高考數學北師大版(通用,理)總復習講義 9.8 曲線與方程

1、§9.8曲線與方程1 曲線與方程一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數解建立了如下關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上那么這個方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線2 求動點的軌跡方程的一般步驟(1)建系建立適當的坐標系(2)設點設軌跡上的任一點P(x，y)(3)列式列出動點P所滿足的關系式(4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡(5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程3 兩曲線的交點(1)由曲線方程的定

2、義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(2)兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數解可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數解問題1 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)f(x0，y0)0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個點和一條直線(×)(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2y2.(×)(4)方程y與xy2表示

3、同一曲線(×)2 方程(x2y24)0的曲線形狀是()答案C解析由題意可得xy10或它表示直線xy10和圓x2y240在直線xy10右上方的部分3 已知點P是直線2xy30上的一個動點，定點M(1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|MQ|，則Q點的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案D解析由題意知，M為PQ中點，設Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.4 已知點A(2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足·x26，則點P的軌跡方程是_答案y2x解析(3x，y)，(2x，y)，·(3x)(2x

4、)y2x2x6y2x26，y2x.5 已知兩定點A(2,0)、B(1,0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積為_答案4解析設P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓即軌跡所包圍的面積等于4.題型一定義法求軌跡方程例1已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4.動圓M與圓O1內切，又與圓O2外切，建立適當的坐標系，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線思維啟迪利用兩圓內、外切的充要條件找出點M滿足的幾何條件，結合雙曲線的定義求解解如圖所示，以O1O2的中

5、點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)設動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內切，有|MO1|r1；由動圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.點M的軌跡是以O1、O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點M的軌跡方程為1 (x)思維升華求曲線的軌跡方程時，應盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數法求出軌跡的方程，這樣可以減少運算量，提高解題速度與質量已知點F，直線l：x，點B是l上的動點若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是()A雙曲線 B橢圓C

6、圓 D拋物線答案D解析由已知得，|MF|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線題型二相關點法求軌跡方程例2設直線xy4a與拋物線y24ax交于兩點A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點，求ABC的重心的軌跡方程思維啟迪設ABC的重心坐標為G(x，y)，利用重心坐標公式建立x，y與ABC的頂點C的關系，再將點C的坐標(用x，y表示)代入拋物線方程即得所求解設ABC的重心為G(x，y)，點C的坐標為C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組：消去y并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.由

7、于G(x，y)為ABC的重心，又點C(x0，y0)在拋物線上，將點C的坐標代入拋物線的方程得：(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a)又點C與A，B不重合，x(6±2)a，ABC的重心的軌跡方程為(y)2(x4a)(x(6±2)a)思維升華“相關點法”的基本步驟：(1)設點：設被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x1，y1)；(2)求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程設F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且2，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程解設M(x0,0)，P(0，y0)，

8、N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)·(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即.x0，即y24x.故所求的點N的軌跡方程是y24x.題型三直接法求軌跡方程例3(2013·陜西)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B(1,0)，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明：直線l過定點思維啟迪(1)利用曲線的求法求解軌跡方程，但要注意結合圖形尋求等量關系；(2)設出直線方程，結合直線與圓錐曲線的位置關系轉化為方程的根與系數的關

9、系求解，要特別注意判別式與位置關系的聯(lián)系(1)解如圖，設動圓圓心為O1(x，y)，由題意，得|O1A|O1M|，當O1不在y軸上時，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點，|O1M|，又|O1A|，化簡得y28x(x0)又當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標為(0,0)也滿足方程y28x，動圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明由題意，設直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb64>0.由根與系數的關系得，x1x2，x1x2，因為x軸是PBQ的角平分線，所以，即y1(x2

10、1)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0將，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時>0，直線l的方程為yk(x1)，即直線l過定點(1,0)思維升華直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數方程，要注意翻譯的等價性通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性如圖所示，過點P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡

11、方程解設點M的坐標為(x，y)，M是線段AB的中點，A點的坐標為(2x,0)，B點的坐標為(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知·0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.線段AB中點M的軌跡方程為x2y50.分類討論思想在曲線與方程中的應用典例：(12分)已知拋物線y22px經過點M(2，2)，橢圓1的右焦點恰為拋物線的焦點，且橢圓的離心率為.(1)求拋物線與橢圓的方程；(2)若P為橢圓上一個動點，Q為過點P且垂直于x軸的直線上的一點，(0)，試求Q的軌跡思維啟迪由含參數的方程討論曲線類型時，關鍵是確定分類標準，一般情況下，分類標準的確立有兩點：一是二次項系數分別為0

12、時的參數值，二是二次項系數相等時的參數值，然后確定分類標準進行討論，討論時注意表述準確規(guī)范解答解(1)因為拋物線y22px經過點M(2，2)，所以(2)24p，解得p2.2分所以拋物線的方程為y24x，其焦點為F(1,0)，即橢圓的右焦點為F(1,0)，得c1.又橢圓的離心率為，所以a2，可得b2413，故橢圓的方程為1.6分(2)設Q(x，y)，其中x2,2，設P(x，y0)，因為P為橢圓上一點，所以1，解得y3x2.由可得2，故2.得(2)x22y23，x2,29分當2，即時，得y212，點Q的軌跡方程為y±2，x2,2，此軌跡是兩條平行于x軸的線段；當2<，即0<&

13、lt;時，得到1，此軌跡表示實軸在y軸上的雙曲線滿足x2,2的部分；11分當2>，即>時，得到1，此軌跡表示長軸在x軸上的橢圓滿足x2,2的部分12分溫馨提醒此題求軌跡既有直接法，又有相關點法求出軌跡方程后，容易忽略x的范圍，導致軌跡圖形出錯備考建議：(1)區(qū)分求軌跡方程與求軌跡的問題(2)對常見的曲線特征要熟悉掌握(3)除此之外，正確進行化簡與計算是必須具備的基本能力.方法與技巧求軌跡的常用方法(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關系轉化為x、y的等式就得到曲線的軌跡方程(2)待定系數法：

