《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》浙江大學(xué)第四版課后習(xí)題答案

1、WORD式-精品資料分享概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版 盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版(高等教育由版社)第一章概率論的基本概念1. 一寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(一1 )c %1 nxi00、, 工特S = * 一，-j, n表小班人數(shù)、n n n J(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到 10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(一2)S=10 , 11, 12, ,n, (4)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品” ，不合格的蓋上“次品” 如連續(xù)查出二個(gè)次品就彳止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“ 1”，查出次品記為“

2、0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“ 0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。(一(3)S=00 , 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2.二設(shè)A, B, C為三事件，用 A, B, C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：ABC或 A (AB+AC)或 A (BUC)(2) A, B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為： ABC或AB-ABC或AB C(3) A, B, C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C(4) A,B,C都發(fā)生，表示為：ABC(5) A,B,C都不發(fā)生，表示為：ABC或S(A+B+

3、C)或A JbjC(6) A, B, C中不多于一個(gè)發(fā)生，即 A, B, C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于AB, BC, AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB +BC + AC o(7) A, B, C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A + B+C或KBC(8) A, B, C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB, BC, AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6.三設(shè)A, B是兩事件且P (A)=0.6 , P (B)=0.7.問在什么條件下 P (AB)取到最 大值，最大值是多少？ ( 2)在什么條件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A

4、) = 0.6, P (B) = 0.7即知ABW。，(否則AB =。依互斥事件加法定理， P(AUB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1 與 P (AU B)< 1 矛盾).從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)-P (AU B)(*)(1)從0WP(AB)W P(A)知，當(dāng)AB=A,即AA B時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6,(2)從(*)式知，當(dāng)AUB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.71=0.3 。1 _ _ _ _7 .四設(shè) A, B, C 是三事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=&

5、#39;,P(AB) = P(BC)=0 ,41P(AC)=-.求A, B, C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。8解：P (A, B, C 至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB) P(BC) 31-5P(AC)+ P(ABC)= -8 0=88 .五在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有 席6種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)P(A)衰二卷9 .在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全

6、不相同的概率。(設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0, 1, 29)記A表“后四個(gè)數(shù)全不同”后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有 A14)A4 p(A)=鼻=0.504 10410 .六在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選 3人記錄 其紀(jì)念章的號(hào)碼。(1)求最小的號(hào)碼為 5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為 5”為事件A10人中任選3人為一組：選法有 20：種，且每種選法等可能。3又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為 5,其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有1父5；1521P(A)f =123(2)求最大的號(hào)碼為 5的概率。記“三人中最大的號(hào)碼

7、為 5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼小于5,選法有1父4 種P(B)=10-20311 .七某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有 C197種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有C0 m C3 M/P(A)=C： C3C32C67252二 243112 .八 在1500個(gè)產(chǎn)品中有 400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取 200

8、個(gè)。(1)求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件 A在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有，200種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有 曙 富嘴j種90 110400 1100P(A)=901101500200(2)至少有2個(gè)次品的概率。記：A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品” ，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法 有嗯5 :種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有呼）,<111900 種A=Bo +B1且Bo, Bl互不相容。P(A) =1 P(A) =1 一 P(Bo) P(Bi) =1 一1100K20%400 11001 19

9、9(1500 1j1500 11200 )(200 )13.九從5雙不同鞋子中任取 4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少?“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”“ 4只人不配對(duì)”從10只中任取4只，取法有1：；種，每種取法等可能。要4只都不配對(duì)，可在 5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有59442C54 248P(A)= 5=_8C4021P(A) =1 -P(A) =1 -813212115.H一 將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是 1,2,3,的概率各為多少?記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為個(gè)，i= 1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放

10、法等可能對(duì)A1:必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種。（選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列）C/4M3 種。對(duì)A2:必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有（從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有C，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有 3種。2PA)C3 4 394=16對(duì)A3：必須三球都放入一杯中。放法有 4種。（只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種）41p（y整16.十二50個(gè)挪釘隨機(jī)地取來用在 10個(gè)部件，其中有三個(gè)挪釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只挪釘，若將三只強(qiáng)度太弱的獅釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱， 問發(fā)生

