冪函數(shù)經(jīng)典例題(答案)

1、實用標準文檔幕函數(shù)的概念例1、下列結論中，正確的是()A.幕函數(shù)的圖象都通過點(0,0), (1,1)B.幕函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限 , 一.1 ,C,當?shù)踔笖?shù)a取1,3, 2時，號函數(shù)y= x"是增函數(shù)D.當事指數(shù) 后1時，幕函數(shù)v= X”在定義域上是減函數(shù)解析 當事指數(shù)a= 1時，幕函數(shù)y=x的圖象不通過原點，故選項A不 正確；因為所有的幕函數(shù)在區(qū)間(0, +00)上都有定義，且y= xa (aC R), y>0, 所以幕函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故選項B不正確；而當a= 1時，y= x”在區(qū)間(°°, 0)和(0, +oo)上是減函數(shù)，但它在

2、定義域上不是減函數(shù).答案 C1例2、已知號函數(shù)f(x) = (t3t+1)x(7 + 3t 2t2) (tC Z)是偶函數(shù)且在(0, +8)上 5為增函數(shù)，求實數(shù)t的值.分析 關于幕函數(shù)y=x"(/R,林0)的奇偶性問題，設p (|p|、|q|互質)， q當q為偶數(shù)時，p必為奇數(shù)，y=xp是非奇非偶函數(shù)；當q是奇數(shù)時，y=xp的奇 qq偶性與p的值相對應.解 ”)是幕函數(shù)，.t31+1 = 1, .t= 1,1 或 0.當t=0時，f(x) = x5是奇函數(shù)；，2ie一,當t= 1時，f(x)=x£是偶函數(shù)；5當t=1時，f(x) = x8是偶函數(shù)，且2和8都大于0, 55

3、 5在(0, 十°°)上為增函數(shù).故 t= 1 且 f(x) = x8或 t= 1 且 f(x) = x2. 55點評 如果題中有參數(shù)出現(xiàn)，一定要注意對參數(shù)的分類討論，尤其對題中的條件 tez給予足夠的重視.例3、如圖是幕函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A. -1<n<0<m<1 m>1 解析 在(0,1)內(nèi)取同一值xo,作直線x= 大”.如圖，0<m<1, n<1.1<n<0, m>1 D. n<1,xo,與各圖象有交點，則 “點低指數(shù)答案 BOO點評 在區(qū)間(0,1)上，幕函數(shù)的指數(shù)

4、越大，圖象越靠近 x軸；在區(qū)間(1, 十 )上，幕函數(shù)的指數(shù)感大，圖象越遠離 x軸.例4、已知x作出函數(shù)y=x2和y=x3的圖象(如右圖所示)，易得x<0或x>1.例 5、函數(shù) f(x) = (m2 m1)xm2+m3 是幕函數(shù)，且當 x (0, 十 °°)時，f(x)是 增函數(shù)，求f(x)的解析式.分析解答本題可嚴格根據(jù)幕函數(shù)的定義形式列方程求出m,再由單調(diào)性確定m.解 根據(jù)幕函數(shù)定義得m2 m 1 = 1,解得 m=2 或 m= 1, 當m= 2時，f(x) = x3在(0, +8)上是增函數(shù)；>x3,求x的取值范圍.錯解 由于x2>0, xgC

5、 R,則由x2>x1-,可得x R.錯因分析上述錯解原因是沒有掌握幕函數(shù)的圖象特征，尤其是y = x"在0>1和0< 0<1兩種情況下圖象的分布.正解1變式已知y= (m? + 2m-2)xm2_1 + 2n 3是吊函數(shù)，求 m, n的值.2，m +2m2=1解由題意得m21*0,l2n 3 = 0m= - 3解得33,n = 23所以 m= 3, n = 2.例6、比較下列各組中兩個數(shù)的大?。?322(1) 1.55, 1.75; (2) 0.71.5, Of： (3) (-1.2)月(-1.25) 3.3解析：(1)考查幕函數(shù)y=x5的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)

6、函數(shù)單調(diào)遞增, 33, - 1.5 <1.7 ,1.55 < 1.75 ,3(2)考查幕函數(shù)y=x2的單調(diào)性，同理0.7 1.5 >0.6 1.5.2.( 1.2) 3(3)先將負指數(shù)幕化為正指數(shù)幕可知它是偶函數(shù)，:22222(-1.2) 3 = 1.23, (-1.25) 3 =1.25 3,又 1.2 3>1.25 32>1.25 3點評：比較幕形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：(1)若能化為同指數(shù)，則用幕函數(shù)的單調(diào)性；(2)若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(3)若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作 為橋梁來比較大小.例7、比較下

