第二章剛體的轉(zhuǎn)動

1、 第二章 剛體的轉(zhuǎn)動1 1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動一.剛體 ： 無形變。 物體內(nèi)任意兩質(zhì)點距離保持不變。 二.平動與轉(zhuǎn)動1.平動： 剛體內(nèi)任一給定直線在運動中其方位始終保持不變。 活塞、升降機等。特點：各質(zhì)點的運動狀態(tài)完全一樣。2.定軸轉(zhuǎn)動定義： 剛體內(nèi)各質(zhì)點在運動中都繞同一直線作圓周運動，此直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸固定稱為定軸轉(zhuǎn)動。三.剛體的定軸轉(zhuǎn)動特點：各點轉(zhuǎn)動的角位移、角速度、角加速度都相同?？捎媒橇窟M(jìn)行描述?？捎媒橇窟M(jìn)行描述。 剛體的運動均可視為平動與定軸轉(zhuǎn)動的合成。四.角速度矢量：定義：轉(zhuǎn)軸上的有向線段。r大小線段長短方向 : 右手螺旋判定定軸轉(zhuǎn)動： 的方向？可用正負(fù)表示方向。tddr

2、v速度m角夾rv2 2 剛體的角動量剛體的角動量 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量一. 角動量1. 質(zhì)點的角動量觀察地球繞日運動：Ormvsin = 恒量地球的角動量定義：L L = rmv大小和方向？rvL2.剛體的角動量各質(zhì)量元角動量之和。轉(zhuǎn)軸imirmrmrmrLiiiiii22vmmmrmrdd22轉(zhuǎn)動慣量JL= J二.轉(zhuǎn)動動能組成剛體各質(zhì)點的動能之和。JrmmEiiiiK21212122v三. 轉(zhuǎn)動慣量1.定義：2iirmJ 若為連續(xù)分布：vdmrJ22.物理意義：J m , 轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。單位：kg m2質(zhì)點系：動量: mv角動量： J例題 P106 例4rdm222mrd

3、mrdmrJ在圓盤上取一半徑為 r 的圓環(huán)rdJ = r2 dm = r22r dr = 2r3 dr40322RdrrdJJR= mR2幾種剛體的轉(zhuǎn)動慣量見表 41J 與哪些因素有關(guān)？決定轉(zhuǎn)動慣量的因素決定轉(zhuǎn)動慣量的因素 轉(zhuǎn)動慣量 J = miri2 或 J=r2 dm 是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，它的大小由物體的質(zhì)量、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置三個因素來決定。 請看下面的實例。 1.勻質(zhì)直桿對垂直于桿的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 (桿長為l ，質(zhì)量為M)1) 垂直于桿的軸通過桿的中心O J1= M l 2 2) 垂直于桿的軸通過桿的端點O1 J2= M l 2 121312.勻質(zhì)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 (圓盤質(zhì)量為M

4、，半徑為R)1) 對通過盤心垂直盤面的轉(zhuǎn)軸 J1= MR 2 2) 對通過直徑的軸 J2= MR 2 2141o結(jié)論： (1) 剛體的轉(zhuǎn)動慣量是由質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置三個因素決定的。 (2) 同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同，凡是提到轉(zhuǎn)動慣量，必須指明它是對哪個軸的才有意義。 4.掛在光滑釘子上的勻質(zhì)圓環(huán)擺動的轉(zhuǎn)動慣量 (圓環(huán)質(zhì)量為m，半徑為R)J=mR 2 + mR 2 =2mR 2 3.掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動慣量（桿長為 l, 質(zhì)量為 m1,擺錘半徑為 R，質(zhì)量為 m2）222221)(2131lRmlmlmJ 一.力矩 1.定義：frd M = f d = f r sinfrM 定軸轉(zhuǎn)動：力

5、矩的方向可用正負(fù)號表示。 若力不在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，則如何？2.合力矩 iMM 代數(shù)和。作用：3 3 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律3.內(nèi)力的力矩oz取任意兩個質(zhì)點，分析力矩。r1r2F12F21d12 r1 sin1 = r2 sin2 = d M = F21 r2 sin2 F12r1 sin1 = 0所有的內(nèi)力成對出現(xiàn)，所以有：0iMM內(nèi)例題：有一大型水壩高110米，長1000米，水深100米，求水作用在大壩上的力；及這個力通過大壩基點Q且與x軸平行的軸的力矩。思路：力與力矩均是變量，要分部分求和。dFdAy hdF = ( P0 + g ( hy )dAhyLPF00dLhyLyhg0d)

