二次函數(shù)的應用優(yōu)秀教案

1、二次函數(shù)的應用【課時安排】2課時【第一課時】【教學目標】（一）教學知識點。能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能夠運用二次函數(shù) 的知識解決實際問題中的最大（?。┲?。（二）能力訓練要求。1 .通過分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，培養(yǎng)學生的分析判 斷能力。2 .通過運用二次函數(shù)的知識解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力。（三）情感與價值觀要求。1 .經(jīng)歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數(shù)學方法解決實際 問題的經(jīng)驗，并進一步感受數(shù)學模型思想和數(shù)學的應用價值。2 .能夠對解決問題的基本策略進行反思，形成個人解決問題的風格。3 .進一步

2、體會數(shù)學與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值。增進對數(shù)學的理解和學好 數(shù)學的信心，具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力。【教學重點】1 .經(jīng)歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數(shù)學方法解決實際 問題的經(jīng)驗，并進一步感受數(shù)學模型思想和數(shù)學的應用價值。2 .能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能夠運用二次函 數(shù)的知識解決實際問題。【教學難點】能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能運用二次函數(shù)的 有關知識解決最大面積問題?！窘虒W方法】教師指導學生自學法?！窘虒W過程】一、創(chuàng)設問題情境，引入新課師：本節(jié)課我們來學習用二次函數(shù)來解決實際問題。解決

3、這類問題的關鍵是要讀懂題目， 明確要解決的是什么，分析問題中各個量之間的關系，把問題表示為數(shù)學的形式，在此基礎 上，利用我們所學過的數(shù)學知識，就可以一步步地得到問題的解。本節(jié)課我們將繼續(xù)利用二次函數(shù)解決最大面積問題。二、新課講解(一)例題講解展示例題：1 .如下圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個長方形ABCD。其中AB和AD分別在兩直角邊上。(1)設長方形的一邊 AB=x m,那么AD邊的長度如何表示？(2)設長方形的面積為y m2當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？2 .師：分析：(1)要求AD邊的長度，即求BC邊的長度，而BC是4EBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出BC.由EBCs/

4、XEAF,得型=型即翌二二型 所以AD=BC= (40-x)c EA AF 40304(2)要求面積的最大值。即求函數(shù) y=AB AD=x- - (40-x)的最大值，就轉化為數(shù)學問4題了 0下面請大家討論寫出步驟。3 .生：(1) V BC/AD .EBCs/XEAF。.EB BC.=EA AF又 AB = x, BE=40x,40 -x BC=。40303.BC=3 (40 x)。4 .AD = BC=3 (40-x) =30 3x。44(2) y=AB AD=x (303x) =3x2+30x44=-3 (x2-40x+400-400)4=-3 (x2 40x+400) +3004=-3

5、 (x-20) 2+3004當x=20時， y最大 二300。即當x取20m時，y的值最大，最大值是300m2。師：很好。剛才我們先進行了分析。要求面積就需要求矩形的兩條邊，把這兩條邊分別用 含x的代數(shù)式表示出來，代入面積公式就能轉化為數(shù)學問題了，大家覺得用數(shù)學知識解決實 際問題很難嗎？生：不很難。師：下面我們換一個條件?？纯创蠹夷芊窠鉀Q。設 AD邊的長為x m,則問題會怎樣呢？ 與同伴交流。生：要求面積需求AB的邊長，而AB = DC,所以需要求DC的長度，而DC是4FDC中 的一邊，所以可以利用三角形相似來求。解：v DC/AB .FDCs/XFAEDC _ FDAE FA. AD=x,

6、FD = 30x,DC 30-x =4030 DC= 4 (30-x)3 .AB=DC二 4 (30 x)34y=AB AD=x 一（30 x）34 2=x +40x3=-4 （x2 30x+225 225）3=-4 （x15） 2+3003當x=15時， y最大 =300即當AD的長為15m時，長方形的面積最大，最大面積是 300m2。（二）做一做展示例題：某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為 15 m,當x等于多少時，窗戶通過的光線最多（結果精確到師：通過剛才的練習，這個問題自己來解決好嗎?生：可以。分析：x為半圓的半徑，也

7、是矩形的較長邊，因此 x與半圓面積和矩形面積都有關系。要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大，即2 c2xy+ - x取大，而由于4y+4x+3x+ 兀=7x+4y+ 兀 x=15 所以 y=15 -7x -二x4121215-7xiix面積 S= x +2xy= - x +2x -224x（15-7x 一刀x）2=-3.5x2+7.5x,這時已經(jīng)轉化為數(shù)學問題即二次函數(shù)了，只要化為頂點式或代入頂點坐標公式中即可。解：7x+4y水=15157x ：x y=4設窗戶的面積是S （m2）,則S=； <2+2xy1 2 c 15 - 7x -二x=-ix +2x .2 41

