)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù),都有,則線性無(wú)關(guān)若線性相關(guān),則對(duì)任意不全為零的數(shù),都有若,則線性無(wú)關(guān)10. 已知向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組（ ）線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)11. 若向量可被向量組線性表示，則（ ）存在一組不全為零的數(shù)使得存在一組全為零的數(shù)使得存在一組數(shù)使得對(duì)的表達(dá)式唯一12. 下列說(shuō)法正確的是（ ）若有不全為零的數(shù)，使得，則線性無(wú)關(guān)若有不全為零的數(shù)，使得，則線性無(wú)關(guān)若線性相關(guān)，則其中每個(gè)向量均可

13、由其余向量線性表示任何個(gè)維向量必線性相關(guān)13. 設(shè)是向量組，的線性組合，則=（ ） 14. 設(shè)有向量組，則該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組為（ ） 15. 設(shè)，下列正確的是（ ）二、填空題1. 若，線性相關(guān)，則t=。2. n維零向量一定線性關(guān)。3. 向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是。4. 若線性相關(guān)，則線性關(guān)。5. n維單位向量組一定線性。6. 設(shè)向量組的秩為r,則 中任意r個(gè)的向量都是它的極大線性無(wú)關(guān)組。7. 設(shè)向量與正交，則。8. 正交向量組一定線性。9. 若向量組與等價(jià)，則的秩與的秩。10. 若向量組可由向量組線性表示，則。11. 向量組，的線性關(guān)系是。12. 設(shè)n階方陣,則.13. 設(shè)，若是標(biāo)準(zhǔn)正交向

14、量，則x和y的值.14. 兩向量線性相關(guān)的充要條件是.三、計(jì)算題1. 設(shè)，問(wèn)（1）為何值時(shí)，能由唯一地線性表示？（2）為何值時(shí)，能由線性表示，但表達(dá)式不唯一？（3）為何值時(shí)，不能由線性表示？2. 設(shè)，問(wèn)： （1）為何值時(shí)，不能表示為的線性組合？（2）為何值時(shí)，能唯一地表示為的線性組合？3. 求向量組，的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。4. 設(shè)，t為何值時(shí)線性相關(guān)，t為何值時(shí)線性無(wú)關(guān)？5. 將向量組，標(biāo)準(zhǔn)正交化。四、證明題1. 設(shè)，試證線性相關(guān)。2. 設(shè)線性無(wú)關(guān)，證明在n為奇數(shù)時(shí)線性無(wú)關(guān)；在n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān)。3. 設(shè)線性相關(guān)，而線性無(wú)關(guān)，證明能由線性表示且表示式唯一。4

15、. 設(shè)線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，求證不能由線性表示。5. 證明：向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。6. 設(shè)向量組中，并且每一個(gè)都不能由前個(gè)向量線性表示，求證線性無(wú)關(guān)。7. 證明：如果向量組中有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。8.設(shè)是線性無(wú)關(guān)向量組，證明向量組也線性無(wú)關(guān)。第三章向量參考答案一、 單項(xiàng)選擇1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空題 1. 5 2.相關(guān) 3. 4.相關(guān) 5.無(wú)關(guān) 6.線性無(wú)關(guān) 7. -1 8.無(wú)關(guān) 9.相等 10. 11.線性無(wú)關(guān)

16、12. 0 13. 14.對(duì)應(yīng)分量成比例三、解答題 1. 解：設(shè) 則對(duì)應(yīng)方程組為 其系數(shù)行列式（1）當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，所以可由唯一地線性表示;（2）當(dāng)時(shí)，方程組的增廣陣 ， ，方程組有無(wú)窮多解，所以可由線性表示，但表示式不唯一;（3）當(dāng)時(shí)，方程組的增廣陣，方程組無(wú)解，所以不能由線性表示。2.解:以為列構(gòu)造矩陣（1）不能表示為的線性組合；（2）能唯一地表示為的線性組合。3.解：為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且, 4.解：，當(dāng)時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)時(shí)線性無(wú)關(guān)。5.解：先正交化：令 =再單位化：，為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。四、證明題1.證：線性相關(guān)2.證：設(shè)則線性無(wú)關(guān)其系數(shù)行列式=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，只能為零，線性無(wú)關(guān)；當(dāng)n為偶

