異面直線所成角測驗-共14頁

1、2,DiJ 口3A. 30°【答案】【解析】.45°試題分析：如圖所示,連接BiC,AD與BC所成的角為90° .故選：D.考點：異面直線及其所成的角2.已知平行六面體=/ AiAD= i20° ,ABCD AiBGD中，底面 ABC皿邊長為 則異面直線 AC與AiD所成角的余弦值（的正方形，AA = 2, /AAB）i47i55Jc51 .如圖，在正方體 ABCD- ABGD1中，異面直線 AiD與BCi所成的角為9 90°試題分析：設(shè)向量 AB=a, AD = b, AA = c ,則 AG = a+ b + c,AD = b c , AC

2、i = 2, AD = ,7 ,COS ：AC1,A1D =AC1i4。7考點：空間向量的集合運算及數(shù)量積運算。3 .正方體 ABCD AiBiGDi 中，E,F,G,H 分別是 AAi, AB , BB1，BG 的中點，則直線EF與GH所成的角是（）A. 30°B .45°C . 60° D , 90°試題分析：由三角形中位線可知EF AiB,GH L BCi，所以異面直線所成角為 NABG ,大小為60°考點：異面直線所成角4.在正方體ABCD ABC1D1中，E是的中點，則異面直線 DG與BE所成角的余弦值為（.10 d "I&

3、quot;2.5試題分析：取BC中點F ,連結(jié)FD, FC1 ,則/DCF為異面直線所成角，設(shè)邊長為2,.GF ”'5,DCi ”8, DF =二5. cos DCiF =° 5考點：異面直線所成角5.如圖，正四棱柱ABCD-A'BCD'中（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面AA'=3AB,則異面直線 A'B與AD'所成角的余弦值為（A、包10710試題分析：連結(jié)_' f-'BC ,異面直線所成角為/ABC ,設(shè)AB = 1 ,在AA BC中AC' = '.2, AB = BC' = .10.'

4、'9cos - A BC =10考點：異面直線所成角6.點P在正方形 ABCD所在平面外，PA，平面ABCD,PA = AB ,則 PB 與 AC 所成的角是A. 60°B. 90C. 45D. 30【答案】A【解析】試題分析：作出空間幾何體如下圖所示：設(shè)正方形的邊長為所以PB與AC所成的角就是 上 FEA ,由題意可知： EF = AE = AF = J2 ,所以 ZFEA =601與DC i所成角的余弦值為()：rl 用A -看 B.看C._-10 D【答案】A【解析】試題分析：以 D為原點，分別以 DA,DC, DD系D - xyz ,由棱長為1 ,則D(0,0,0),

5、.10).101為x, y, z軸的正半軸建立空間直角坐標1 一 .A(1,0,1),M(0,0),C1(0,1,1),所以20+1-17考點：異面直線的位置關(guān)系.,- _ 一_ 一7 .如圖所不，在棱長為1的正萬體 ABCD A1B1clD1中，M是棱CD的中點，則A1MA1M =(-1,-,-1),DC1 = ( 0 , 1,1 cos < A1M , DC1 >=考點：空間向量所成角的余弦值 .8.在止方體 ABCD AB1clD1中，E、F分別為AB、ABi所成角的余弦值為0 = ,故選 A.3V262BC中點，則異面直線EF與【解析】試題分析：聯(lián)結(jié) ACB1C則/B1AC

6、即為所成的角。BiAC為等邊三角形，所 一 1以 cos._B1AC =cos60* 二2考點：異面直線所成的角9 .在正方體 ABCO AiBCQ中，點P在線段 AD上運動，則異面直線 CP與BA所的0角的取值范圍是（）o<<-o<5<-A.一 B.C.二 D.二【答案】D【解析】如圖，連結(jié) CD,則異面直線CP與BA'所成的角0冗等于/ D'CP,由圖可知，當 P點與A點重合時，0 =3當P點無限接近 D'點時，0趨近于0.由于是異面直線，故 0 W0.選D考點：空間幾何體，異面直線所成角10 .如圖，正方體 ABCD ABCiDi,則下列四

7、個命題：P在直線BC1上運動時，三棱錐 A-D1PC的體積不變；P在直線BG上運動時，直線 AP與平面ACD1所成角的大小不變;P在直線BC1上運動時，二面角 P -AD1 -C的大小不變； M是平面AB1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則 M點的軌跡是過 D1點的直線 其中真命題的個數(shù)是A. 1 B .2 C .3 D .4【答案】C【解析】試題分析： BC1 II平面AD1 , BC1 /上任意一點到平面AD1c的距離相 等，所以體積不變，正確.P在直線BG上運動時，直線AB與平面ADiC 所成角和直線AC1與平面AD1c所成角不相等，所以不正確.當P在直線 BCi上運動時，AP的軌跡