8、2 x(15 -7x -二x)=Tx + 2 2=3.5x2+7.5x二 - 3.5 (x2- £x)15、2 1575= -3.5(x- ) +。14392.當 x= 15407 時14o _1575S最大-公4.02o392即當xM.07 m時，S最大F.02m2,此時。窗戶通過的光線最多。師：大家做得非常棒。(三)議一議師：我們已經(jīng)做了不少用二次函數(shù)知識解決實際問題的例子，現(xiàn)在大家能否根據(jù)前面的例 子作一下總結，解決此類問題的基本思路是什么呢？與同伴進行交流。生：首先是理解題目，然后是分析已知量與未知量，轉化為數(shù)學問題。師：看來大家確實學會了用數(shù)學知識解決實際問題，基本思想如下

9、：展?。?.解決此類問題的基本思路是：(1)理解問題；(2)分析問題中的變量和常量以及它們之間的關系；(3)用數(shù)學的方式表示它們之間的關系；(4)做函數(shù)求解；(5)檢驗結果的合理性，拓展等。在總結思路之前，大家已經(jīng)做得相當出色了，相信以后會更上一層樓的。三、課堂練習(一)展示例題：1. 一養(yǎng)雞專業(yè)戶計劃用116m長的竹籬笆靠墻(如下圖)圍成一個長方形雞舍，怎樣設 計才能使圍成的長方形雞舍的面積最大？最大為多少？解：設AB長為x m,則BC長為（116 2x） m,長方形面積為S m2,根據(jù)題意得：S=x （116 2x） = 2x2+116x= -2 （x2 58x+292 292） = 2

10、（x 29 ） 2+1682當x=29時，S有最大值1682,這時116 2x=58即設計成長為58m,寬為29m的長方形時，能使圍成的長方形雞舍的面積最大，最大面 積為 1682m2。四、課時小結本節(jié)課我們進一步學習了用二次函數(shù)知識解決最大面積問題，增強了應用意識，獲得了 利用數(shù)學方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進一步感受了數(shù)學模型思想和數(shù)學的應用價值。五、活動與探究已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12,從它的一個頂點作一條射線，將矩形分成一個三角形和一個梯形，且這條射線與矩形的一邊所成的角的正切值等于-。設梯形的面積為2S,梯形中較短的底邊長為x,試寫出梯形面積關于x的函數(shù)關系式，并指出自變量

11、x的取值 范圍。1分析：因為射線與矩形一邊所成的角的正切值等于1 ,但沒有說明射線與矩形的哪一邊2所成角的正切值，故本題應考慮兩種情況，如下圖：【第二課時】【教學目標】（一）教學知識點。1 .經(jīng)歷探索T恤衫銷售中最大利潤等問題的過程，體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù) 學模型，并感受數(shù)學的應用價值。2 .能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實 際問題的最大（?。┲?，發(fā)展解決問題的能力。（二）能力訓練要求經(jīng)歷銷售中最大利潤問題的探究過程，讓學生認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系及對人類 歷史發(fā)展的作用，發(fā)展學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。(三)情感與價值觀要求。1

12、 .體會數(shù)學與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值。增進對數(shù)學的理解和學好數(shù)學的 信心。2 .認識到數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展 人類理性精神的作用。【教學重點】1 .探索銷售中最大利潤問題。2 .能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實 際問題中的最大(小)值，發(fā)展解決問題的能力?！窘虒W難點】運用二次函數(shù)的知識解決實際問題?！窘虒W方法】在教師的引導下自主學習法?！窘虒W過程】一、創(chuàng)設問題情境，引入新課師：前面我們認識了二次函數(shù)，研究了二次函數(shù)的圖象和性質，由簡單的二次函數(shù)y=x2開始，然后是 y=ax2, y=ax2+c,

13、最后是 y=a (x-h) 2, y=a (x-h) 2+k, y = ax2+bx+c,掌 握了二次函數(shù)的三種表示方式。怎么突然轉到了獲取最大利潤呢？看來這兩者之間肯定有關 系。那么究竟有什么樣的關系呢？我們本節(jié)課將研究有關問題。二、講授新課(一)有關利潤問題。1.展示例題：服裝廠生產(chǎn)某品牌的T恤衫，每件的成本是10元。根據(jù)市場調查，以單價13元批發(fā)給經(jīng) 銷商，經(jīng)銷商愿意經(jīng)銷5000件，并且表示每件降價0.1元，愿意多經(jīng)銷500件。廠家批發(fā)單價是多少時，可以獲利最多？設批發(fā)單價為x (0<x< 13元，那么：(1)銷售量可以表示為;(2)銷售額可以表示為;(3)所獲利潤可以表示為