11、一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組， 三個(gè)釘一組去挪完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M 中不分先后次序。但 10組釘挪完10個(gè)部件要分先后次序）C/C37MC34C33M0對(duì)E:挪法有C30 MC37 MC44 MC33種，每種裝法等可能對(duì)A:三個(gè)次釘必須挪在一個(gè)部件上。這種挪法有種P(A)=C3 C37 C34C33 101C30 C37C331960=0.00051法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件挪完。 （挪釘要計(jì)先后次序）對(duì)E:挪法有 A。種，每種挪法

12、等可能對(duì)A:三支次釘必須挪在“ 1,2, 3”位置上或“ 4, 5, 6”位置上，或“ 28, 29, 30”位置上。這種挪法有 A3父A27 + A33 MA27+ +履+A27 =10父A33 MA27種P(A)10 a； A7a50iI960= 0.0005117.十三已知 P(A) =0.3, P(B) =0.4, P(AB) =0.5,求P(B | A= B)。解一：P(A) =1 P(A) =0.7, P(B) =1 P(B) =0.6, A = AS = A(B - B) = AB - AB 注意(AB)(AB)=上故有P (AB)=P (A)-P (AB )=0.7 0.5=0

13、.2。再由加法定理，P (AU B )= P (A)+ P (B)-P (AB )=0.7+0.6 0.5=0.8是 P(B|A _ B) =PB(A -學(xué)二 P(ABLP(A 一 B) P(A 一 B)濟(jì)°25由已知一解一 ：P(AB) =P(A)P(B | A)05 = 07 P(B | A)-0.55 -2 -P(B | A) = = P(B|A)=一故0.7771P(AB) =P(A)P(B | A)二一 5P(B | A _ P(BA- BB):PO:一5一P(A 一 B) P(A) P(B) - P(AB) 0.7 0.6-0.50.25.11118.十四P(A) = ,

14、 P(B|A)=1, P(A| B)= ,求 P(AuB)。432、，解：由 P(A| B)定義P(AB) =P(B)1P(A)P(B| A)由已知條件一414 3_ m 1* 句 一 =P(B)=P(B)2 P(B)61由乘法公式，得 P(AB)=P(A)P(B| A) =:11111由力口法公式，得 P(A . B)=P( A) P(B) - P(AB)=十 方 _;1219.十五擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用兩種方法)。解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求事彳A發(fā)生的概率)。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(

15、x, y) (x, y=1,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,則樣本空間為S=(x, y)| (1,6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每種結(jié)果(x, y)等可能。, ，一 ，一一 21A=擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為 7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A)=(=63方法二：(用公式P(A|B)=P(AB)每種結(jié)果均可能S=( x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6A= "擲兩顆骰子，x, y中有一個(gè)為“1“點(diǎn)"，B= "擲兩顆骰子，x,+y=7”。則叫號(hào)小262，故 P(A| B)

16、2 P(AB) P(B) 一 1620.十六據(jù)以往資料表明,某一 3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:P(A)=P孩子得病=0.6 , P (B|A尸P母親得病|孩子得病=0.5 , P (C|AB尸P父親得病|母親 及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P (ABC )(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件, 這里不是求 P (C |AB)P (AB尸 P(A)=P(B|A)=0.6 P5=0.3, P (C |AB)=1 P (C |AB)=1 0.4=0.6.從而 P (ABC )= P (AB) P(C |AB)=0.3 >0.6

17、=0.18.21 .十七已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作 不放回抽樣，求下列事件的概率。(1)二只都是正品(記為事件 A)法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。C8P(A)號(hào)Cio28 =0.6245法二：用排列做 在10只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。P(A)=A2Ai20_ 28"45法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記Ai, A2分別表第一、二次取得正品。87P'PC®”21A1)=行 92845145法二:P(B)=A2145P(B) =P(A

18、,4) =P(A1)P(A2|A)=10 945(3) 一只是正品，一只是次品(記為事件C)法一:法二:P(C)=112(C；MC2)MA21645(2)二只都是次品(記為事件 B)C22法一:P(B) 一C10法三：P(C)=P(AA2 +凡4)且A1&與Aa2互斥822 816= P(A)P(A2|A) P(Ai)P(A21A1)= 8 。4610 910 945(4)第二次取出的是次品(記為事件 D)法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二：P(D)= A9 2A2 = 1Ao 545 435法三：p(d)=P(A1A2 + A1A2)且 a1A2 與 A1A2 互

