高考數(shù)學(xué)北師大版(通用,理)總復(fù)習(xí)講義 9.8 曲線與方程

1、§9.8曲線與方程1 曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上那么這個(gè)方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線2 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟(1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)(3)列式列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式(4)代換依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(5)證明證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程3 兩曲線的交點(diǎn)(1)由曲線方程的定

2、義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的公共解，即兩個(gè)曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)(2)兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解可見，求曲線的交點(diǎn)問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問題1 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線(×)(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2y2.(×)(4)方程y與xy2表示

3、同一曲線(×)2 方程(x2y24)0的曲線形狀是()答案C解析由題意可得xy10或它表示直線xy10和圓x2y240在直線xy10右上方的部分3 已知點(diǎn)P是直線2xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(1,2)，Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是()A2xy10 B2xy50C2xy10 D2xy50答案D解析由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.4 已知點(diǎn)A(2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·x26，則點(diǎn)P的軌跡方程是_答案y2x解析(3x，y)，(2x，y)，·(3x)(2x

4、)y2x2x6y2x26，y2x.5 已知兩定點(diǎn)A(2,0)、B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積為_答案4解析設(shè)P(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓即軌跡所包圍的面積等于4.題型一定義法求軌跡方程例1已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線思維啟迪利用兩圓內(nèi)、外切的充要條件找出點(diǎn)M滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線的定義求解解如圖所示，以O(shè)1O2的中

5、點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|r1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3.點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)M的軌跡方程為1 (x)思維升華求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量已知點(diǎn)F，直線l：x，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()A雙曲線 B橢圓C

6、圓 D拋物線答案D解析由已知得，|MF|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線題型二相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程例2設(shè)直線xy4a與拋物線y24ax交于兩點(diǎn)A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點(diǎn)，求ABC的重心的軌跡方程思維啟迪設(shè)ABC的重心坐標(biāo)為G(x，y)，利用重心坐標(biāo)公式建立x，y與ABC的頂點(diǎn)C的關(guān)系，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)(用x，y表示)代入拋物線方程即得所求解設(shè)ABC的重心為G(x，y)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組：消去y并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.由

7、于G(x，y)為ABC的重心，又點(diǎn)C(x0，y0)在拋物線上，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的方程得：(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a)又點(diǎn)C與A，B不重合，x(6±2)a，ABC的重心的軌跡方程為(y)2(x4a)(x(6±2)a)思維升華“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟：(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程解設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，

8、N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)·(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即.x0，即y24x.故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y24x.題型三直接法求軌跡方程例3(2013·陜西)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)B(1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明：直線l過定點(diǎn)思維啟迪(1)利用曲線的求法求解軌跡方程，但要注意結(jié)合圖形尋求等量關(guān)系；(2)設(shè)出直線方程，結(jié)合直線與圓錐曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)

9、系求解，要特別注意判別式與位置關(guān)系的聯(lián)系(1)解如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x，y)，由題意，得|O1A|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，|O1M|，又|O1A|，化簡得y28x(x0)又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y28x，動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明由題意，設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線，所以，即y1(x2

10、1)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0將，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時(shí)>0，直線l的方程為yk(x1)，即直線l過定點(diǎn)(1,0)思維升華直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性通常將步驟簡記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性如圖所示，過點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡

11、方程解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，M是線段AB的中點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知·0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x2y50.分類討論思想在曲線與方程中的應(yīng)用典例：(12分)已知拋物線y22px經(jīng)過點(diǎn)M(2，2)，橢圓1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求拋物線與橢圓的方程；(2)若P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，(0)，試求Q的軌跡思維啟迪由含參數(shù)的方程討論曲線類型時(shí)，關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，一般情況下，分類標(biāo)準(zhǔn)的確立有兩點(diǎn)：一是二次項(xiàng)系數(shù)分別為0

12、時(shí)的參數(shù)值，二是二次項(xiàng)系數(shù)相等時(shí)的參數(shù)值，然后確定分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論，討論時(shí)注意表述準(zhǔn)確規(guī)范解答解(1)因?yàn)閽佄锞€y22px經(jīng)過點(diǎn)M(2，2)，所以(2)24p，解得p2.2分所以拋物線的方程為y24x，其焦點(diǎn)為F(1,0)，即橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)，得c1.又橢圓的離心率為，所以a2，可得b2413，故橢圓的方程為1.6分(2)設(shè)Q(x，y)，其中x2,2，設(shè)P(x，y0)，因?yàn)镻為橢圓上一點(diǎn)，所以1，解得y3x2.由可得2，故2.得(2)x22y23，x2,29分當(dāng)2，即時(shí)，得y212，點(diǎn)Q的軌跡方程為y±2，x2,2，此軌跡是兩條平行于x軸的線段；當(dāng)2<，即0<&

13、lt;時(shí)，得到1，此軌跡表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足x2,2的部分；11分當(dāng)2>，即>時(shí)，得到1，此軌跡表示長軸在x軸上的橢圓滿足x2,2的部分12分溫馨提醒此題求軌跡既有直接法，又有相關(guān)點(diǎn)法求出軌跡方程后，容易忽略x的范圍，導(dǎo)致軌跡圖形出錯(cuò)備考建議：(1)區(qū)分求軌跡方程與求軌跡的問題(2)對常見的曲線特征要熟悉掌握(3)除此之外，正確進(jìn)行化簡與計(jì)算是必須具備的基本能力.方法與技巧求軌跡的常用方法(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x、y的等式就得到曲線的軌跡方程(2)待定系數(shù)法：

