高等數(shù)學(xué)(專升本)學(xué)習(xí)指南

1、高等數(shù)學(xué)（專升本）學(xué)習(xí)指南一、判斷題1，是否正確（ 對(duì) ） 解：對(duì)原式直接求導(dǎo)即可得到。2. 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減少，是否正確（ 錯(cuò) ）解：函數(shù)y的導(dǎo)數(shù) 其中，所以函數(shù)y在該區(qū)間是個(gè)遞增函數(shù)。3，是否正確（ 對(duì) ）解：原式：原式分子有界，分母有界，其余項(xiàng)均隨著x趨于無窮而趨于無窮。這樣，原式的極限取決于分子、分母高階項(xiàng)的同階系數(shù)之比。得到：4設(shè)，則，是否正確（ 對(duì) ）解：對(duì)原式關(guān)于x求導(dǎo)，并用導(dǎo)數(shù)乘以dx項(xiàng)即可，注意三角函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則。所以，即5. ，是否正確（ 對(duì) ）解：6，是否正確（對(duì) ）解：7函數(shù)在區(qū)間上極小值是1，是否正確（錯(cuò) ）解：對(duì)y關(guān)于x求一階導(dǎo)，并令其為0，得到；解得x有駐點(diǎn)：x

2、=2，代入原方程驗(yàn)證此為其極小值點(diǎn)。8. 1，是否正確（ 錯(cuò) ）解：因?yàn)?有界，所以 9設(shè)，則，是否正確（錯(cuò)）解：所以，10，是否正確（ 對(duì) ）解：直接求積分即可得到。令，有：將代回，有：11. ，是否正確（ 對(duì) ）解：12函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增的，原因是，是否正確（ 對(duì) ）解：，13，是否正確（ 對(duì) ）解：原式=14. 設(shè)，則，是否正確（ 對(duì) ）解：對(duì)y關(guān)于x求一階導(dǎo)有：所以，15，是否正確（ 對(duì) ）解：令，則有：將代回上式得到：16二元函數(shù)的極大值點(diǎn)，是否正確（ 錯(cuò) ）解：因?yàn)椋臉O小值都是0，此時(shí)x=y=0，所以的極大值點(diǎn)17. 設(shè)，其中，則，是否正確（ 對(duì) ）解：直接求微計(jì)算：18，是否正

3、確（ 對(duì) ）解：19設(shè)為，與為頂點(diǎn)三角形區(qū)域，則，是否正確（ 對(duì) ）解：有題目中給出的條件知道區(qū)域D是由所圍成的區(qū)域，其中。所以：20. 微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式是，是否正確（ 對(duì) ）解：原微分方程的特征函數(shù)是：，。得到兩個(gè)無理根：。即是特征根。因此，特解的形式為：21函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)是，是否正確（ 錯(cuò)）解：駐點(diǎn)是使得函數(shù)一階導(dǎo)為0的點(diǎn)。所以有方程組：，得到點(diǎn)（0，0）和（2，2）這兩個(gè)點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)。22設(shè)，其中，求，是否正確（ 對(duì) ）解：直接展開來計(jì)算。23. ，是否正確（ 對(duì) ）解：24若是由曲線與圍成的區(qū)域，則把二重積分化為二次積分，便有 ，是否正確（ 對(duì) ）解：曲線與有兩個(gè)交點(diǎn)在（

4、0，0）和（1，1）。且在兩個(gè)交點(diǎn)之間時(shí)，所以，25微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式是，是否正確（ 錯(cuò) ）解：原微分方程可以看成是以下兩個(gè)微分方程的組合：對(duì)于方程（1）有特征方程，得到特征值。其中單特征根，所以有特解：。（a為常數(shù)）對(duì)于方程（2），因?yàn)橐浑A導(dǎo)項(xiàng)為0，右邊項(xiàng)為常數(shù)1.所以，它有特解形式為：。（b為常數(shù)）綜上兩點(diǎn)，方程的特解形式為：。（其中a，b為常數(shù)）26. 函數(shù)的最小值點(diǎn)是，是否正確（錯(cuò) ）解：因?yàn)樵街?，?dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取到極小值0 ；同樣，當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取到極小值0 。所以，函數(shù)的極小值點(diǎn)位于（0，0）27設(shè)，其中，則，是否正確（ 對(duì) ）解：因?yàn)椋裕?8，則，是否正確

5、（對(duì) ）解：29. 設(shè)是曲線與所圍成，則，是否正確（ 錯(cuò) ）解：30微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式是，是否正確（ 對(duì) ）解：原微分方程可以看成是以下兩個(gè)微分方程的組合：對(duì)于方程（1）有特征方程，得到特征值。其中單特征根，所以有特解：。（a為常數(shù)）對(duì)于方程（2），因?yàn)橐浑A導(dǎo)項(xiàng)為0，右邊項(xiàng)為常數(shù)1.所以，它有特解形式為：。（b為常數(shù)）綜上兩點(diǎn)，方程的特解形式為：。（其中a，b為常數(shù)）二、選擇題1. 設(shè)函數(shù)，它的定義域是【 C】A； B. ； C. ； D. 解：，所以，的定義域?yàn)?1，1得的定義域?yàn)椋?，32. 極限【 C 】A. 1； B. 0; C. ； D. 解：令則所以，因?yàn)樗裕杭矗?