19、斥= P(A)P(A21A) P(A)P(A2 1A1)=點(diǎn) 1 : IO 9 IO 9522 .十八某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超 過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是 多少？記H表撥號(hào)不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號(hào)能接通。注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。23 H = A1 + A1A2 + A& A3三種情況互斥p(h) =p(A) p(A)p(ahA) p(Qp(Az iA)p(a3 1AA2)1919813=r X r X X =10109 109810如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)(記為

20、事件B)問題變?yōu)樵?B已發(fā)生的條件下，求 H再發(fā)生的概率。P(H |B) =PA1 | B A1A21 B A A2A3 |B)二 P(A1 |B) P(A1 |B)P(A2 |bA) P(A1 |B)P(A2 |BA)P(A3 | BA1A2)1414313="TA -T A A =24.十九設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有 N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋 中取到)白球的概率是多少？(此為第三版19題(1)記Ai, A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。,B=A1 B+

21、A2B 且 Ai , A2 互斥P (B)=P (Ai)P(B| Ai)+ P (A2)P (B| A2)n N 1 m N=-n m N M 1 n m N M 1十九(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。 先從第一盒子中任取 2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白 球的概率。記C1為“從第一盒子中取得 2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得 2只白球”。C3為“從第一盒子中取得 1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1, C2, C3兩兩互斥，C1UGUC3=S,由全 概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C

22、1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)C； 5 XC2 7 .C； C4 653-C.2 11 C； 11 C；11 -9926.二H一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者。今從男女 人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A二男人 , A2=女人 , B=色盲,顯然 A1 U A2=S, A1 A2= 41由已知條件知 P(A1) =P(A2) =1 P(B| A,) =5%, P(B| A2) =0.25%由貝葉斯公式，有P(Ai |B)=P(AB)P(B)15P(A)P(B|A)2 100P(A)P

23、(B| A) P(A2)P(B| A2) 1 51252 100 2 100002021二十二一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為P- （1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格, i=1,2已知 P （A1）=p （A2A1）=P, P（A21A1）=%（1） B=至少有一次及格所以B =兩次均不及格 =A,A2p（b） =1 -p（b） =1 -p（aa2） 二1 一 p（a1）p（A2 |A）=1 -

24、1 -p(A)1-p(A2IA)-(1-p)(1-|)ip4p2(2) P(AA2)定義P(AA2) P(A2)由乘法公式，有 P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 p(a2) =p(a1)p(a2 IA) p(AJp(a21A1)=P P (1 - P)p2將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*)得 P(A11A2)28 .二十五某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:到家時(shí)間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.0

25、5某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A= "乘地鐵”，B= “乘汽車"，C= "5:455:49到家”，由題意，AB=。,AU B=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由貝葉斯公式有P(A|C)=P(C | A)P(A)P(C)0.5 0.45- 1 I 1P(C|A)2 P(C|B)5_ 0.45二 0.659=以=0.6923 1329 .二十四有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩

26、箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一 只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品"i=1 , 2A表布"第j箱廣品"j=1,2 ,顯然Ai U A2=SAiA2= j/、1(1) P(Bi) = 2(2) P(B2 | Bi)101 182+=0.4 (Bi= AiB +A2B由全概率公式解)50 2 3051 10 91 1817=p(BiB2) = 2 50 49 2 30 29 =04857 P(Bi)25（先用條件概率定義，

27、再求 P （B1B2）時(shí)，由全概率公式解）32.二十六（2）如圖 1, 2, 3, 4, 5 表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú) 立，求L和R是通路的概率。記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。A=AiA2+ AlA3A5+A4A5+A4A3A2 四種情況不互斥P (A尸P (AiA2)+P (AlA3A5)+P (A4A5)+P (A4A3A2) P (Ai A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4)+P (A1A3 A4A5) + P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A

28、1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5) P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1, A2,A3,A4, A5互相獨(dú)立。故P (A)=p2+ p3+ p2+ p3 p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4+ p5 + p5+ p5+ p5 p5=2 p2+ 3P3 5p4 +2 p5二十六（1）設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1, 2, 3, 4。它們的可靠性分別為 P1, P2, P3, P4,將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1, 2, 3, 4,A表不系統(tǒng)正常