17、數(shù)時(shí)，可以不全為零，線性相關(guān)。3.證：線性相關(guān) 存在不全為零的數(shù)使得若，則，（）與線性無(wú)關(guān)矛盾所以 于是 能由線性表示。設(shè) 則-得線性無(wú)關(guān) 即表示法唯一4.證：假設(shè)能由線性表示線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)，線性表示， 能由線性表示，從而線性相關(guān)，矛盾不能由線性表示。5.證：必要性 設(shè)向量組線性相關(guān) 則存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)，則， 即至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。充分性設(shè)向量組中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合不妨設(shè)則，所以線性相關(guān)。6.證：用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)s=1時(shí)，線性無(wú)關(guān)， 當(dāng)s=2時(shí)，不能由線性表示，線性無(wú)關(guān)， 設(shè)s=i-1時(shí)，線性無(wú)關(guān) 則s=i時(shí)，假設(shè)線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)， 可由

18、線性表示，矛盾，所以線性無(wú)關(guān)。得證7.證：若向量組中有一部分組線性相關(guān)，不妨設(shè)（r<s） 線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得于是因?yàn)?，0不全為零所以線性相關(guān)。8.證：設(shè)則 因線性無(wú)關(guān)，所以解得所以向量組線性無(wú)關(guān)。第四章 線性方程組一、單項(xiàng)選擇題1設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是（ ）(A) (B) (C) (D) 2設(shè)是矩陣，則線性方程組有無(wú)窮解的充要條件是（ ） (A) (B) (C) (D) 3設(shè)是矩陣，非齊次線性方程組的導(dǎo)出組為，若，則（ ） (A) 必有無(wú)窮多解 (B) 必有唯一解 (C) 必有非零解 (D) 必有唯一解4方程組無(wú)解的充分條件是（ ）

19、(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45方程組有唯一解的充分條件是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46方程組有無(wú)窮解的充分條件是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 47 已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，是導(dǎo)出組的基本解系，為任意常數(shù)，則的通解是（ ）(A) (B) (C) (D) 8設(shè)為矩陣，則下列結(jié)論正確的是（ ）(A) 若僅有零解 ，則有唯一解 (B) 若有非零解 ，則有無(wú)窮多解 (C) 若有無(wú)窮多解 ，則僅有零解 (D) 若有無(wú)窮多解 ，則有非零解9設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件為（ ）(A) 的列向量線性無(wú)關(guān) (B) 的列向量線

20、性相關(guān) (C) 的行向量線性無(wú)關(guān) (D) 的行向量線性相關(guān)10線性方程組 （ ）(A) 無(wú)解 (B) 有唯一解 (C) 有無(wú)窮多解 (D) 其導(dǎo)出組只有零解二、填空題1. 設(shè)為100階矩陣，且對(duì)任意100維的非零列向量，均有，則的秩為 .2. 線性方程組僅有零解的充分必要條件是 .3. 設(shè)和均為非齊次線性方程組的解（為常數(shù)），則 .4. 若線性方程組的導(dǎo)出組與有相同的基礎(chǔ)解系，則 .5. 若線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則其增廣矩陣的秩為 .6. 設(shè)矩陣的秩為，則的解向量組的秩為 .7. 如果階方陣的各行元素之和均為，且，則線性方程組的通解為 .8. 若元齊次線性方程組有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則

