2019普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(福建卷)—數(shù)學(xué)(理)解析版

1、2019 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理）解析版注意事項(xiàng) ：認(rèn)真閱讀理解，結(jié)合歷年的真題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，查找不足！重在審題，多思考，多理解！無(wú)論是單選、多選還是論述題，最重要的就是看清題意。在論述題中， 問(wèn)題大多具有委婉性， 尤其是歷年真題部分，在給考生較大發(fā)揮空間的同時(shí)也大大增加了考試難度?？忌J(rèn)真閱讀題目中提供的有限材料，明確考察要點(diǎn)， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建議考生答題時(shí)用筆將重點(diǎn)勾畫出來(lái)，方便反復(fù)細(xì)讀。 只有經(jīng)過(guò)仔細(xì)推敲，揣摩命題老師的意圖，積極聯(lián)想知識(shí)點(diǎn)，分析答題角度，才能夠?qū)⒖键c(diǎn)鎖定，明確題意。數(shù)學(xué)理科第 I 卷選擇題共 50分【一】選擇題：本大題共10 小

2、題，每題 5 分，共50 分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1. 假設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 zi1i ，那么 z 等于A、 1 iB 、 1iC 、 1 i D、 1 i考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)的運(yùn)算。難度： 易。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)數(shù)的計(jì)算，直接套用復(fù)數(shù)運(yùn)算公式即可。解答：1izi(1i )( i ) 。i(i )i11i12. 等差數(shù)列 an 中， a1a510, a47 ，那么數(shù)列 an 的公差為A、 1B、 2C、 3D、 4考點(diǎn)： 等差數(shù)列的定義。難度： 易。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an a1 (n 1)d 。解答：2a14d10。d2a1 3d

3、7A、 x0R, ex00 B、xR,2xx2C、 a b0 的充要條件是 aD、 a1, b 1是 ab1 的充分條件b1考點(diǎn)： 邏輯。難度： 易。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)邏輯中的充要條件的判定。解答： A 中，xR, ex0 。B 中，x2, x4,2xx2 ，x,2xx2。C 中， ab0 的充要條件是 a。b0b1D 中， a1, b1可以得到 ab1，當(dāng) ab1 時(shí)，不一定可以得到a 1, b 1。3. 一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是A、球 B、三棱錐C、正方體D、圓柱考點(diǎn)： 空間幾何體的三視圖。難度： 易。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為空間幾何體的

4、三視圖，直接畫出即可。解答： 圓的正視圖主視圖 、側(cè)視圖左視圖和俯視圖均為圓；三棱錐的正視圖主視圖 、側(cè)視圖左視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖主視圖 、側(cè)視圖左視圖和俯視圖均為正方形；圓柱的正視圖主視圖、側(cè)視圖左視圖為矩形，俯視圖為圓。4. 以下不等式一定成立的是A、B、lg( x2 1 ) lg x(x0)sin x12( x k , k Z)4sin xC、 x 21 2 | x |( xR) D、11( xR)x21考點(diǎn)： 不等式及基本不等式。難度： 中。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為不等式的性質(zhì)及基本不等式的性質(zhì)。解答： A 中，x210時(shí)， x 21。x(當(dāng) xx)44B

5、中，1；1。sin x2(sin x( 0,1)sin x2(sin x 1,0)sin xsin xC 中， x22 | x | 1 (| x | 1) 20( x R) 。D 中，1。(0,1( x R)x215. 如下圖，在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 OABC 中任取一點(diǎn) P ，那么點(diǎn) P 恰好取自陰影部分的概率為A、1B、1C、1D、14567考點(diǎn)： 積分的計(jì)算和幾何概型。難度： 中。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為公式法計(jì)算積分和面型的幾何概型。解答：S()111，1231211 。S( A)(xx)dx( x2x) |00632所以S()1 。P( A)S( A)66. 設(shè)函數(shù)1, x為有理數(shù)

6、，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是D( x)0, x為無(wú)理數(shù)A、 D ( x) 的值域?yàn)?0,1 B、 D ( x) 是偶函數(shù)C、 D ( x) 不是周期函數(shù)D、 D ( x) 不是單調(diào)函數(shù)考點(diǎn)： 分段函數(shù)的解析式及其圖像的作法。難度： 中。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為分段函數(shù)的定義，單調(diào)性、奇偶性和周期性的定義和判定。解答： A 中， D ( x) 由定義直接可得，D ( x) 的值域?yàn)?0,1 。B 中， D ( x) 定義域?yàn)?R ，1, x為有理數(shù)，所以 D ( x) 為偶函數(shù)。D ( x)D( x)0, x為無(wú)理數(shù)C 中，1, x為有理數(shù)D( x)，所以可以找到1 為 D (x) 的一個(gè)周期。