29、。''' A=A 1A2A3 + A1A4兩種情況不互斥p (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4) P (A1A2A3 A4)(加法公式)=p (A1) p (A2)P (A3)+ p (A1) p (A4) p (A1) p (A2)P (A3)P (A4)=P1P2P3+ P1P4- P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4 獨(dú)立)34 .三H一袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽） 在袋中任取一只，將它投擲 r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多WORD式-精品資料分享少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面” 二Br &

30、quot;任取一只是正品” =A由全概率公式，有m 1r n rP(Br)=P(A)P(Br|A) P(A)P(Br|A)=(-)r 1r m n 2 m nJ),P(A|Br)=P(A)P(Br|A)= m n(2); m,P(Br)m (1)r . n m n 2rm n 2 m n（條件概率定義與乘法公式）35 .甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為 0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為 0.6,若三人都擊 中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1, 2, 3。Bi, B2, B

31、2分別表示甲、乙、丙擊中飛 機(jī)Hi =BiB2B3 +B1B2B3 +B1B2B3 ,三種情況互斥。H2 =BiB2B3 +B1B2B3 +B1B2B3 三種情況互斥H3 =B2B2B3又B1, B2, B2獨(dú)立。P(HJ =P(BJP(B2)P(B3) P(B-)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3) =0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 =0.36P(H2) =P(B1)P(B2)P(b3) P(B1)P(b2)P(B3)P(b1)P(B2)P(B3) =0.4 0.5 0.3P (H3)=P (Bi)P (B2)P (B3)=0.4 0.5

32、 0.7=0.14又因：A=H 1A+H 2A+H 3A三種情況互斥故由全概率公式，有P (A尸 P(Hi)P (A|Hi)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3)=0.36 0.2+0.41 0.6+0.14 1=0.45836 .三十三設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2% (這一事件記為A1),10% (事件 A2), 90% (事件 A3)的概率分別為 P (Ai)=0.8, P (A2)=0.15, P (9=0.05, 現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B),試分另求P (Ai|B) P (A2|B), P (A3|B)(這里設(shè)

33、物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以 取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)B表取得三件好物品。B=A 1B+A2B+A3B二種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P(Ai)P (B|Ai)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)=0.8 和.98)3+0.15 0.9)3+0.05 0.1)3=0.8624P(A | B)=P(AiB)P(B)P(A)P(B| A)一 P(B)一_ _ _ _ 30.8 (0.98)3一 0.8624=0.8731P(A2 |B)Pi)P(A2)P(B|A2)一 P(B) 一 P(B)一一一 30.15 (0.9)3一 0

34、.8624= 0.12683P(A3 | B)=0.0001_ P(A3B) _ P(A3)P(B|A3) 0.05 (0.1)3一 P(B) - P(B) 一 0.862437 .三十四將A, B, C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a ,而輸出為其它一字母的概率都是 (1 a )/2。今將字母串 AAAA, BBBB, CCCC之一輸入信道， 輸入AAAA, BBBB, CCCC的概率分別為Pi, p2, p3 (p1 +p2+p3=1),已知輸出為 ABCA,問 輸入白是AAAA的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)解：設(shè) D表示輸出信號(hào)為 ABCA, Bi、

35、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為 AAAA, BBBB,CCCC,則 Bi、B2、B3為一完備事件組，且 P（Bi尸Pi, i= 1,2, 3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推，依題意有P （A收| A發(fā)尸P （B收| B發(fā)尸P （C收| C發(fā)尸a ,_ ，一 一、 _ ，一 一、 .一、.一、1 aP （A收| B發(fā)尸P （A收| C發(fā)尸P （B收| A發(fā)尸P （B收| C發(fā)）=P （C收| A發(fā)）=P （C收| B發(fā)）=又 P (ABCA|AAAA)= P (D | %二P (A收| A發(fā))P (B收| A發(fā))P (C收| A發(fā))P (A收| A發(fā))J（三）2，同樣可得 P (