21、.9. 設(shè)，若齊次線性方程組只有零解，則 .10. 設(shè)，若線性方程組無(wú)解，則 .11. 階方陣，對(duì)于，若每個(gè)維向量都是解，則 .12. 設(shè)矩陣的秩為，是非齊次線性方程組的三個(gè)不同的解向量，若，則的通解為 .13. 設(shè)為矩陣，則有 個(gè)解，有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.三、計(jì)算題1. 已知是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，問(wèn)是否是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系？為什么？2. 設(shè)，已知的行向量都是線性方程組的解，試問(wèn)的四個(gè)行向量能否構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？為什么？3. 設(shè)四元齊次線性方程組為 （）：1）求（）的一個(gè)基礎(chǔ)解系2）如果是某齊次線性方程組（II）的通解，問(wèn)方程組（）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全

22、部非零公共解；若無(wú)，說(shuō)明理由。4. 問(wèn)為何值時(shí)，下列方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮解？在有解時(shí)求出全部解（用基礎(chǔ)解系表示全部解）。1） 2）5. 求一個(gè)非齊次線性方程組，使它的全部解為 6. 設(shè)，求一個(gè)矩陣，使得，且。參考答案一、單項(xiàng)選擇題 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C二、填空題 1.100 2. 3.1 4. 5. 6. 7 7. （為任意實(shí)數(shù)） 8.0 9. 10. 11. 012. 13.無(wú)窮，三、計(jì)算題1. 是 2. 不能 3. 1） 2）4. 1）當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)有唯一解：；當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解：2）當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)有唯一解：；當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多

23、解：5. 6. 第五章 特征值與特征向量一、單項(xiàng)選擇題1. 設(shè),則的特征值是( )。(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 設(shè),則的特征值是( )。(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 設(shè)為階方陣, ,則( )。(a) (b) 的特征根都是1 (c) (d) 一定是對(duì)稱陣4. 若分別是方陣的兩個(gè)不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,則也是的特征向量的充分條件是( )。(a) (b) (c) (d) 5. 若階方陣的特征值相同,則( )。(a) (b) (c) 與相似 (d) 與合同6. 設(shè)為階可逆矩陣, 是

24、的特征值,則的特征根之一是( )。(a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)2是非奇異陣的一個(gè)特征值,則至少有一個(gè)特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/48. 設(shè)階方陣的每一行元素之和均為,則有一特征值為( )。(a)a (b)2a (c)2a+1 (d) +19. 矩陣A的屬于不同特征值的特征向量（ ）。(a)線性相關(guān) (b)線性無(wú)關(guān) (c)兩兩相交 (d)其和仍是特征向量10. 是階矩陣與相似的( )。(a)充要條件 (b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件 (d)既不充分也不必要條件11. 階方陣有個(gè)不同的特征根是與對(duì)角陣相似的( )。(a)充要

25、條件 (b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件 (d)既不充分也不必要條件12. 設(shè)矩陣與相似,則的值分別為( )。(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,113. 設(shè)為相似的階方陣,則( )。(a)存在非奇異陣,使 (b)存在對(duì)角陣,使與都相似于(c)存在非奇異陣,使 (d)與有相同的特征向量14. 若階方陣與某對(duì)角陣相似,則( )。(a) (b) 有個(gè)不同的特征值(c) 有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 (d) 必為對(duì)稱陣15. 若相似于,則( )。(a) (b) (c) 及與同一對(duì)角陣相似 (d) 和有相同的伴隨矩陣16. 設(shè),則與相似的矩陣是( )。(a) (b) (c)

26、 (d) 17. 下列說(shuō)法不妥的是 （ ）(a)因?yàn)樘卣飨蛄渴欠橇阆蛄?，所以它所?duì)應(yīng)的特征向量非零(b)屬于一個(gè)特征值的向量也許只有一個(gè) (c)一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值 (d)特征值為零的矩陣未必是零矩陣18. 若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 （ ）(a) (b) (c) 存在可逆矩陣，使 (d) 二、填空題1. n階零矩陣的全部特征值為_(kāi)。2. 設(shè)為n階方陣，且，則的全部特征值為_(kāi)。3. 設(shè)為n階方陣，且(m是自然數(shù))，則的特征值為_(kāi)。4. 若，則的全部特征值為_(kāi)。5. 若方陣與相似，則_。6. 若n階矩陣有n個(gè)相應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則_。7. 設(shè)三階矩陣的特征值分別為-1,0,2

