金融時間序列分析 第2部分 時間序列分析基礎(chǔ)5.1 ARMA建模過程

1、金融時間序列分析金融時間序列分析 陸貴斌2012年年10月月建模過程建模過程 內(nèi)容內(nèi)容 第1部分 ARMA建模第2部分 ARIMA建模第3部分 ARCH建模第4部分 協(xié)整建模一、一、ARMA建模建模v 建模步驟v 模型識別v 參數(shù)估計v 模型檢驗v 模型優(yōu)化v 序列預(yù)測建模步驟建模步驟平平穩(wěn)穩(wěn)非非白白噪噪聲聲序序列列計計算算樣樣本本相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)模型模型識別識別參數(shù)參數(shù)估計估計模型模型檢驗檢驗?zāi)ＤＰ托蛢?yōu)優(yōu)化化序序列列預(yù)預(yù)測測YN計算樣本相關(guān)系數(shù)計算樣本相關(guān)系數(shù)v樣本自相關(guān)系數(shù)v樣本偏自相關(guān)系數(shù)nttkntkttkxxxxxx121)()(DDkkk模型識別模型識別v 基本原則選擇模型拖尾P階

2、截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)kkk模型定階的困難模型定階的困難v 因為由于樣本的隨機性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的 或 仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況v 由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù) ， 與 都會衰減至零值附近作小值波動v 當 或 在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？ kkkkkkkkkk樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布樣本相關(guān)系數(shù)的近似分布v Barlettv QuenouillennNk,)1, 0(nnNkk,)1,

3、0(模型定階經(jīng)驗方法模型定階經(jīng)驗方法v 95的置信區(qū)間v 模型定階的經(jīng)驗方法 如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標準差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。 這時，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。階數(shù)為d。22Pr0.9522Pr0.95kkknnnn例例2v 選擇合適的模型ARMA擬合1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。序列自相關(guān)圖序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識別擬合模型識別v 自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)全部衰減到2倍標準差范圍內(nèi)波動，這表明序列明顯地短期相關(guān)。

4、但序列由顯著非零的相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關(guān)系數(shù)可視為不截尾 v 偏自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的偏自相關(guān)系數(shù)顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)作小值隨機波動，而且由非零相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關(guān)系數(shù)可視為一階截尾 v 所以可以考慮擬合模型為AR(1)例例2美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列 序列自相關(guān)圖序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識別擬合模型識別v 自相關(guān)圖顯示除了延遲1階的自相關(guān)系數(shù)在2倍標準差范圍之外，其它階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)波動。根據(jù)這個特點可以判

5、斷該序列具有短期相關(guān)性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾v 偏自相關(guān)系數(shù)顯示出典型非截尾的性質(zhì)。v 綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為MA(1) 例例3v 1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列 序列自相關(guān)圖序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型識別擬合模型識別v 自相關(guān)系數(shù)顯示出不截尾的性質(zhì)v 偏自相關(guān)系數(shù)也顯示出不截尾的性質(zhì)v 綜合該序列自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列參數(shù)估計參數(shù)估計v 待估參數(shù) 個未知參數(shù)v 常用估計方法 矩估計 極大似然估計 最小二乘估計2pq211, ,

6、pq 矩估計矩估計v 原理 樣本自相關(guān)系數(shù)估計總體自相關(guān)系數(shù) 樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差111111( ,)( ,)pqp qpqp q 1niixxn2221221211xqp例例4: 求求AR(2)模型系數(shù)的矩估計模型系數(shù)的矩估計v AR(2)模型v Yule-Walker方程v 矩估計（Yule-Walker方程的解）ttttxxx22112112121112121112121221例例5: 求求MA(1)模型系數(shù)的矩估計模型系數(shù)的矩估計v MA(1)模型v 方程v 矩估計11tttx2201111220111(1)1 12112411例例6: 求求ARMA(1,1)

7、模型系數(shù)的矩估計模型系數(shù)的矩估計v ARMA(1,1)模型v 方程v 矩估計1111ttttxx1111 112011 1211()(1)12 1122122112121,2,242,24,ccccccc對矩估計的評價對矩估計的評價v 優(yōu)點 估計思想簡單直觀 不需要假設(shè)總體分布 計算量?。ǖ碗A模型場合）v 缺點 信息浪費嚴重只用到了p+q個樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略 估計精度差v 通常用作極大似然估計和最小二乘估計迭代計算的初始值 極大似然估計極大似然估計v 原理 在極大似然準則下，認為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。 使得似然函數(shù)（即聯(lián)合密度函數(shù)）達到最大的參數(shù)值 ,);(ma