6、(力矩：QydM = y dFhhLydyyhgLydyPdMM000)(3206121LhgLhPx二.轉(zhuǎn)動定律導(dǎo)出思路：牛頓第二定律。取質(zhì)點mi ，其將繞oz軸作圓周運動。分析受力：mi0zriFiFiamFFiii切向：iiiiirmamFF同乘以 ri2iiiiiirmrFrF法向力矩為零，內(nèi)力矩為零。)(2iiiirmrFtLtJJrmMiidddd)(2三.平行軸定理zcc過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸zdm J = Jc + md2 例題. 一質(zhì)量為m=2.0kg的物體A，用細(xì)繩跨過一滑輪B和一彈簧C相連接，如圖所示。已知彈簧的勁度系數(shù)k=20N/m，滑輪的半徑R=0.1m，繞軸的轉(zhuǎn)動慣量J=0.0

7、3kgm2，設(shè)繩與滑輪之間不打滑，A與斜面間及滑輪轉(zhuǎn)軸處摩擦不計，繩輕且不可伸長，斜面傾角為37，取重力加速度g=10m/s2，求： 1.A下滑的加速度 2.A下滑的最大速率 3.A從靜止釋放（此時彈簧處于原長）沿斜面下滑的最大距離。 mR Jk分析： 這是一個由質(zhì)點、剛體和彈簧組成的系統(tǒng)。當(dāng)質(zhì)點A由靜止釋放后，A沿斜面下滑，滑輪B同時轉(zhuǎn)動，彈簧被拉長。A開始做邊加速運動，當(dāng)彈簧被拉到某一長度時，作用在A上的合外力為零，作用在B上的合外力矩亦同時為零，此時A的速度最大，B的角速度最大。若此時A所處的位置為O，則物體A以O(shè)為平衡位置在斜面上做諧振動。處理這類問題常用的方法有兩種： 方法一方法一：

8、應(yīng)用牛頓定律與轉(zhuǎn)動定律。 方法二方法二：應(yīng)用機械能守恒定律。分析滑塊受力：maTmg1sin選圓盤B為研究對象，受力如圖 a 就等于滑輪邊緣的切向加速度 .21221MRJRTRTRa T2 = kx由以上四式解得：xmMkxmga44 . 221sin當(dāng) x = 0.6 m 時，a = 0 x 0 方向沿斜面向下 x 0.6 m 時，a 0 方向沿斜面向上 由運動學(xué)關(guān)系知xtxxtaddddddddvvvv積分xxx00d)44 . 2(dvvv得248 . 4xxv當(dāng) a = 0 時， x = 0.6 m v = vm= 1.2 m/s4. 4. 定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理一. 力矩

9、的功力的功： dW = F ds (直線運動)力矩的功： dW = M d (定軸轉(zhuǎn)動) 導(dǎo)出：考慮力做功，見圖mfrddW = f cosds = f cosr d = f r sind= M dMdW 外力矩的功。二.動能定理質(zhì)點： W外 + W內(nèi) = Ek Ek0剛體： 2022121JJW導(dǎo)出：ddJdtdddJdtdJJM2022121JJdJMdWW 外力矩的功，僅在定軸轉(zhuǎn)動時成立。 例題 如圖，求1.桿處在水平位置的角加速度；2.豎直位置的角速度，角加速度；3.豎直位置質(zhì)心與端點的加速度。解1.3lo2323291mldrrJllplgJmglJM236/2. 重力矩做功：dmg

10、ldWcos6/62/0mgldWW0212JWlgImg333重力矩為 0, = 03.lglrvcc36lglrvBB332lglrvAA33豎直位置，只有法向加速度：2632gllgraccgllgraAA332gllgraBB232323 3 角動量角動量 定理定理 角動量守恒定律角動量守恒定律一.角動量定理 力矩對時間的積累效應(yīng)動量定理：vdmdtFvmdtFI角動量定理：dJdtMJdtM導(dǎo)出：dtLddtdJdtdJJMdJdtM1221JJdtMtt角動量定理角動量定理沖量矩沖量矩二. 角動量守恒定律 若0M則：0dtLd即可得：恒量 LL恒量 IL LL、均為恒量。L、乘積為恒量。例 題 求人在盤上跑一周，人與盤相對地轉(zhuǎn)動的角度。解： 見圖 角動量守恒： J J= 0221MRJ 2mRJ 2Mm人對臺的角速度：2MmM 人跑一周所需的時間：)2(22mMmt人對地的角度：t車對地的角度：t1.強相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持為一個整體，盡管質(zhì)子間存在很大的排斥作用。2.電磁力：長程力，它使原子核與電子能聚集在一起形成原子。3.弱相互作用：短程力，能引起粒子間的某些過程，例如中子和原子的放射性衰變，以及其它粒子的衰變。4.引力：長程力，在宇宙的構(gòu)造和演化