27、,則行列式 。8. 設(shè)二階矩陣滿足，則的特征值為 。9. 特征值全為1的正交陣必是 陣。10. 若四階矩陣相似，的特征值為，則= 。11. 若，則 ，= 。三、計(jì)算題1. 若階方陣的每一行元素之和都等于,試求的一個(gè)特征值及該特征值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.2. 求非奇異矩陣,使為對(duì)角陣. 1) 2) 3. 已知三階方陣的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為,求矩陣.4. 設(shè)，有一個(gè)特征向量，求的值，并求出對(duì)應(yīng)于的特征值。5. 設(shè)，有一個(gè)特征向量，求的值。6. 設(shè)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，求滿足的條件。7. 求正交陣，使為對(duì)角陣，其中。8. 設(shè)三階矩陣的特征值為-1,2,5，矩陣，求（1）的

28、特征值；（2）可否對(duì)角化，若可對(duì)角化求出與相似的對(duì)角陣；（3）求.9. 已知矩陣與相似，（1） 求；（2） 求一個(gè)滿足的可逆陣。10. 設(shè),求.四、證明題1. 設(shè)是非奇異陣, 是的任一特征根,求證是的一個(gè)特征根,并且關(guān)于的特征向量也是關(guān)于的特征向量.2. 設(shè),求證的特征根只能是.3. 設(shè)階方陣與中有一個(gè)是非奇異的,求證矩陣相似于.4. 證明:相似矩陣具有相同的特征值.5. 設(shè)n階矩陣，如果，證明：-1是的特征值。6. 設(shè)，證明。7. 設(shè)是n階矩陣分別屬于的特征向量，且，證明不是的特征向量。第五章 參考答案一、單項(xiàng)選擇題1.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b 10

29、.c 11.b 12.a 13.a 14.c 15.b 16.b 17.a 18.a二、填空題1.0 2.1,-1 3.0 4.0,1 5.4I 6. 7.7 8.1,2 9.單位 10.24 11.-17,-12三、計(jì)算題1.2.(1) (2)3.4. 5. 6.7.8.(1)-4,2,-10 (2), (3)89.（1）（2）特征值2,2,6；10.四. 證明題 (略)第六章 二次型一、單項(xiàng)選擇題1階對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件是（ ）。 存在階陣C，使負(fù)慣性指數(shù)為零 各階順序主子式為正2設(shè)為n階方陣，則下列結(jié)論正確的是（ ）。A必與一對(duì)角陣合同 若A的所有順序主子式為正，則A正定若A與正定

30、陣B合同，則A正定 若A與一對(duì)角陣相似，則A必與一對(duì)角陣合同3設(shè)A為正定矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（ ）。A可逆 正定A的所有元素為正 任給4方陣A正定的充要條件是（ ）。A 的各階順序主子式為正； 是正定陣；A的所有特征值均大于零； 是正定陣。5下列為二次型的是（ ）。 6 設(shè)A、B為n階方陣，且則A=B的充要條件是（ ）。 ，7 正定二次型的矩陣為A，則( )必成立. A的所有順序主子式為非負(fù)數(shù) A的所有特征值為非負(fù)數(shù) A的所有順序主子式大于零 A的所有特征值互不相同8設(shè)A，B為n階矩陣，若( )，則A與B合同. 存在n階可逆矩陣且 存在n階可逆矩陣，且 存在n階正交矩陣，且 存在n階方陣