6、3. 下列各函數(shù)的極限存在的是【 A 】A. ； B. ； C. ； D. 解：對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別計(jì)算極限得到如下結(jié)果ABC 無確定極限D(zhuǎn)4. 當(dāng)時(shí)，是【 C 】A. x的同階無窮小量 B. x的等階無窮小量C. 比x高階的無窮小量 D. 比x低階的無窮小量解：中x是二階的，x本身是一階的2階高于1階，所以是比x高階的無窮小量。5. 函數(shù)的間斷點(diǎn)為【 D 】A. B. 2 C. D. 1解：的分母為0時(shí)，無意義。所以x-1=0是間斷點(diǎn)。即：的間斷點(diǎn)是x=1 。6. 若，則【 B 】A. B. C. D. 解：直接求積得到：7. 函數(shù)，滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的區(qū)間是【 A 】A B. C. D.

7、解： ，易知分母為零是其間斷點(diǎn)，即x=0點(diǎn)。只有A選項(xiàng)所示的區(qū)間中沒有包含間斷點(diǎn)x=0，所以滿足條件。8. 函數(shù)的極小值點(diǎn)為【 C 】A. 0 B. C. 1 D. 不存在解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候可以取到等號(hào)。而要使得，則需要，即 。，所以當(dāng)時(shí)，方程有極小值1。9【 B 】A. B. C. D. 解：簡(jiǎn)單積分，直接求積即可得到：令將代回上式得到：10【 A 】A. B. C. D. 解：直接求定積分得到：11. 函數(shù)的反函數(shù)是【 B 】 A. B. C. D. 解：對(duì)等式兩邊做e的指數(shù)，得到，變換一下因變量和自變量得到：即：12. 極限【 A 】 A. 1 B. 0 C. D. 解：由題

8、目知通項(xiàng)有如下的形式：13. 若，則【 D 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：14. 當(dāng)時(shí)，【 B 】 A. 極限不存在 B. 是無窮大量 C. 是無窮小量 D. 是未定式 解：當(dāng)x趨向于1時(shí)，分母趨向于0，任意常數(shù)除以0都是無窮大量。所以原式是一個(gè)無窮大量。15. 設(shè)函數(shù)， 那么函數(shù)的所有間斷點(diǎn)是【 B 】 A. 0 B. 1和2 C. D. 和3解：，當(dāng)x=1或者2時(shí)方程沒有意義。所以方程有兩個(gè)間斷點(diǎn)，是1和2.16. 設(shè)，則【 C 】 A. B. C. D. 0解：由題目知的一階導(dǎo)數(shù)有如下的形式：將x=0帶入上面的式子，可見含有x的項(xiàng)都將為0.17. 下列函數(shù)中在給定區(qū)間上滿

9、足羅爾中值定理的是【 A 】A. B. C. D. 解：由羅爾中值定理知道：如果函數(shù)在閉區(qū)間a ,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即，,那么在(a ,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：。18. 函數(shù)的極小值點(diǎn)為【 B 】A. 0 B. C. 1 D. 不存在解：函數(shù)的絕對(duì)值是大于等于0的，如果能取到0，則取到了整個(gè)函數(shù)的極小值。所以在x=1時(shí)為0，所以函數(shù)y在x=1時(shí)取到極小值點(diǎn)。19. 【 B 】 A. B. C. D. 解：令，則原式=20. 設(shè)，則【 D 】A. B. C. D. 解：設(shè)有定積分 則，所以：21. 滿足不等式（為常數(shù)， ）的所有

10、的區(qū)間表示為【 A 】 A B C D解：因?yàn)椴坏忍?hào)是嚴(yán)格的大于，小于。所以，x的區(qū)間是一個(gè)開區(qū)間。解不等式得到：22. 極限【 B 】 A B C1 D 0解：有題意，設(shè)通項(xiàng)為：原極限等價(jià)于：23. 設(shè)函數(shù) ， 則【 D 】 A1 B C 0 D不存在解：由題意知：左極限：右極限：左極限右極限，所以原式極限不存在。24無窮大量減去無窮小量是【 D 】 A無窮小量 B零 C常量 D未定式解：所謂的無窮大量，或者無窮小量只是指的是相對(duì)而言，變量的一種變化趨勢(shì)，而非具體的值。所以，相對(duì)的無窮大量減去相對(duì)的無窮小量沒有實(shí)際意義，是個(gè)未定式。25如果在處連續(xù)，且，那么【 D 】 A0 B1 C2 D解

