2020高考浙江專用培優(yōu)二輪：專題3第3講數(shù)列不等式的證明問題(選用)

1、第3講 數(shù)列不等式的證明問題(選用)2.主要考查數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、反證高考定位 1.數(shù)列中不等式的證明是浙江高考數(shù)學(xué)試題的壓軸題;法等數(shù)列不等式的證明方法，以及不等式的性質(zhì);3.重點考查學(xué)生邏輯推理能力和創(chuàng)新意識明考向抬要點真題感悟考點整合真題感悟 _.，、一，一 .、一 _ *(2017 浙江卷)已知數(shù)列Xn滿足：X1=1, Xn=Xn+1+ln(1 +Xn+1)(n C N).證明：當(dāng)nC N*時, (1)0 VXn+1Xn；XnXn + 1(2)2x n+1 XnW2； (3) 2n- 1 W X nW 2n2.證明 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：Xn0.當(dāng) n= 1 時，X1= 1 0.假

2、設(shè)n = k(k 1, kC N)時，Xk0,那么因此n=k+1 時，若 Xk+1W0,則 0VXk= Xk+1 + ln(1 +Xk+1)W0,矛盾，故 Xk+10,Xn0(n C N).所以Xn= Xn+ 1+ ln(1 + Xn+1) Xn+1,因此0 V Xn+1 V Xn(X C N).(2)由 Xn = Xn + 1 + ln(1 + Xn+ 1)得,XnXn + 1 - 4Xn+ 1 + 2Xn= Xn+ 1 - 2Xn+ 1 + (X n + 1 + 2)ln(1 + Xn+ 1).記函數(shù) f(X) = X22x+(x + 2)ln(1 +x)(x 0).2X2+ x/、f (

3、x)=丁+ ln (1+x) 0(x 0), x+ 1函數(shù)f(x)在0 , +8)上單調(diào)遞增，所以 f(x) f(0) = 0,因此 X2+1 2Xn + 1+ (X n+1 + 2)ln(1+Xn+1)=f(X n+1) 0,故 2Xn+1XnWXnXn+12-(n e N).(3)因為 Xn=Xn+1 + ln(1 + Xn+1) Wx n + 1 + Xn + 1 = 2Xn+1,所以 Xn Xn-1 Xn-2 T1X1 = 2T1.,XnXn+1由-2- 2x n+ 1_ 11XnK 22Xn 20,所以12廣1)2 r2故 XnW ?n 2.綜上, 2干-1 w x nW 2n2(n

4、 C N ).考點整合1 .數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù) n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0C N)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k n 0, kC N)時命題成立，證明當(dāng) n= k+ 1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n。開始的所有正整數(shù) n都成立.2 .反證法一般地，由證明Iq轉(zhuǎn)向證明：稅Q1 J t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定稅 假，推出q為真的方法，叫做反證法.3 .放縮法CB即放縮法是利用不等式的傳遞性，證明不等式的方法，要證 A0 且 aw1, nCN).證明：當(dāng)n2時，anan+1,(1_b)+

5、 1 時，ak+b.證明an+ 1 =2an2 , /an+ 1知,an與a1的符號相同,而 a1= a0,所以 an0,所以 an+1=1=1,當(dāng)且僅當(dāng)an= 1 時，an+1=1,andan卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 因為a0且awl,所以321,a32a = 才十 產(chǎn), 即有 a2a32, kCN)時，有akak+i1,2ak+12 一貝U ak+2= -2 -1, 即 ak+1ak+22,均有anan+ib,則由(1)知當(dāng)k2時,若akb,因為0Vxak+1akb;(1 +x) n= 1+Cx + cSxn1 + nx,而 ak+ 1b1 2+ 1b+ 1,且 a2a3 - akba2-1

6、a 2因為k(b a2) ( b+ 1)a2 (1 b)+ 1,、，1 一 b所以節(jié)(k-1)+1a2a2所以 a k+1b.探究提高 數(shù)學(xué)歸納法是解決和正整數(shù)有關(guān)命題的證明方法，可以借助遞推公式，證明由特殊到一般的結(jié)論成立問題.因此，可以在數(shù)列不等式的證明中大顯身手.在本例中，(1)首先根據(jù)條件等式的結(jié)構(gòu)特征推出an0,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；(2)首先由(1)知當(dāng)k2時，1a+1akRb,然后利用數(shù)列的遞推公式證明即可.熱點二反證法證明數(shù)列不等式例2 (2018 溫州調(diào)考)已知數(shù)列an滿足：an0, an+1+,2(n C N).an 、(1)求證:*、3n + 2an+11(n C N

7、).證明1由 an0 , an+ 1 2, an ，得 an+12a2.所以 an+2an+2 +由知 an+ 1 w a n+ 2),*(2)法一 假設(shè)存在 aN1, NC N),由(1)可得當(dāng) nN時，anWN+i1.1根據(jù) an+111 anan0,而 an1 +1aN+ n-1 111累加可得 -n- 1 +-.(*)aN+n 1aN+1 1由假設(shè)可得aN+n1-+1時，顯然有 n-1 +-0,aN+1 1aN+1 1因此有1,171(n N).法二 假設(shè)存在aN1, NC N),由(1)可得當(dāng) nN 時，0ana n+11.根據(jù) an+111 =0 ,而 an1 ,ananan所以