8、x),;,(21121kkxpxxL似然方程似然方程0);(0);(2xlxl對極大似然估計的評價對極大似然估計的評價v 優(yōu)點 充分應(yīng)用了每一個觀察值所提供的信息，估計精度高 優(yōu)良的統(tǒng)計性質(zhì): 估計的一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性v 缺點 需要假定總體分布最小二乘估計最小二乘估計v 原理 使殘差平方和達到最小的那組參數(shù)值即為最小二乘估計值 ntqtqtptpttxxxQQ121111)(min)(min)(對最小二乘估計的評價對最小二乘估計的評價v 優(yōu)點 最小二乘估計充分應(yīng)用了每一個觀察值所提供的信息，因而它的估計精度高v 缺點 需要假定總體分布模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗v 模型的顯著性檢驗 整個模型對

9、信息的提取是否充分v 參數(shù)的顯著性檢驗 模型結(jié)構(gòu)是否最簡模型的顯著性檢驗?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗v 目的 檢驗?zāi)Ｐ偷挠行裕▽π畔⒌奶崛∈欠癯浞郑﹙ 檢驗對象 殘差序列v 判定原則 一個好的擬合模型：能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列 反之: 殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，擬合模型不夠有效假設(shè)條件假設(shè)條件v 原假設(shè)：殘差序列為白噪聲序列v 備擇假設(shè)：殘差序列為非白噪聲序列0120,1mHm：mkmHk，：至少存在某個1, 01檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量v LB統(tǒng)計量221(2)() ( )mkkLBn nmnk例例v 檢驗1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比

10、例序列擬合模型的顯著性 v 殘差白噪聲序列檢驗結(jié)果延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值檢驗結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361參數(shù)顯著性檢驗參數(shù)顯著性檢驗v 目的 檢驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。刪除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡 v 假設(shè)條件v 檢驗統(tǒng)計量mjHHjj10:0:10)()(tmntQamnjjjj例例 v 檢驗1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數(shù)是否顯著 v 參數(shù)檢驗結(jié)果檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值46.120.0001顯著6.720.0001顯著1例例 : 對對OVERSHORTS序列的擬合模型進行

11、檢驗序列的擬合模型進行檢驗 v 殘差白噪聲檢驗v 參數(shù)顯著性檢驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值3.750.0004顯著10.600.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論63.150.6772模型顯著有效129.050.61711模型優(yōu)化模型優(yōu)化v 問題提出 當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列， 但這種有效模型并不是唯一的。v 優(yōu)化的目的 選擇相對最優(yōu)模型 例例 : 擬合某一化學(xué)序列擬合某一化學(xué)序列序列自相關(guān)圖序列自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖序列偏自相關(guān)圖擬合模型一擬合模型一v 根據(jù)自相關(guān)系數(shù) 2 階截尾，擬合 MA(2) 模型v 參數(shù)估計v 模型檢驗 模型

12、顯著有效 三參數(shù)均顯著 ttBByield)31009. 032286. 01 (17301.512擬合模型二擬合模型二v 根據(jù)偏自相關(guān)系數(shù)1階截尾，擬合 AR(1) 模型v 參數(shù)估計v 模型檢驗 模型顯著有效 兩參數(shù)均顯著 Byieldtt42481. 0126169.51問題問題v 同一個序列可以構(gòu)造兩個擬合模型，兩個模型都顯著有效，v 那么到底該選擇哪個模型用于統(tǒng)計推斷呢？ v 解決辦法 確定適當?shù)谋容^準則，構(gòu)造適當?shù)慕y(tǒng)計量，確定相對最優(yōu)AIC準則準則v 最小信息量準則（An Information Criterion） v 指導(dǎo)思想 似然函數(shù)值越大越好 未知參數(shù)的個數(shù)越少越好 v AI

13、C統(tǒng)計量)(2)ln(2未知參數(shù)個數(shù)nAICSBC準則準則v AIC準則的缺陷 在樣本容量趨于無窮大時，由AIC準則選擇的模型不收斂于真實模型，它通常比真實模型所含的未知參數(shù)個數(shù)要多 v SBC統(tǒng)計量)(ln()ln(2未知參數(shù)nnSBC例例 v 用AIC準則和SBC準則評判 兩個擬合模型的相對優(yōu)劣 v 結(jié)果 AR(1)優(yōu)于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866序列預(yù)測序列預(yù)測v 線性預(yù)測函數(shù)v 預(yù)測方差最小原則10titiixC x ( )( )min( )t lxttVare lVar e lMA序列分解序列分解 11