11、：因?yàn)樵趚=0處連續(xù)，并且，所以；同理，在x=0處連續(xù)，并且，所以。綜上，26曲線在點(diǎn)處的切線斜率是【 A 】 A B C2 D解：。所以，在點(diǎn)(0,1)處，切線的斜率是：27設(shè)函數(shù)，則方程有【 B 】 A一個(gè)實(shí)根 B兩個(gè)實(shí)根 C三個(gè)實(shí)根 D無實(shí)根解：對(duì)原方程直接求一階導(dǎo)。所以，即：所以，有兩個(gè)實(shí)根。28函數(shù)函數(shù)可能存在極值的點(diǎn)是【 B 】 A B C D不存在解：由作圖知道，函數(shù)在第二象限是減函數(shù)，在第一象限是增函數(shù)。當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值y=5。29【 B 】 A B C D解：令，則有：由三角函數(shù)積分公式知道：30定積分【 A 】 A0 B C D2解：31兩平面的相互位置為【 C

12、】A互相垂直 B互相平行 C不平行也不垂直 D互相重合解：由兩平面變量的系數(shù)得到它們的法向量分別為：（2，1，-1）和（1，-3，1）。對(duì)它們求內(nèi)積：。所以不垂直；對(duì)它們求外積：。所以不平行。32函數(shù)，則【 A 】 A0 B5 C1 D10解：所以33若，則【 C 】 A B C D解：34設(shè)是矩形域：，則【 D 】 A B C D解：在矩形區(qū)域D對(duì)函數(shù)1求二重積分，相當(dāng)于求矩形的面積。因?yàn)?，所以矩形D的面積為：35 【 D 】 A 1 B C D 解：。36微分方程的通解是【 C 】 A B C D解：即：方程兩邊分別對(duì)變量求積，得到：37微分方程的通解是【 D 】A B C D解：由微分方

13、程，令，因?yàn)?所以 原微分方程是個(gè)全微分方程。令 得到 38設(shè)表示域：，則【 A 】A 0 B C D解：定義球面坐標(biāo)： 其中39是二元函數(shù)的駐點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處【 D】 A一定有極大值 B一定有極小值 C有極大值或極小值 D不一定有極值解：駐點(diǎn)定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，駐點(diǎn)可以劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?？蓪?dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的最值點(diǎn)未必是它的駐點(diǎn)，函數(shù)的駐點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)。40 微分方程的通解是【 C 】 A B C D解：易知微分方程的特征方程為：，解得：。由二階齊次方程的通解公式有：41. 設(shè)直線與平面平行，則等于【 A 】 A. 2 B. 6 C. 8 D.

14、 10解：直線的方向向量為，平面的法向量為。因?yàn)橹本€和平面平行，所以兩個(gè)向量的內(nèi)積為0。即：得到：42. 若，則【 A 】 A. 4 B. 0 C. 2 D. 解：，所以， 43. 和在點(diǎn)連續(xù)是在點(diǎn)可微分的【 A 】 A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.無關(guān)條件解：由定理直接得到：如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)的全微分存在。44. 設(shè)是矩形：，則【 D 】 A. B. C. D. 解：對(duì)單位1對(duì)于一個(gè)矩形區(qū)域進(jìn)行二重積分就是計(jì)算矩形區(qū)域的面積。由題意知：，則：45. 設(shè)D是方形域：，【 D 】 A. 1 B. C. D. 解：46. 微分方程的通解是【 A 】 A. B. C

15、. D. 解：即：47. 微分方程的通解是【 B 】 A. B. C. D. 解：令，由一階線性非齊次微分方程的公式有：48. ，則【 C 】A. B. C. 0 D. 解：化二重積分為二次積分：49. 如果在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在該域上【 C 】 A.只能取得一個(gè)最大值 B.只能取得一個(gè)最小值 C.至少存在一個(gè)最大值和最小值 D.至多存在一個(gè)最大值和一個(gè)最小值解：由定理知道函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則必然存在極值。50. 微分方程的一個(gè)特解形式為【 D 】 A. B. C. D. 解：微分方程的特征函數(shù)：，所以有一個(gè)重特征根：。據(jù)此，微分方程的特解形式為：。51平面與互相垂直，則【 C 】 A

16、1 B2 C D解：因?yàn)閮蓚€(gè)平面互相垂直，所以他們法向量的內(nèi)積為0。平面1的法向量為（1，k，-1）；平面2的法向量為（2，1，1）。52設(shè)，則【 B 】 A B1 C0 D解：有題意的，直接計(jì)算：53設(shè)，則【 C 】 A B C D解：有題意的，直接計(jì)算：54設(shè)由圍成，則【 B 】 A B C1 D解：有題意知三條直線圍城的積分區(qū)域是一個(gè)三角形，交點(diǎn)分別為。在積分區(qū)域?qū)挝?的積分就是求積分區(qū)域的面積，所以： 。55設(shè)，其中由曲線與所圍成，則【 A 】 A B C D解：曲線與相交于和兩點(diǎn)。且在交點(diǎn)間處于下方。所以，56微分方程的通解為【A】 A B C D解：由題目中得到：即：57微分方程有一個(gè)解是【A 】A B C D解：將A，