7空間幾何體的表面積、體積及有關量的計算Word版含解析

1、專題限時集訓（七）空間幾何體的表面積、體積及有關量的計算專題通關練（建議用時：30分鐘）1. （2019大連模擬）三棱柱ABC-AiBiCi的體積為6,點M在棱CCi上，則四棱錐M-ABBiAi的體積為（）-7 -A. 4B. iC. 2D.不能確定A V三棱錐ABC-Ai BiCi的體積為6,點M在棱CCi上,四棱錐M-ABBiAi的體積為：VM-ABBiAi = Vj-ABB1A1 = VABC-AiBiCi-VCi-ABC.i 一一 i 一=Vabc-a / 3 XVabca, b1cl = 6 3 >6 = 4.故選 A.2. （2019河北模擬）若某幾何體的三視圖如圖所示，則該

2、幾何體的表面積為6-dA. 240 B, 264 C. 274 D. 282B 幾何體是以俯視圖為底面的五棱柱，底面看作是邊長為6的正 方形與一個直角三角形所組成，如圖：則該幾何體的表面積為：（10+6+6+3+5） >6+2>6X6+3必= 264.故選B.3. 如圖，在棱柱ABC-AiBiCi的側棱AiA和BiB上各有一動點P, Q,滿足AiP= BQ,過P, Q, C三點的截面把棱柱分成兩部分，則具體積之比為 （）A. 3 ： 1B. 2 ： 1C. 4 ： 1D. ,3 ： 1B 將P, Q置于特殊位置：P-A1, Q-B,此時仍滿足條件A1P=BQ（=0）,Vabc-a1

3、b1c1則有Vc-aAB= Vaabc=q .故過P, Q, C三點的截面把棱柱分成的兩部分3的體積之比為2 ： 1（或1 ： 2）.4. （2019南寧一模）已知球的半徑為4,球面被互相垂直的兩個平面所截，得 到的兩個圓的公共弦長為2.2.若球心到這兩個平面的距離相等，則這兩個圓的半 徑之和為（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10B 如圖所示，設兩圓的圓心為。1、。2,球心為O,公共弦 為AB,中點為E,因為圓心到這兩個平面的距離相等，則OO1EO2為正方形，兩圓半徑相等，設兩圓半徑為r, |OO1|=小6r2, |OE|=>/322r2,又|OE|2+|AE|2= |OA|2

4、,即 32 2r2+2=16,則 r2=9, r = 3,所以，這兩個圓的半徑之和為6, 故選B. 24 分別取 BiB, BiCi 的中點 M, N,連接 AiM, MN, AiN, AiM/DiE, AiM?平面 DiAE, DiE?平面 DiAE,.AiM/平 面DiAE.同理可得MN/平面DiAE,又AiM, MN是平面AiMNC 由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去兩個相同的三棱錐后 余下的部分，如圖：直三棱柱的側棱長為8,底面三角形的底邊長為6,底邊上的高為2,消去的 三棱錐的高為2,幾何體的體積 V=2 >6>2 >8-2x3x2>6>2 >2 =

5、 40.故選C6. （2019常州模擬）用一個邊長為2R的正方形卷成一個圓柱的側面，再用一個半徑為R的半圓卷成一個圓錐的側面，則該圓柱與圓錐的體積之比為R設圓錐底面圓的半徑為r,圖為h,則2 7r = tR,r=5R2 = r2+ h2, .h = R,V= ；xXR J 害R= 23 tR3 ; 32224用一個邊長為2R的正方形卷成一個圓柱的側面，圓柱的體積為：冗2R=2R3.7t則該圓柱與圓錐的體積之比為:7.在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是棱CCi的 中點，F(xiàn)是側面BCCiBi內(nèi)（包括邊）的動點，且AiF/平面DiAE, 沿AiF將點Bi所在的幾何體削去，則剩余幾何

6、體的體積為內(nèi)的相交直線，平面AiMN /平面DiAE,由此結合AiF/平面DiAE,可得直線AiF?平面AiMN,即點F的軌跡是線段MN,1111 i VB1-A1MN = §><2 M、節(jié)=24，. 123將點Bi所在的幾何體削去，剩余幾何體的體積為124=24.8 . （2019徐州模擬）已知一張矩形白紙 ABCD, AB=10, AD=10V2, E, F分別為AD, BC的中點，現(xiàn)分別將 AABE, CDF沿BE, DF折起，使A, C重合于點P,則三棱錐P-DEF 的外接球的表面積為.150冗折疊后由于三角形DEF與DPF均為直角三角形,且DF為公共斜邊, 故D

