高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)75《不等式的證明》(教師版)

1、課時作業(yè)75不等式的證明1已知函數(shù)f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)<|x|1；(2)若對x，yR，有|xy1|，|2y1|，求證：f(x)<1.解：(1)f(x)<|x|1，|2x1|<|x|1，即或或得x<2或0<x<或無解故不等式f(x)<|x|1的解集為x|0<x<2(2)證明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|2×<1.2已知x，y都是正實數(shù)，且xy2.(1)求x2y2的最小值；(2)求證：2和2至少有一個成立解：(1)(x2y2)0，當(dāng)且僅當(dāng)x

2、y時等號成立，所以x2y22，當(dāng)xy1時，x2y2取得最小值，最小值為2.(2)證明：假設(shè)2和2都不成立，則有>2且>2，即1x>2y且1y>2x，兩式相加，得2xy>2x2y，即xy<2，這與已知矛盾，因此2和2至少有一個成立3已知實數(shù)a，b滿足a24b24.(1)求證：a2；(2)若對任意的a，bR，|x1|x3|ab恒成立，求實數(shù)x的取值范圍解：(1)證明：因為a24b24，所以a|a|·2.(2)由a24b24及a24b224|ab|，可得|ab|1，所以ab1，當(dāng)且僅當(dāng)a，b或a，b時取等號因為對任意的a，bR，|x1|x3|ab恒成立，

3、所以|x1|x3|1.當(dāng)x1時，|x1|x3|4，不等式|x1|x3|1恒成立；當(dāng)1<x<3時，|x1|x3|2x2，由得1<x；當(dāng)x3時，|x1|x3|4，不等式|x1|x3|1不成立綜上可得，實數(shù)x的取值范圍是x|x4已知函數(shù)f(x)x1|3x|，x1.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若f(x)的最小值為n，正數(shù)a，b滿足2naba2b，求證：2ab.解：(1)根據(jù)題意，若f(x)6，則有或解得1x4，故原不等式的解集為x|1x4(2)證明：函數(shù)f(x)x1|3x|分析可得f(x)的最小值為4，即n4，則正數(shù)a，b滿足8aba2b，即8，2ab(2ab)，原不等式得

4、證5已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)若x0R，使不等式f(x02)f(x03)u成立，求滿足條件的實數(shù)u的集合M；(2)已知t為集合M中的最大正整數(shù)，若a>1，b>1，c>1，且(a1)(b1)(c1)t，求證：abc8.解：(1)由已知得f(x2)f(x3)|x1|x2|則1f(x2)f(x3)1，由于x0R，使不等式|x01|x02|u成立，所以u1，即Mu|u1(2)證明：由(1)知t1，則(a1)(b1)(c1)1，因為a>1，b>1，c>1，所以a1>0，b1>0，c1>0，則a(a1)12>0(當(dāng)且僅當(dāng)a2時等號成立)，b

5、(b1)12>0(當(dāng)且僅當(dāng)b2時等號成立)，c(c1)12>0(當(dāng)且僅當(dāng)c2時等號成立)，則abc88(當(dāng)且僅當(dāng)abc2時等號成立)6已知函數(shù)f(x)|2x1|2x1|，不等式f(x)2的解集為M.(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|ab|1.解：(1)f(x)2，即|2x1|2x1|2，當(dāng)x時，得(2x1)(12x)2，解得x，故x；當(dāng)<x<時，得(2x1)(2x1)2，即22，故<x<；當(dāng)x時，得(2x1)(2x1)2，解得x，故x.所以不等式f(x)2的解集Mx|x(2)證明：證法一當(dāng)a，bM時，a，b，得|a|，|b|.當(dāng)(ab)(ab)0

6、時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|1，當(dāng)(ab)(ab)<0時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|1，所以|ab|ab|1.證法二當(dāng)a，bM時，a，b，得|a|，|b|.(|ab|ab|)22(a2b2)2|a2b2|因為a2，b2，所以4a21,4b21.故(|ab|ab|)21，所以|ab|ab|1.7已知函數(shù)f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集為0,1(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求證：axbycz1.解：(1)由f(x1)0，得|x|x1|m.|x|x1|1恒成立，若m<1，不等式|x|x1|

7、m的解集為，不合題意；若m1，不等式|x|x1|1的解集為0,1若m>1，當(dāng)x<0時，x<0；當(dāng)0x1時，得x1xm,0x1；當(dāng)x>1時，得2x1m,1<x.綜上可知，不等式|x|x1|m的解集為.由題意知，原不等式的解集為0,10，1，解得m1.m1.(2)證明：x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，當(dāng)且僅當(dāng)xa，yb，zc時等號成立三式相加，得x2y2z2a2b2c22ax2by2cz.由題設(shè)及(1)，知x2y2z2a2b2c2m1，22(axbycz)，axbycz1，不等式得證8設(shè)函數(shù)f(x)x|x2|x3|m，若xR，4f(x)恒成立(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求證：log(m1)(m2)>log(m2)(m3)解：(1)xR，4f(x)恒成立，mx|x2|x3|4恒成立令g(x)x|x2|x3|4函數(shù)g(x)在(，3上是增函數(shù)，在(3，)上是減函數(shù)，g(x)maxg(3)2，mg(x)max2，即m200，m>0，綜上，實數(shù)m的取值范圍是(0，)(2)證明：由m>0，知m3>m2>m1>1，即lg(m3)>lg(m2)>lg(m1)>lg 10.要證log(m1)