7、列各組數(shù)的大小3-2與3.1-5；一8 一7與一露分析 比較大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性， 當不便利用單調(diào)性時，可用 0與1去比較，這種方法叫“搭橋”法.5 .解 (1)函數(shù)y=x 2在(0, 十0°)上為減函數(shù)，55又 3<3.1,所以 32>3.12.(2)87=照 函數(shù)y=在(0, +8)上為增函數(shù),又8>9則設閱78'從而一 8 q< 8點評 比較大小的題，要綜合考慮函數(shù)的性質，特別是單調(diào)性的應用，更善 于運用“搭橋”法進行分組，常數(shù)0和1是常用的參數(shù).變式比較下列各組數(shù)的大?。? r 2與6)- 223.2(2)4.15,(T.9)3與 3

8、.8 §.解(2)-2=修)3, (6,2=(6)-2,一， 2, 一 2 九:函數(shù)y=x 3在(0, +00)上為減函數(shù)，又 =3>6, .2 2； 2酋 2Vm 2a 2 一，3廠36 廠3<6 !- 3 C63.1-/1OV3一 592 2,22 A(45>15=1Q<3.8 3<1 3=1322所以(一1.9)5<3.8 3<(4.1)5.例8、已知幕函數(shù)y= x3m 9 (m N*)的圖象關于y軸對稱，且在(0, +)上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足(a+1) 9<(3 2a)£的a的范圍.33解 V函數(shù)在(0 ,

9、+ °°)上遞減， .3m 9<0,解得 m<3,又 mC N , m= 1,2.又函數(shù)圖象關于y軸對稱，3m 9為偶數(shù)，故m=1,.11. .有(a+ 1)-o<(3-2a)-. 33一1，又X鼻在(一8, 0), (0, +OO)上均遞減，3. a+ 1>3 2a>0 或 0>a+ 1>3-2a或 a+ 1<0<3-2a,解得2<a<3或 a<1. 32點評(1)解決與幕函數(shù)有關的綜合題時，一定要考慮幕函數(shù)的定義.(2)幕函數(shù)y=x",由于a的值不同，單調(diào)性和奇偶性也就不同.變式 已知幕函

10、數(shù)y= xm - 2mi- 3 (mCZ )的圖象與x軸、y軸都無公共點， 且關于y軸對稱，求m的值，且畫出它而圖象.解 由已知，得 m2-2m-3<0, 一 10m& 3.又. me Z, . .m=1,0,1,2,3,當m=0或m=2時，y= x 3為奇函數(shù)，其圖象不關于y軸對稱，不符合題 息.當m= 1或m=3時，有y=x0,其圖象如圖所示.當m= 1時，y=x 4,其圖象如圖所示.練習一、選擇題1 .下列命題：幕函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1,1）和點（0,0）;幕函數(shù)的圖象不可能在第四象In = 0時，y=xn的圖象是一條直線；幕函數(shù) y= xn,當n>0時，是增函幕函數(shù)

11、y=xn,當n<0時，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小.其中正確的是（）A.和 B.和 C.和 D.和答案 D2 .下列函數(shù)中，不是幕函數(shù)的是（）A. y=2xB. y=x 1 C. y = /xD. y= x2答案 A3 .設延2, 1, 1, 1, 1 1, 2, 3r,則使f（x） = x"為奇函數(shù)且在（0,2 3 2+ oo）內(nèi)單調(diào)遞疝的a值的個數(shù)是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案 A4.當xC (1, +8)時，下列函數(shù)圖象恒在直線 y=x下方的偶函數(shù)是().1_2_2_1A. y=x2 B. y= xC. y= x D. y=x答案 B是（5 .如

12、果幕函數(shù)y= (m2 3m+3) xm2m2的圖象不過原點，則 m的取值 )答案解析由已知A. 1 <m< 2B , m= 1mi= 2C, m=2D, m= 1 m2 3m+ 3= 12m m 2 0 0m= 1 或 m=2.6 .在函數(shù)y=2, y=2x2, y=x2+x, y=1 (x*0)中幕函數(shù)的個數(shù)為()xA. 1B. 0C. 2D. 3答案 C解析依據(jù)幕函數(shù)的定義判定，應選C.7.幕函數(shù)f（x）的圖象過點%, 2 ；,那么f（8）的值為（）A. 2gB. 64 C.乎 D.614答案 C解析 設f(x) = x" (a為常數(shù))，將3，2 j點代入得2 = 4