7、F即為外接球直徑，易得 DF = 546,故外接球表面積為47tx261= 150 兀.1 13VC1-PA1B1=3>2>2>i xf3= 3.能力提升練(建議用時：15分鐘)9 .如圖，正三棱柱 ABC-AiBiCi 中 BC = 2, CCi = 2,點 P 在平面 ABBiAi 中，且 FAi=PBi=42(1)求證：PCiXAB;(2)求三棱錐P-AiBiC的體積.解(1)證明：設AiBi的中點為D,連接PD與DCi,. FAi = PBi, a PDXAiBi,同理 DCiXAiBi,又 PDADCi = D, . A1B1,平面 PDCi, .,.AiBiXPC

8、i.X . AB/A1B1, . . PCiXAB;(2).2AiBiCi為正三角形，邊長為2, PAi=PBi.一 VP-AiBiC = VC-PAiBi 二10.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，四邊形ABCD是邊產(chǎn)長為8的菱形，/ BAD = 60°, 4PBD是等邊三角形，。為BD 的中點，cos/ POC=1.(1)求證：BDXPC;'"(2)求四棱錐P-ABCD的體積.解(1)證明：V四邊形ABCD是菱形，.二BD XAC,且AC與BD互相平分,又PB=PD,。為 BD 的中點，. . BDLPO,又 POAAC=O, . .BD，平面 PAC,PC?平面

9、 FAC,. BDXPC;過點P作PEXOC,交點為E,v BDL平面 PAC,. BDXPE,又. OCnBD = O,PEL平面 ABCD,/BAD = 60°,.ABD與APED都是邊長為8的等邊三角形，.OP=4>/3,. cos/ POE=：, . sin/POE= 貝 PE= . 3331 1_S四邊形ABCD = 2 XAC XBD = 2 X8 >8/3= 32/3,x/ 118_J 256 2VP-ABCD = >PEXS 四邊形 ABCD= WMZUSX-Q每日押題題號內(nèi)容押題依據(jù)1數(shù)學文化、四面體的內(nèi)切球、數(shù)值問題球的體積問題是高考熱點之一，常

10、結合錐體、柱體綜合考 查內(nèi)切球、外接球的性質(zhì).本題以數(shù)學文化為背景考查了 四間體的內(nèi)切球問題；考查考生的直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)2四棱錐的體積，線向平行的判定本題突破常規(guī)，以水平放置的四棱錐為載體,考查線面平 行的證明和求四棱錐的體積，滲透直觀想象和邏輯推理等 核心素養(yǎng)【押題11 我國古代數(shù)學名著九章算術中，將四個面都為直角三角形的 四面體稱為鱉月需.在封閉的鱉月需P-ABC內(nèi)有一個體積為V的球，若PA，平面ABC, ABXBC, PA=AB=BC=1,則 V 的最大值是()A 572 + 3B 5jrC.5V2-767tD.32幾 3C 球與三棱錐的四個面均相切時球的體積最大 ，設此時球

11、的半徑為 R,則V三棱錐p-ABC=m R (Sa abc + Sa pab+ Sa pac+SPbc), 3即1 gMMX1=1XRXgxi M + 2m M+2xi 班 + 2>1 i:,解得 R：2 1.所以球白體積V的最大值為34J1 J = 1二 又 AD = 3CE, AD/ CE,所以 FG = AD,且 FG/AD. 所以四邊形ADFG是平行四邊形，所以DF/AG. 又DF?平面ABC, AG?平面ABC,所以DF /平面ABC. 2_ (2)因為 AB= AC=AD=mCE, AB = 2,所以 AD = AC = 2, CE = 3.3冗故選C.【押題2】 如圖，在四

12、棱錐B-ACED中，ADL平面ABC, ABXAC, AD / CE,_ 2 一AB=AC=AD=£CE, F 是 BE 上一點，且潴足 BF = 2FE.3(1)證明：DF/平面ABC;(2)若AB= 2,求四棱錐F-ACED的體積.解(1)證明：在線段BC上取一點G,使BG = 2GC, 連接AG, FG(圖略).因為 BF = 2FE, BG = 2GC,所以BF = BG = 2,所以 FG/CE 且 FG =2CE. FE GC3因為AD，平面ABC,所以ADXAB,AD LAC.又AD/CE,且AD七E,所以四邊形ACED是直角梯形.所以S 梯形ACED 二AD+CE >AC2+3 >2=5.因為 ABLAC, ADXAB, ACAAD = A,所以 ABL平面 ACED,所以點B到平面ACED的距離為AB = 2,因為BF = 2FE,所以FE 1=BE 3'12所以點F到平面ACED的距離d=-AB=- 33所以V 四棱錐F-ACED =12 103s 梯形