36、D | B) =P (D | B) =a(與 )3 于是由全概率公式，得3P(D)=，P(Bi)P(D|Bi)i W= Pia2(1 2")2 +(F2 +P3) “(1 2”)3由Bayes公式，得P(Bi)P(D |Bi)P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D)=薪)2 aR2 aR +(1 a)(P2 +瑪)二十九設(shè)第一只盒子裝有 3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有 2只 藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解：記A、

37、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球， B1、B2、 B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍(lán)球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1, 5 種情況互斥由概率有限可加性，得P(C)=P(AiB) P(AiB2)P(AB3)P(AzBi) P(ABi) BiBp(A)P(Bi) P(A)P(Bz) P(Ai)P(B3) P(A2)P(Bi) P(A3)P(Bi)32 33 34 22 22 5 一 . | * 一 , !T- 797979 79 79 9(2)記D=有一只藍(lán)球，一只白球 ,而且知D= A 1B3+

38、A3B1兩種情況互斥P(D) =P(AB3 P(A3Bi) =P(Ai)P(B3) P(A3)P(Bi)3 4 2 2 161+' I* ,1P(Di) =-, P(D2)=P(D3) =z(1) P (無人接電話)=P (DiD2D3)= P (Di)P (D2)P (D3)1111= 一=7 9 7 963P(CD) P(D) 16 P(D|C) =57=陪=35(任息到 CD =D)三十A, B, C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給 a, B, C的電話的概率分別為 2,工。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，a, B, C三人外出的概555率分另I為1,工工，設(shè)三人的行動(dòng)

39、相互獨(dú)立，求2 , 44(1)無人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了 3個(gè) 電話，求(3)這3個(gè)電話打給同一人的概率； (4)這3個(gè)電話打給不同人的概率； (5) 這3個(gè)電話都打給B,而B卻都不在的概率。解：記C1、C2、C3分別表示打給 A, B, C的電話Di、D? D3分別表示A, B, C外出注意到。、C2、C3獨(dú)立，且 P(C1) =P(C2) = 4 432(2)記G= "被呼叫人在辦公室" ，G =C1D7+C2D7+C3D!三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式 , P(C3)=155P(G) =P(gDi) P&D2) P

40、93D3)= P(Ci)P(Di|Ci) P(C2)P(D2|C2) P(C3)P(D3|C3)212313131 11 I 52545420電于某人外出與、否和來電話無關(guān)心 P（5；|Ck）=P瓦）/P(H)=5555555517125（3） H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”（4） R為“這3個(gè)電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A, B, C的三個(gè)電話，每種情況的概率為2 2 145 5 5125于是P(R) =6412524125（5）由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給 B電話而B不在的概率為-,且各次情況相互獨(dú)立4是 P （3個(gè)電話都打給 B, B都

41、不在的概率）（4）3164第二章 隨機(jī)變量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為 1、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以 X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量 X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律為.一. 一 1 C9P(X=3) =P(一球?yàn)?號(hào),兩球?yàn)?,2號(hào))110P(X=4) =P(一球?yàn)?號(hào)，再在1,2,3中任取兩球)1 C323P(X=5) =P(一球?yàn)?號(hào)，再在1,2,3,4中任取兩球C321 C4"CT10610也可列為下表X:P:3,1104,31056103.三不放回抽樣,設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次,每次任取一只，作以

42、X表示取出次品的只數(shù),(1)求X的分布律，(2)畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0, 1, 2個(gè)。C133P(X =0)= 1；C35二 22一 35P(X =1)=C2C23C351235P(X =2)_Cf C13一 C135C53|1V,* x再列為下表O 12X:0, 1, 222 12 1P:.35 , 35 , 354.四進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為q =1 p(0<p<1)(1)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求 X的分布律。(此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)(2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn) r次成功為止

43、，以 Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。(此時(shí)稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)(3) 一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算 X取偶數(shù)的概率。解：(1) P (X=k)=qk 1pk=1,2,WORD式-精品資料分享(2) Y=r+n= 最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n 1次有n次失敗，且最后一次成功P(Y=r +n)=Cn+qnpr,p=Crn書qnpr, n=0,1,2,，其中 q=1-p, 或記 r+n=k，則 PY=k= C；j;pr(1 p)k,，k = r,r+1,(3) P (X=k) = (0.55)k 10.45k=1,2