13、",后g, f(x) = x112-2，. f(8) = 8-2=4.8.下列函數(shù)中，值域為0, +8)的函數(shù)是()A. y= 2xB. y= x2C. y=x 2 D. y= logax (a>0,且 a*1)答案 B解析根據(jù)函數(shù)圖象，選B.二、填空題1 .若幕函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點 ,3 J,則f(25) =.答案15解析 設 f(x)=x",則 9"= 1, a= 1. 321 1 f(25)=25 1=5.2 ,設幕函數(shù)y = x"的圖象經(jīng)過點(8,4),則函數(shù)y = x"的值域是答案0, +OO)解析由 4 = 8&quo

14、t;,得 0(|, ' y= x1>0. 333 .如圖所示是幕函數(shù)y=x a在第一象限內(nèi)的圖象，已知a取±2, ± 四個 值，則相應于曲線 C1, C2, C3, C4的a依次為.文案大全11答案 2, 2, -2，-24.若幕函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(2, 瓜 則f(25)的值是.答案 5解析 設丫=乂"，:點(2,啦)在y=x"的圖象上，1-11 _72 = 2 , . a= 2, . .f(x) = x2.故 f(25) = 252=5.5 .幕函數(shù)y=x"(代R)的圖象一定不經(jīng)過第 象限.答案四，6 .把下列各數(shù)23

15、, j|， 3， 3),拿,熊,按由小到大的排列順序為答案12訛 11<*翳22. 333523 31 .7.已知幕函數(shù)f(x) = x2,若f(a+ 1)<f(10 2a),則a的取值范圍是.答案 3<a<5解析 f(x) = x2 =上(x>0),由圖象知x (0, +00)時為減函數(shù)，又f(a+ 1)<f(10-2a),1+1>0,，a>1,10 2a>0, 得<a<5,. 3<a<5.la+1>102a.1a>3.三、解答題211.求函數(shù) y= x5 +2x5 + 4 (x>-32)值域.

16、1解析：設 t=x5, /x>-32, .>-2,則丫=式 + 21 + 4= (t + 1) 2+3. 當 t = 1 時，ymin=3.21函數(shù) y= x5 +2x5 + 4 (x>-32)的值域為3, + g).點評：這是復合函數(shù)求值域的問題，應用換元法.(2)2 .已知f(x) = (m2 + 2m) xm2+m1, m是何值時，f(x)是(1)正比例函數(shù); 反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)幕函數(shù).解(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則,.m=1.m2 + m 1 = 12 一 一m +2mw0(2)若f(x)為反比例函數(shù)，則1.m + m 1 = 1i 2，:m=m

17、+2mw0(3)若f(x)為二次函數(shù)，則；m2+ m 1 = 21±/T3m2 + 2m0'2.(4)若 f(x)為幕函數(shù)，則 m2 + 2m=1, ；m=1班。3 .已知點(M2, 2)在幕函數(shù)f(x)的圖象上，點(一2, 4,幕函數(shù)g(x)的圖象 上，問當x為何值時，(1)f(x)>g(x); (2)f(x) = g(x); (3)f(x)<g(x).解 設 f(x) = x",由題意得：2=(V2)2? a= 2,f(x) = x2.-10 I 工同理可求：g(x)=x-2,在同一坐標系內(nèi)作出y=f(x)與y=g(x)的圖象，如圖所 示.由圖象可知

18、：當x>1或x<-1時，f(x)>g(x).當 x=± 1 時，f(x)=g(x).(3)當-1<x<0 或 0<x<1 時，f(x)<g(x).4.已知函數(shù) y=(a_、a 3a+ 2* 0.解彳#a=4,即a = 4時，此函數(shù)為正比例函數(shù);a2 - 5a + 5= - 1,2_、a 3a+ 2* 0.解彳4 a=3,即a = 3時，此函數(shù)為反比例函數(shù).5.已知函數(shù) y= 4/15 2x-x2 .(1)求函數(shù)的定義域、值域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析：這是復合函數(shù)問題，利用換元法令t = 15 2x-x2,則y=Vi,(1)由152x