14、 ;(4)當批發(fā)單價是 元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 。師：從題目的內(nèi)容來看好像是商家應考慮的問題：有關利潤問題。不過，這也為我們以后 就業(yè)做了準備，今天我們就不妨來做一回商家。從問題來看就是求最值問題，而最值問題是 二次函數(shù)中的問題。因此我們應該先分析題意列出函數(shù)關系式。獲利就是指利潤，總利潤應為每件 T恤衫的利潤(批發(fā)價：成本)乘以 T恤衫的數(shù)量， 設批發(fā)單價為x元，則降低了( 13x)元，每降低0.1元，可多售出500件，降低了 10 (13 -x)元，則可多售出5000 (13x)件，因此共售出5000+5000 (13 x)件，若所獲利潤用 y (元)表示,貝U y= (x10

15、) 5000+5000 (13-x)。2.經(jīng)過分析之后，大家就可回答以上問題了。生：(1)銷售量可以表示為 5000+5000 (13-x) =70000 5000x。(2)銷售額可以表示為 x (70000 5000x) =70000x5000x2。(3)所獲利潤可以表示為(70000x5000x2) 10 (700005000x) = 5000x2+120000x700000。(4)設總利潤為y元，則 22y= 5000x2+120000x700000= 5000 (x12)2 +20000。V- 5000V 0拋物線有最高點，函數(shù)有最大值。當x=12元時，y最大=20000元。即當銷售單

16、價是12元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 20000元。例2:某旅社有客房120間，每間房的日租金為160元，每天都客滿。經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)， 如果每間客房的日租金每增加10元時，那么客房每天出租數(shù)會減少 6間。不考慮其他因素， 旅社將每間客房的日租金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？讓學生根據(jù)上面的利潤問題的解法來解決這道例題。(二)做一做。還記得本章一開始的“種多少棵橙子樹”的問題嗎？我們得到表示增種橙子樹的數(shù)量x(棵)與橙子總產(chǎn)量y (個)的二次函數(shù)表達式y(tǒng)= (6005x) (100+x) = 5x2+100x+60000。我們還曾經(jīng)利用列表的方法得到一個猜測，現(xiàn)在驗證一下你的猜測

17、是否正確？你是怎么 做的？與同伴進行交流。生：因為表達式是二次函數(shù)，所以求橙子的總產(chǎn)量y的最大值即是求函數(shù)的最大值。所以 y = 5x2+100x+60000=5 (x2 20X+100100) +60000=5 (x- 10) 2+60500當x=10時，y最大=60500師：回憶一下我們前面的猜測正確嗎？生：正確。(三)議一議1 .展示:(1)利用函數(shù)圖象描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關系wn60600布為棵605006040060300602006010060000 O(2)增種多少棵橙子樹，可以使橙子的總產(chǎn)量在 60400個以上？2 .生：圖象如上圖。(1)當x<10時

18、，橙子的總產(chǎn)量隨增種橙子樹的增加而增加；當 x>10時，橙子的總產(chǎn)量,增種橙子樹的增加而減小。(2)由圖可知，增種6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子總產(chǎn)量在60400個以上。(四)補充例題。1 .展示例題：已知 個矩形的周長是24cm。(1)寫出這個矩形面積S與一邊長a的函數(shù)關系式。(2)畫出這個函數(shù)的圖象。(3)當a長多少時，S最大？師：分析：還是有關二次函數(shù)的最值問題，所以應先列出二次函數(shù)關系式。2 .生：(1) S=a (12a) =a2+12a= (a212a+36 36) = ( a-6) 2+36(2)圖象如下：(3)當a= 6時，S

19、最大=36。三、課堂練習解：設銷售單價為x元，銷售利潤為y元，則y= (x20) 400 20 (x30)= 20x2+1400x 20000= 20 (x 35) 2+4500。所以當x=35元，即銷售單價提高5元時，可在半月內(nèi)獲得最大利潤 4500元。 四、課時小結本節(jié)課經(jīng)歷了探索一種商品銷售中最大利潤等問題的過程，體會了二次函數(shù)是一類最優(yōu) 化問題的數(shù)學模型，并感受了數(shù)學的應用價值。學會了分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并運用二次函數(shù)的知識求出實 際問題中的最大(小)值，提高解決問題的能力。五、活動與探究(一)某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，生產(chǎn)廠家要求每箱售價在4070元之間。市場調查發(fā)現(xiàn)：若每箱以 50元銷售，平均每天可銷售90箱，價格每降低1 元，平均每天多銷售3箱，價格每升高1元，平均每天少銷售3箱。1 .寫出平均每天銷售(y箱與每箱售價x (元)之間的函數(shù)關系式