14、已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(3)定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡(如直線或圓錐曲線)的定義，則可根據定義采用設方程，求方程系數得到動點的軌跡方程(4)代入法(相關點法)：當所求動點M是隨著另一動點P(稱之為相關點)而運動如果相關點P所滿足某一曲線方程，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，再把相關點代入曲線方程，就把相關點所滿足的方程轉化為動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫作相關點法或代入法失誤與防范1求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應關系檢驗可從以下兩個方面進行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實際意

15、義2求點的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據方程說明軌跡的形狀、位置、大小等A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1 已知命題“曲線C上的點的坐標是方程f(x，y)0的解”是正確的，則下列命題中正確的是()A滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上B方程f(x，y)0是曲線C的方程C方程f(x，y)0所表示的曲線不一定是CD以上說法都正確答案C解析曲線C可能只是方程f(x，y)0所表示的曲線上的某一小段，因此只有C正確2 設圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0相切，則C的圓心軌跡為()A拋物線 B雙曲線C橢圓 D圓答案A解析設圓C的半徑為r，則圓心C到直線y

16、0的距離為r.由兩圓外切可得，圓心C到點(0,3)的距離為r1，也就是說，圓心C到點(0,3)的距離比到直線y0的距離大1，故點C到點(0,3)的距離和它到直線y1的距離相等，符合拋物線的特征，故點C的軌跡為拋物線3 設點A為圓(x1)2y21上的動點，PA是圓的切線，且|PA|1，則P點的軌跡方程為()Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22答案D解析由題意知P到圓心(1,0)的距離為，P的軌跡方程為(x1)2y22.4 ABC的頂點A(5,0)，B(5,0)，ABC的內切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是()A.1B.1C.1 (x>3)D.1 (x>4)

17、答案C解析如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1 (x>3)5 有一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A、B，若ABP為正三角形，則點P的軌跡為()A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線答案D解析設P(x，y)，動圓P的半徑為R，由于ABP為正三角形，P到y(tǒng)軸的距離dR，即|x|R.而R|PF|，|x|·.整理得(x3a)23y212a2，即1.點P的軌跡為雙曲線二、填空題6 設P是圓x2y2100上的動點，點A(8,0)，線段AP的垂直平分

18、線交半徑OP于M點，則點M的軌跡為_答案橢圓解析如圖，設M(x，y)，由于l是AP的垂直平分線，于是|AM|PM|，又由于10|OP|OM|MP|OM|MA|，即|OM|MA|10，也就是說，動點M到O(0,0)及A(8,0 )的距離之和是10，故動點M的軌跡是以O(0,0)、A(8,0)為焦點，中心在(4,0)，長半軸長是5的橢圓7 已知ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點A的軌跡方程為_答案(x10)2y236(y0)解析設A(x，y)，則D(，)，|CD| 3，化簡得(x10)2y236，由于A、B、C三點構成三角形，A不能落在x軸上，即y0.8 P

19、是橢圓1上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標原點，則動點Q的軌跡方程是_答案1解析由于，又22，設Q(x，y)，則(，)，即P點坐標為(，)，又P在橢圓上，則有1上，即1.三、解答題9 已知曲線E：ax2by21(a>0，b>0)，經過點M(，0)的直線l與曲線E交于點A，B，且2.若點B的坐標為(0,2)，求曲線E的方程解設A(x0，y0)，B(0,2)，M(，0)，故(，2)，(x0，y0)由于2，(，2)2(x0，y0)x0，y01，即A(，1)A，B都在曲線E上，解得.曲線E的方程為x21.10已知點P是圓O：x2y29上的任意一點，過P作PD垂直x軸于D，動點

20、Q滿足.(1)求動點Q的軌跡方程；(2)已知點E(1,1)，在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重合的點M、N，使()(O是坐標原點)若存在，求出直線MN的方程；若不存在，請說明理由解(1)設P(x0，y0)，Q(x，y)，依題意，則點D的坐標為D(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)，又，即.P在圓O上，故xy9，1.點Q的軌跡方程為1.(2)存在假設橢圓1上存在兩個不重合的點M(x1，y1)，N(x2，y2)滿足()，則E(1,1)是線段MN的中點，且有，即.又M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓1上，兩式相減，得0.kMN，直線MN的方程為4x9y130.橢圓上存在點M、N滿足()，此

21、時直線MN的方程為4x9y130.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1 已知定點P(x0，y0)不在直線l：f(x，y)0上，則方程f(x，y)f(x0，y0)0表示一條()A過點P且平行于l的直線B過點P且垂直于l的直線C不過點P但平行于l的直線D不過點P但垂直于l的直線答案A解析由題意知f(x0，y0)0，又f(x0，y0)f(x0，y0)0，直線f(x，y)0與直線f(x，y)f(x0，y0)0平行，且點P在直線f(x，y)f(x0，y0)0上2 平面直角坐標系中，已知兩點A(3,1)，B(1,3)，若點C滿足12(O為原點)，其中1，2R，且121，則點C的軌跡是()A直線 B橢圓C圓

22、 D雙曲線答案A解析設C(x，y)，則(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一條直線3 點P是以F1、F2為焦點的橢圓上一點，過焦點作F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點M的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線答案A解析如圖，延長F2M交F1P延長線于N.|PF2|PN|，|F1N|2a.連接OM，則在NF1F2中，OM為中位線，則|OM|F1N|a.M的軌跡是圓4 已知M(2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是_答案x2y24 (x±2)解析設P(x，y)，因為MPN為直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.M，N