8、是平面PADi ,即二面角P - ADi -C的大小不受影 響，所以正確.M是平面ABGD1上到點D和C1距離相等的點，M點 的軌跡是一條與直線DC,平行的直線，而DDi=DiG,所以正確，故答案為： C .考點：異 面直線及其所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積；與二面角有關(guān)的 立體幾何綜合題.ii .如圖，正方體 ABCD-ABGDi中，AB的中點為 M DD的中點為 N,則異面直線 BM與 CN所成的角是（）A. 0 B. 45 C. 60 D. 90DtCl【答案】D【解析】試題分析：解：取 AA的中點E ,連接EN , BE交BiM于點O ,Ct則 EN BC ,且 EN = BC二四邊

9、形BCNE是平行四邊形.BE/CN丁 ZBOM就是異面直線B1M與CN所成的角,而 Rt BB1M 三 Rt ABE二 /ABE=/BB1M , NBMB1 =/AEB,二 /BOM =900 .故選 D.考點：異面直線所成角12 .如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長AA1= J2，則異面直線A1B1與BD1的夾角大小等于【答案】60°【解析】試題分析：由直四棱柱 ABCD-AB1cl D1的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長AA1 = J2可得BD1 =2,由ABI-AB1 知/ABD1就是異面直線 AB1與BD1的夾角，且AB 1 cosjABD

10、1 =一，所以2ABD1=60。，即異面直線 AB1與BD1的夾角大小等于BD1260° .考點：i正四棱柱；2異面直線所成角13 .如果直線AB與平面a相交于B,且與口內(nèi)過點B的三條直線BC, BD, BE所成的角 相同，則直線 AB與CD所成的角=.【答案】90°【解析】試題分析：因為，直線AB與平面u相交于B,且與a內(nèi)過點B的三條直線BC, BD,BE所成的角相同，所以，直線 AB在平面a內(nèi)的射影應(yīng)是BC,BD夾角的平分線，同時也應(yīng)是 BD,BE夾角及BC, BE的平分線，因此，直線 AB在平面a內(nèi)的射影是點B ,即AB _L a ,而CD u久，所以AB _L CD

11、 ,直線AB與CD所成的角為90°考點：直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系14 .平行六面體 ABCD-ABCD中,以頂點A為端點的三條棱長度都為2,且兩兩夾角為DBi和GA所成角大小為.6 arccos- 6DB1 =AB+AA AD, AG = AB +ADDBi GA = . 2 ADAB AA -AD (AB AD) = AB AB+AA AB+AA AD-AD AB2AD =4Db1|2 二|ab；+ aa1 -ad2 =ABi2十2十“2.AD 十 2 AB1AAi-2ABi AD -2AA AD=8, DBi= 2J2 ，同理：設(shè)DBi和CiA所成角大小為日cos9 =

12、cos < DBi ,C1A > =DB1 GADBi|C1Al2% 2 2 36arccos- 6考點：i.向量的加法和減法；2.向量的數(shù)量積；3.向量的模；4.異面直線所成的角;15 .已知四面體 ABCD中，DA = DB = DC =3j2 ,且DA, DB,DC兩兩互相垂直,點。是AABC的中心，將ADAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線 DA與 直線BC所成角的余弦值的最大值是 D【解析】試題分析：當 OABC時，直線DA與直線BC所成角最小，對應(yīng)的余弦值最大, cos/OAD ；易知：AB = AC =BC =6, OA =6 丑=2. 3 , cos OAD

13、 = OA = 2 3 ;3DA 3. 2考點：異面直線所成的角.即,6316 .如圖所示， ABCD -A1B1clD1為正方體，給出以下五個結(jié)論:2BD平面CB1D1； AC1，平面 CB1D1 ;AC1與底面ABCD所成角的正切值是 J2 ； 二面角C -BD -Ci的正切值是 J2 ； 過點A1且與異面直線 AD和CB1均成70。角的直線有2條.其中，所有正確結(jié)論的序號為 .【答案】【解析】試題分析：如下圖，正方體 ABC> ABCD中，由于BD/ BiD ,由直線和平面平行的判定定理可得BD/平面CBD ,故正確.故正tan /由正方體的性質(zhì)可得 BiDXAC, CGL B1D

14、1,故 BD,平面 ACOA,故BiDiXAG 同理可得BiC±AC.再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC,平面CBD ,確.CC1工AC與底面ABCDF成角的正切值為 =產(chǎn)= ,故不正確.AC22取 BiD 的中點 M,則/ CMC即為二面角 C- BD- C的平面角， RtCMC中,CMC= CC1 = L = . 2 ,故正確.CiM 二如下圖，由于異面直線 AD與CB成45°的二面角，過 Ai作MIN/ AR PQ/ CB,設(shè)MNW PQ確定平面 a , / PAM=45 ,過 A 在面a上方作射線 AH,則滿足與 MN PQ成70°的射線 AiH有4