14、已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)(3)定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡(如直線或圓錐曲線)的定義，則可根據(jù)定義采用設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)如果相關(guān)點(diǎn)P所滿足某一曲線方程，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)點(diǎn)代入曲線方程，就把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫作相關(guān)點(diǎn)法或代入法失誤與防范1求軌跡方程時(shí)，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對應(yīng)關(guān)系檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實(shí)際意

15、義2求點(diǎn)的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1 已知命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程f(x，y)0的解”是正確的，則下列命題中正確的是()A滿足方程f(x，y)0的點(diǎn)都在曲線C上B方程f(x，y)0是曲線C的方程C方程f(x，y)0所表示的曲線不一定是CD以上說法都正確答案C解析曲線C可能只是方程f(x，y)0所表示的曲線上的某一小段，因此只有C正確2 設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0相切，則C的圓心軌跡為()A拋物線 B雙曲線C橢圓 D圓答案A解析設(shè)圓C的半徑為r，則圓心C到直線y

16、0的距離為r.由兩圓外切可得，圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離為r1，也就是說，圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y0的距離大1，故點(diǎn)C到點(diǎn)(0,3)的距離和它到直線y1的距離相等，符合拋物線的特征，故點(diǎn)C的軌跡為拋物線3 設(shè)點(diǎn)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|1，則P點(diǎn)的軌跡方程為()Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22答案D解析由題意知P到圓心(1,0)的距離為，P的軌跡方程為(x1)2y22.4 ABC的頂點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A.1B.1C.1 (x>3)D.1 (x>4)

17、答案C解析如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為1 (x>3)5 有一動(dòng)圓P恒過定點(diǎn)F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A、B，若ABP為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為()A直線 B圓 C橢圓 D雙曲線答案D解析設(shè)P(x，y)，動(dòng)圓P的半徑為R，由于ABP為正三角形，P到y(tǒng)軸的距離dR，即|x|R.而R|PF|，|x|·.整理得(x3a)23y212a2，即1.點(diǎn)P的軌跡為雙曲線二、填空題6 設(shè)P是圓x2y2100上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(8,0)，線段AP的垂直平分

18、線交半徑OP于M點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡為_答案橢圓解析如圖，設(shè)M(x，y)，由于l是AP的垂直平分線，于是|AM|PM|，又由于10|OP|OM|MP|OM|MA|，即|OM|MA|10，也就是說，動(dòng)點(diǎn)M到O(0,0)及A(8,0 )的距離之和是10，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)(0,0)、A(8,0)為焦點(diǎn)，中心在(4,0)，長半軸長是5的橢圓7 已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_答案(x10)2y236(y0)解析設(shè)A(x，y)，則D(，)，|CD| 3，化簡得(x10)2y236，由于A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，A不能落在x軸上，即y0.8 P

19、是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_答案1解析由于，又22，設(shè)Q(x，y)，則(，)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，又P在橢圓上，則有1上，即1.三、解答題9 已知曲線E：ax2by21(a>0，b>0)，經(jīng)過點(diǎn)M(，0)的直線l與曲線E交于點(diǎn)A，B，且2.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2)，求曲線E的方程解設(shè)A(x0，y0)，B(0,2)，M(，0)，故(，2)，(x0，y0)由于2，(，2)2(x0，y0)x0，y01，即A(，1)A，B都在曲線E上，解得.曲線E的方程為x21.10已知點(diǎn)P是圓O：x2y29上的任意一點(diǎn)，過P作PD垂直x軸于D，動(dòng)點(diǎn)

20、Q滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)E(1,1)，在動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的點(diǎn)M、N，使()(O是坐標(biāo)原點(diǎn))若存在，求出直線MN的方程；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，依題意，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)，又，即.P在圓O上，故xy9，1.點(diǎn)Q的軌跡方程為1.(2)存在假設(shè)橢圓1上存在兩個(gè)不重合的點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)滿足()，則E(1,1)是線段MN的中點(diǎn)，且有，即.又M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓1上，兩式相減，得0.kMN，直線MN的方程為4x9y130.橢圓上存在點(diǎn)M、N滿足()，此

21、時(shí)直線MN的方程為4x9y130.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1 已知定點(diǎn)P(x0，y0)不在直線l：f(x，y)0上，則方程f(x，y)f(x0，y0)0表示一條()A過點(diǎn)P且平行于l的直線B過點(diǎn)P且垂直于l的直線C不過點(diǎn)P但平行于l的直線D不過點(diǎn)P但垂直于l的直線答案A解析由題意知f(x0，y0)0，又f(x0，y0)f(x0，y0)0，直線f(x，y)0與直線f(x，y)f(x0，y0)0平行，且點(diǎn)P在直線f(x，y)f(x0，y0)0上2 平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(1,3)，若點(diǎn)C滿足12(O為原點(diǎn))，其中1，2R，且121，則點(diǎn)C的軌跡是()A直線 B橢圓C圓

22、 D雙曲線答案A解析設(shè)C(x，y)，則(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一條直線3 點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)作F1PF2外角平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線答案A解析如圖，延長F2M交F1P延長線于N.|PF2|PN|，|F1N|2a.連接OM，則在NF1F2中，OM為中位線，則|OM|F1N|a.M的軌跡是圓4 已知M(2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_答案x2y24 (x±2)解析設(shè)P(x，y)，因?yàn)镸PN為直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.M，N