31、，且9下列矩陣中，不是二次型矩陣的為（ ）. 10下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） 11已知A是一個(gè)三階實(shí)對(duì)稱且正定的矩陣，那么A的特征值可能是（ ） 3，i, 1; 2, 1, 3; 2, i, 4; 1, 3, 4二、填空題1. 二次型的秩為 。 2二次型的矩陣為 。3 設(shè)，則二次型的矩陣為 。4若正定，則t的取值范圍是 。5設(shè)A為n階負(fù)定矩陣，則對(duì)任何均有 。6任何一個(gè)二次型的矩陣都能與一個(gè)對(duì)角陣 。7設(shè)是正定矩陣，則滿足條件 。 8設(shè)實(shí)二次型則當(dāng)?shù)娜≈禐開(kāi) 時(shí)，二次型是正定的。9二次型的負(fù)慣性指數(shù)是_。10二次型的矩陣為 。三、計(jì)算題1. 求一個(gè)非退化的線性變換，將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。

32、1）2） 2設(shè)，求非奇異矩陣C，使。3用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的滿秩線性變換4求非奇異矩陣P，使為對(duì)角陣. 四、證明題1. 已知二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，且的第3列為.()求矩陣A ； （II）證明為正定矩陣，其中為3階單位矩陣.2設(shè)A、B為同階正定矩陣，求證也是正定矩陣。3設(shè)A, B是同階正定矩陣，試證AB也是正定矩陣。第六章 參考答案一、單項(xiàng)選擇題1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、填空題1. 3 2 3 ， 45 6合同7891 10三、計(jì)算題1 1）2） 2 ，3解：令 即則：令 即即使4 四、證明題1 解：由題意A的特征值為1,1,0.且為特征值0的特

33、征血量 所以1的特征向量若為時(shí)有 解方程即得Q的前2列為，第二部分 歷年期末試題山 西 財(cái) 經(jīng) 大 學(xué)20062007學(xué)年第二學(xué)期期末 2007級(jí)線性代數(shù) 課程試卷（A）題 號(hào)一二三四五總分分 數(shù)評(píng)卷人復(fù)核人 1、本卷考試形式為閉卷，考試時(shí)間為兩小時(shí)。2、考生不得將裝訂成冊(cè)的試卷拆散，不得將試卷或答題卡帶出考場(chǎng)。3、考生只允許在密封線以外答題，答在密封線以內(nèi)的將不予評(píng)分。4、考生答題時(shí)一律使用藍(lán)色、黑色鋼筆或圓珠筆（制圖、制表等除外）。5、考生禁止攜帶手機(jī)、耳麥等通訊器材。否則，視為為作弊。6、不可以使用普通計(jì)算器等計(jì)算工具。一、單項(xiàng)選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）二、填空題（共10小

34、題，每題2分，共計(jì)20分）三、計(jì)算題（一）（共4小題，每題8分，共計(jì)32分）四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10分，共計(jì)30分）五、證明題（共2小題，每題4分，共計(jì)8分）本題得分 一、單項(xiàng)選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）答題要求：（每題只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)填在題后的括號(hào)內(nèi)，錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分）1、 設(shè)n階方陣等價(jià)，則必有 （ ） (A) 當(dāng) (B) 當(dāng) (C) 當(dāng) (D) 當(dāng)2、設(shè)為同階可逆矩陣，則 （ ） (A) 矩陣與等價(jià) (B) 矩陣與相似(C) 矩陣與合同 (D) 矩陣與可交換3、向量組：；可由向量組：線性表示，則（ ） (A) 當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān) (B

35、) 當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān) (C) 當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān) (D) 當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān)4、已知和是非奇次線性方程組的兩個(gè)不同的解，是對(duì)應(yīng)導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則方程組的通解（一般解）為（ ） (A) (B) (C) (D) 5、若方陣，則的特征值為 （ ）(A) 1，0，1 (B) 1，1，2 (C) -1，1，2 （D）-1，1，1本題得分二、填空題（共10小題，每題 2分，共計(jì) 20 分）答題要求：將正確答案填寫(xiě)在橫線上1、已知為2維列向量，矩陣，若行列式 。2、設(shè)3階方陣則的逆矩陣= 。3、設(shè)，矩陣滿足，其中為的伴隨矩陣，為三階單位矩陣，則的行列式= 。4、設(shè)是35階矩陣，的