15、條：滿足/ MAH=/ PAH=70的有一條，滿足/ PAH=/ NAH=70 的有一條,滿足/ NAH=/ QAH=70 的有一條，滿足QAH=/ MAH=70的有一條.故滿足與 MN PQ成70°的直線有 4條，故過點 A與異面直線 AD與CB成70°角的直線有4條，故不正確.【答案】-66考點：二面角的定義及求法；直線和平面平行的判定；直線和平面垂直的判定；異面直線的判定.17 .如圖，正方體 ABCD-AiBCD中，E, F分別是正方形 ADDAi和ABCD勺中心，G是CC 的中點。設(shè)GF, CE與AB所成的分別為u, P ,則a+P =DCB【解析】試題分析：取正

16、方形 BiCCB的中點為點。，連結(jié)OC1, OE,取BC的中點為點 A,連結(jié)GH , FH ,通過分析可知 OG GH , OE/ FH得平面CiEO平面GFH ,設(shè)正方形邊長為 2,在AGFH中，GH=J2, FH=i,cos：二 ,33在：CiEO一一 、2OE =2, GE =76, OC1 = ,；2,則 sinP =二一,6322 一二cos P =-=,所以 ct + p = 一。632考點：直線與平面所成角，面面平行問題。18.如圖所示，在三棱柱 ABC-A1B1C中, 點E、F分別是棱AB BB的中點，則直線AAL底面 ABC AB= BC= AA, Z ABC= 90

17、6; , EF和BC的夾角是41兀3【解析】試題分析：如圖所示，建立空間直角坐標系.由于AB=BC=AA 不妨取 AB=2 貝U E (0,1, 0), F (0, 0, 1), Ci (2, 0, 2). EF = (0, 1,1), BC1= (2, 0, 2).cos < EF, BC1 >= EF BC14 =-2-= =1. .異面直線 EF 和 BC 的夾角為工.故|EF|BC1|：2 %8 23殖答案為：一 39考點：用空間向量求直線間的夾角、距離；異面直線及其所成的角.19.如圖，在直三棱柱 ABC AB1C1 中，/ACB = 90°, AA =2,AC

18、 = BC =1 ,則異【解析】 試題分析：由于 AC / AC1,所以ZBAiCi （或其補角）就是所求異面直線所成的角，在 ABACi 中，A1B=爬,ACi=1, BC1=V5, cosZBA1C1 = 6+5 = 6 .2、, 6 16考點：異面直線所成的角.20.在正三棱柱 ABCAB1cl中，各棱長均相等，BC1與B1c的交點為D ,則AD與平面BB1cle所成角的大小是 .【答案】600【解析】試題分析：如圖所示取 BC中點E,連接AE, DE易得AD與平面BB1C1C所成角為/ADE ,設(shè)正三棱柱棱長為 2,則等邊三角形 ABC邊上的中線 AE = J3, DE=1,直角三角形

19、中/ADE = 60°考點：直線與平面所成的角.21 .如圖，直三棱柱 ABC-AB1G 中，AB= AC= 1 , AA = 2, /3人1。= 90° , D 為 BB 的中【解析】試題分析：求異面直線所成的角，關(guān)鍵是作出這個角，一般把異面直線的一條平移后與CiD向下平移到過點C （實際作圖時，是延長BiB至ij E ,使BE = B D,則有CE/ C D,然后在 MiCE中求出ZAiCE ,就可得出題中要求的角.考點：異面直線所成的角.22.四棱錐PABCD勺所有側(cè)棱長都為 J5,底面ABC虛邊長為2的正方形，則 CD與PA所成角的余弦值為【解析】CD與試題分析：.

20、正方形ABCD中，CD/ AB,PAB或其補角就是異面直線PA 所成的角， PAB 中PA=PB= 55 , AB=2 ,cos12考點：異面直線所成的角的計算5 4-525 2B考點：1.余弦定理的應(yīng)用222PA2 AB2 - PB2PAB=2PA AB;2.異面直線及其所成的角23.如圖所示，正方形 ABCD43, E、F分別是AB AD的中點，將此正方形沿 EF折成直 二面角后，異面直線 AF與BE所成角的余弦值為【解析】試題分析：過F做FH/DC ,過A做AG _LEF ,連接GH ,在三角形AGH中，AH =110+2=73, /AFH即為異面直線AF與BE所成角.44設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則在 LAFH 中，AF =1, FH =2, AH =73 ,1 coMAFH =一,故答案為2ABCD - A1B1C1D1 E為 C1D1AE BC3【解析】如圖，由 AD / BC= /DAE