8、rv 1 1 11 an an aN+11 an 1(1 an 2)1 - aN+ 2(1 - aN+1)是 1 an(1 an 1)1aN+11aN+1累乘可得 1 an(1 aN+1)由(1)可得 1 anlog aN+1一 N 11 ，這顯然與(*)矛盾.所以 an1(n N*).探究提高 數(shù)列不等式需要對數(shù)列的范圍及變化趨勢進(jìn)行探究，而條件又少，因此，反證法就成為解決這類問題的利器.在本仞中，(1)首先根據(jù)已知不等式由an+K2-42證明不等式的右邊， 再根據(jù)已知不等式國利用基本不等式，可證明不等式的左邊；(2)考慮反證法，即假設(shè)存在aNt+L )+2，身1 .6一52-3n2-3L

9、、X11另一方面 an =”1 i3n所以 Sn= ai + a2+a3+ an2* * 23*24* * Zn 5+13+ 3 + 0尸 + 3.146 8 8 2 2 46 8 21= 65+99.(3/65+ 9而，心3,2 2146 21一-21,因此 Snan ；(3)設(shè)數(shù)列證明(2)證明: i11的前n項和為S,求證：1日丁門力.an3 . 2an+1 2an= an 4an + 4= (an 2) 0, . an+1 a n 3 ) (a n 2) 0, an+1an.2(2) . 2an+1 4 = 3n 2an= an(a n 2)an+1 2 an 3 =一an-22 23

10、-22 -23計12(a 12)3 nT2 . an 2+13-2(3) . 2(a n+i 2) = an(a n 2),1 12 ( an+1 2)an (an2)2 an 2 an111an an2an+1 - 21.11an +1 2 an 2C 11 Sn= + + +a1a21anan7 -+ + -a1 1 2 a2 2 a22 a32an2 a+1 2a1 2an +1 21 =1 -an+1 210-2 n1(|a i| -2) , nC N;(2)若 |an| w ； , nC N,證明：|an|2n1(|a 1| -2). *(2)任取nC N,由(1)知，對于任意 mn

11、,|a n|2na n|0|a n+1|on+12a n+ 1|2門+1|a m|112m 6 5 + 2n+1 +2n-T，故 |a n| V3 m 從而對于任意 m n,均有|an| 2+ 7 j 2n.4由m的任意性得|a n| 2 ,取正整數(shù)Tog;上且加.兒,口與式矛盾.綜上，對于任意n N ,均有|a n| 2.2.（2018 學(xué)軍中學(xué)月考）已知數(shù)列an滿足，a1=1, an=-1. an+ 12求證:2a n 1 ；3(2)求證:， ，一 1|a n+ 1 an| W3求證:101a 2n an| 1, kC N*)時，有.WakWl成立,3I一11則當(dāng) n=k+ 1 時，ak+

12、1 =1 212時，;an +,12 r1an 十 萬)1.=1 + an . |a n+ 1 an| =11an+2an-1 + 2|a n一 an-1 |綜上所述，|a n+1 an| 2時，由(2)知|a 2n an| w |a 2n a2n 1| + |a 2n 1 a2n2 | + |a n+ 1 an|W 廬 | =郵an3.(2018 .浙東北大聯(lián)盟考試)已知數(shù)列滿足3=2, ny * 證明：當(dāng)nC N時,310向前n項和為S.綜上所述，|a 2n an| W 27.(1)0a n+1an；(2)a一 nnn2. 2 an證明 (1) 由于 an+1- an= W0n (n+ 1

13、)則 an+ 1 w a n.若 an+ 1 = an, 則1-an一 0,與 a1 一 2矛盾 ,故 anW。,從而 an+1a2a3an.an+1an1又= 1 - n (n+1)，-2n (n+ 1) 0,則an+ 1與an同號.-1 .又 a1 = 20,則 an+10,故 0an+1an.(2)由于 0an+1an,anan+1T.an+1an n n+1當(dāng)n時,工=一工工Q工+匕；+工，+1/+二=3二=ann an 1/1an2 /2a、/a1n 1 n n 2n 12 a1 n3n- 1n0,從而an1- -ar- an n (n+ 1)n (n+1)1 11，一一= 1-2-

14、n71，（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，取等號）,a2 a3an+11n a1a2an i 2,一 一、4 一 一一 、, * 一*4.（2017 杭州質(zhì)量檢測）已知數(shù)列an的各項均為非負(fù)數(shù)，其前n項和為Sn,且對任意的nCN,者B有a +an+ an+ 2若ai = i, a505 = 2 017 ,求a6的最大值;(2)*，一， 一2若對任意 nCN,都有 $wi,求證：0W& n-an+i,.解由題息知an+1 anWg,n + 2 an+1,設(shè) di = ai + iai(i =1,2,，504),504,且 di + d2+d3+ d504= a505一ai = 2 016.di + d2+ + d5 d6+d7+ d504 54992 016 (di+d2+ d5)499 .di + d2+ d520,a6= ai + (d 1+d2+ d5) 21, a6 的最大值為 21.*(2)證明 右存在kC N ,使得aka k+ak+1 + +3n(n k + 1)a k.對于固定的k,當(dāng)n足夠大時，必有*v bk= akak+ i(k N N),ai+a2+ ani,與題設(shè)矛盾,，an不可能遞增，即只能