44、1131QOQOP (X 取偶數(shù)戶工 P(X=2k)=£ (0.55)2k,0.45 =k 1k 46.六一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為0.1,問在同一時(shí)刻(1)恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X =2) =C；2 p2q5 =C2 (0.1)2 (0.9)3 =0.0729(2)至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X _3) cCI (0.1)3 (0.9)2 C54 (0.1)4 (0.9) C5 (0.1)5 =0.00856(3)至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？0 一一 51_ _ 42_ 2一一 3口 / V/C 0 / C

45、 C5*C1vCdv/C C 4+C2v/Cd2v/C C3P(X-3)= C5 (0.9)C50.1 (0.9)C5(0.1)(0.9)C3 (0.1)3 (0.9)2 =0.99954(4)至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？P(X -1) =1 -P(X =0) =1 -0.59049 =0.40951五一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假 定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求 X的分布律。(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛

46、向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。(3)求試飛次數(shù) X小于Y的概率；求試飛次數(shù) Y小于X的概率。解：(1) X的可能取值為1, 2, 3,，n,P X=n = P 前n 1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去n= 1, 2,(2) Y的可能取值為1, 2, 3WORD式-精品資料分享1P Y=1=P 第1次飛了出去= 3P Y=2=P 第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第 2次飛了出去, 211二一323P Y= 3= P 第1, 2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去_2! 1=33 PX 二Y八 PY =kPX 二 Y|Y

47、 =kk 13=" PY =kPX :Y|Y =k kJ隹概率公式并注意到)邛 X<Y|Y=1=03八 PY =kPX 二 kk=21111zX r 3 3 3 IL3二 827注意至X,Y獨(dú)立即PX 二 Y |Y = k=PX :二 k3同上，PX =Y =、, PY =kPX =Y|Y =k k 11981111214=X + X + X 333 9327故 PY :二 X =1 - P X :二 Y -PX =Y)=818.八甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6, 0.7,令各投三次。求(1)二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由

48、于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+ P (X= 3, Y=3)=P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)33_121_2_=(0.4)3x (0.3)3+ C3 父0.6父(0.4)2m。3 父 0.7 父(0.3)222223C3 (0.6)0.4 C3 (0.7).3 (0.6)一 3 一一(0.7)3 =0.321(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X

49、=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)二 C1 x 0.6 x (0.4)2 x (0.3)3 +C32 x (0.6)2 x 0.4黑(0.3)8 +C； M (0.6)2 M 0.4 MC3 M 0.7M (0.3) P (連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次尸C130(1)3(毀)7 * * =_。此概率太小，按實(shí)707010000

50、際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。 + (0.6)3x(0.3)3 +(0.6)九有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取 10件，經(jīng)驗(yàn)收 無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%,求 (1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率 (2)需作第二次檢驗(yàn)的概率 (3)這批產(chǎn)品按第 2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率mC3 m0.7m(0.3)2 +(0.6)3 22C； (0.7)2 0.3 =0.2439.十有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成

51、功一次。(1)某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。)解：(1) P (一次成功)=3=工C8470(3) P Y=0=0.9 % 0.590(4) P 0<XW2, Y=0(0<XW2與 Y=2獨(dú)立)=P 0<XW2P Y= 0=0.581 0.590 0.343(5) P X=0+ P 0<X<2, Y=00.349+0.343=0.69212.十三電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求(1) 每分鐘恰有8次呼喚

52、的概率48法一：P(X=8) = 4 e" =0.029770 (直接計(jì)算)8!法二：P ( X= 8 )= P (X >8)-P (X >9)(查入=4 泊松分布表)。=0.051134 - 0.021363=0.029771(2) 每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。P (X> 10)=P (X >11)=0.002840 (查表計(jì)算)十二(2)每分鐘呼喚次數(shù)大于 3的概率。PX 3 = P X _ 4 = 0.566530十六以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間(以分計(jì))，X的分布函數(shù)是Fx (x)=1 -e04xx _0x : 0求下述概率：(3) P至多3分鐘; (2) P 至少4分鐘; (3) P3分鐘至4分鐘之間;(4) P至多3分鐘或至少4分鐘; (5) P恰好2.5分鐘解：