36、秩，而，則 。5、已知四階行列式中第二列元素依次為1，2，3，4，其對(duì)應(yīng)的余子式依次為4，3，2，1，則該行列式的值為 。6、設(shè)三階矩陣，三維列向量，已知線性相關(guān)，則= 。7、設(shè)四階矩陣相似于，的特征值為2，3，4，5，為四階單位矩陣，則行列式 。8、如果10階方陣的各行元素之和均為0，且，則線性方程組的通解為 。9、若方陣與對(duì)角陣相似，且，（m為自然數(shù)），則 。10、若二次型正定，則的所屬區(qū)間為 。本題得分三、計(jì)算題（一）（共4小題，每題8分，共計(jì)32分）答題要求：（請(qǐng)將答案寫(xiě)在指定位置上，解題時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明或計(jì)算步驟）1、解方程2、 求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用該極大無(wú)關(guān)組表示其余的向

37、量。其中，。 3、設(shè)，求的秩。 4、求矩陣，使。其中，。本題得分四、計(jì)算題（二）（共3小題，每題10 分，共30分）答題要求：（請(qǐng)將答案寫(xiě)在指定位置上，解題時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明或計(jì)算步驟）1、已知向量，判斷向量能否由向量組線性表示，若能，寫(xiě)出它的一般表示方式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。2、設(shè)，（1）計(jì)算二次型，寫(xiě)出該二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣； （2）將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，寫(xiě)出所用的可逆線性變換及變換矩陣。3、設(shè)，如果相似，求（1）的值（2）相應(yīng)的正交矩陣。本題得分五、證明題（共2小題，每題4分，共計(jì)8分）答題要求：（請(qǐng)將答案寫(xiě)在指定位置上，并寫(xiě)清證明過(guò)程）1、設(shè)為n階方陣，為n階單位矩陣，且。試證：可逆，并求。

38、2、若向量組線性無(wú)關(guān)，向量組是否線性相關(guān)？說(shuō)明其理由。20082009學(xué)年第二學(xué)期期末 線性代數(shù) 課程試卷（A）本題得分 一、單項(xiàng)選擇題（共5小題，每題2分，共計(jì)10分）答題要求：（每題只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)填在題后的括號(hào)內(nèi)，錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分）1. 行列式 的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 （ ） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D) 42設(shè)為n階非零矩陣，且，則 （ ） (A) (B) (C) (D) 3向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是 （ ） (A) 向量組不含零向量 (B) 向量組中任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān) (C) 向量不能由向量組 線性表出 (D)任一組不全為零的數(shù)，都使4已知四階方

39、陣有特征值0，1，2，3，則方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45n階對(duì)稱陣為正定矩陣的充分必要條件是 （ ）(A) (B) 等價(jià)于單位矩陣 (C) 的特征值都大于0 （D） 存在n階矩陣，使本題得分 二、填空題（共10小題，每題 2分，共計(jì) 20 分）答題要求：將正確答案填寫(xiě)在橫線上1三階行列式的展開(kāi)式中，前面的符號(hào)應(yīng)是 。2設(shè)為中元的代數(shù)余子式，則 。3設(shè)n階矩陣的秩，則的伴隨矩陣的元素之和 。4三階初等矩陣的伴隨矩陣為 。5若非齊次線性方程組有唯一解，則其導(dǎo)出組解的情況是 。6若向量組線性相關(guān)，則向量組 的線性關(guān)系是 。7設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式為，則行列式 。8如果n階方陣的各行元素之和均為2，則矩陣必有特征值 。9設(shè)為正交矩陣，則其逆矩陣 。10二次型的正慣性指數(shù)為 。本題得分三、計(jì)算題（一）（共4小題，每題8分，共計(jì)32分）答題要求：（請(qǐng)將答案寫(xiě)在指定位置上，解題時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明或計(jì)算步驟）1計(jì)算n階行列式：2.設(shè), (1)用初等變換法求；（2）將表