14、1111( )( )t lt lt lltltltttxGGGGe lx l 預(yù)測誤差預(yù)測誤差預(yù)測值預(yù)測值)(),()( ),(11leVarxxxVarlxxxxEtttltttlt誤差分析誤差分析v 估計誤差v 期望v 方差1111)(tlltlttGGle1022)(liitGleVar0)(leEtAR(p)序列的預(yù)測序列的預(yù)測v 預(yù)測值v 預(yù)測方差v 95置信區(qū)間)() 1()( 1plxlxlxtpt22121)1 ()(ltGGleVar12221112 ( )1tlx lzGG例例v 已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型（單位：萬元/每月）v 今年第一季度該超市月銷售額分別

15、為：101，96，97.2萬元v 請確定該超市第二季度每月銷售額的95的置信區(qū)間 12100.60.3,(0,36)tttttxxxN例例 ：預(yù)測值計算：預(yù)測值計算v 四月份v 五月份v 六月份12.973 . 06 . 010) 1 (233xxx432.973 . 0) 1 (6 . 010)2(333xxx5952.97) 1 (3 . 0)2(6 . 010)3(333xxx例例 ：預(yù)測方差的計算：預(yù)測方差的計算v GREEN函數(shù)v 方差01102112010.60.360.30.66GGGGGG6416.64)()3(96.48)()2(36)1 (22221203221203220

16、3GGGeVarGGeVarGeVar例例 ：置信區(qū)間：置信區(qū)間v 公式v 估計結(jié)果)(96. 1)(,)(96. 1)(3333leVarlxleVarlx預(yù)測時期95置信區(qū)間四月份（85.36，108.88） 五月份（83.72，111.15） 六月份（81.84，113.35） 例例 北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預(yù)測圖北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預(yù)測圖 MA(q)序列的預(yù)測序列的預(yù)測v 預(yù)測值v 預(yù)測方差qlqllxqliiltit,)(qlqlleVarqlt,)1 (,)1 ()(222122121例例 v 已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬）

17、：v 最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預(yù)測數(shù)量如下：v 預(yù)測未來5年該地區(qū)常住人口的95置信區(qū)間3212 . 06 . 08 . 0100tttttx年份統(tǒng)計人數(shù)預(yù)測人數(shù)200210411020031081002004105109例例 隨機擾動項的計算隨機擾動項的計算4109105) 1 (8100108) 1 (6110104) 1 (20032004200220031200120022xxxxxxttt例例 ：估計值的計算：估計值的計算100)5(100)4(8 .1002 . 0100) 3(962 . 06 . 0100)2(2 .1092 . 06 . 08 . 0100) 1 (121

18、tttttttttttxxxxx例：預(yù)測方差的計算例：預(yù)測方差的計算51)1 ()5(51)1 ()4(50)1 ()3(41)1 ()2(25)1 (22322212232221222212212ttttteVareVareVareVareVar例：置信區(qū)間的計算例：置信區(qū)間的計算預(yù)測年份95置信區(qū)間2005（99，119） 2006（83，109） 2007（87，115） 2008（86，114） 2009（86，114） ARMA(p,q)序列預(yù)測序列預(yù)測v 預(yù)測值v 預(yù)測方差0,1,)()(kxkkxkxkttt2212110)()(ltGGGleVar例例 v 已知模型為：v 且

19、v 預(yù)測未來3期序列值的95的置信區(qū)間。 110.80.6ttttxx0025. 021000.3x1000.01例：估計值的計算例：估計值的計算14976. 0)2(8 . 0)3(1872. 0) 1 (8 . 0)2(234. 06 . 08 . 0) 1 (100100100100100100100 xxxxxx例例 預(yù)測方差的計算預(yù)測方差的計算v Green函數(shù)v 方差16. 02 . 0111210110GGGGG002664. 0)()3(0026. 0)()2(0025. 0)1 (222212010022120100220100GGGeVarGGeVarGeVar例：置信區(qū)間的計算例：置信區(qū)間的計算時期95置信區(qū)間101（0.136，0.332） 102（0.087，0.287） 103（0.049，0.251） 修正預(yù)測修正預(yù)測v 定義 所謂的修正預(yù)測就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測值 v