7、D( x1)0, x為無(wú)理數(shù)D中， D(1)1,D( 2) 0,D(2)1. ，所以不是單調(diào)函數(shù)。7. 雙曲線 xy2的右焦點(diǎn)與拋物線y212 x 的焦點(diǎn)重合， 那么該雙曲線的焦點(diǎn)到其24b21漸近線的距離等于A、5 B、 4 2 C、3D、5考點(diǎn)： 雙曲線的定義。難度： 中。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為雙曲線的定義，焦點(diǎn)，漸近線，拋物線的定義。解答： 拋物線 y 212 x 的焦點(diǎn)為 (3,0) 。雙曲線中， b29 45 。雙曲線漸近線方程為5 x。y2所以焦點(diǎn)到漸近線的距離35。d25 ) 251(28. 假設(shè)直線 y 2x 上存在點(diǎn) ( x, y) 滿足約束條件xy30，那么實(shí)數(shù) m 的

8、最大值x2y30xm為A、 1 B、1C、 3 D、222考點(diǎn)： 線性規(guī)劃。難度： 中。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為含參的線性規(guī)劃，需要畫出可行域的圖形，含參的直線要能畫出大致圖像。解答： 可行域如下：（0,3）y2x(m,3m)（3,0）（ ， 3）0 -2所以，假設(shè)直線y2 x 上存在點(diǎn) ( x, y) 滿足約束條件xy30 ，x2y30xm那么 3m 2m ，即 m1。9. 函數(shù)f ( x)在 a, b上 有 定 義 ， 假 設(shè) 對(duì) 任 意 x1 , x2 a, b ， 有f ( x1x2 )1，那么稱f ( x)在a, b上具有性質(zhì)P 。設(shè)f ( x)在 f ( x1 ) f (x2 )

9、221,3上具有性質(zhì) P ，現(xiàn)給出如下命題： f ( x) 在 1,3 上的圖像時(shí)連續(xù)不斷的； f ( x2 ) 在 1, 3 上具有性質(zhì) P ；假設(shè) f ( x) 在 x2 處取得最大值1，那么 f ( x) 1， x1,3 ；對(duì)任意x1, x2 , x3 , x41,3，有f ( x1x2x3x4 )1 f ( x1 )。f ( x2 ) f ( x3 )f ( x4 )24其中真命題的序號(hào)是A、 B、 C、 D、考點(diǎn)： 演繹推理和函數(shù)。難度： 難。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)定義的理解，說(shuō)明一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤只需舉出反例即可，說(shuō)明一個(gè)結(jié)論正確要證明對(duì)所有的情況都成立。解答： A 中，反例：如

10、下圖的函數(shù)f ( x) 的是滿足性質(zhì) P 的，但 f ( x) 不是連續(xù)不斷的。B 中，反例： f ( x)x 在 1,3上具有性質(zhì)P ， f ( x2 )x2在 1,3 上不具有性質(zhì) P 。C 中，在 1,3上，x(4x)1f (4，f (2)f (2) f ( x)x)2f ( x)f ( 4x)2，f ( x)f ( x) maxf (2) 1f (x)1f ( 4x) f ( x) maxf (2)1所以，對(duì)于任意x1 , x21,3,f ( x) 1。D 中，x3 x4 ) f ( ( x1x4 ) )f ( x1 x2x2 ) ( x3221 f ( x1x2 )f ( x3。x4

11、 )2221 1 ( f ( x1 )f ( x2 )1 ( f ( x1) f ( x2 )2221 f ( x1 )f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )4第二卷非選擇題共100 分【二】填空題：本大題共4 小題，每題4 分，共 16 分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。10. (a x)4 的展開(kāi)式中x 3 的系數(shù)等于8，那么實(shí)數(shù) a_?！?】考點(diǎn)： 二項(xiàng)式定理。難度： 易。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，直接應(yīng)用即可。解答： (ax) 4 中含 x 3 的一項(xiàng)為 Tr 1C4r a4 r xr ，令 r3 ，那么 C 43a 4 38 ，即 a2 。11. 閱讀

12、右圖所示的程序框圖， 運(yùn)行相應(yīng)地程序， 輸出的 s 值等于 _ ?！?3 】考點(diǎn)： 算法初步。難度： 易。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為算法中流程圖的讀法，直接根據(jù)箭頭的指向運(yùn)算即可。解答： k1, s1 ；s2111, k2 ；s2120, k3；s 2 0 3 3, k4 ；結(jié)束。12.ABC 的三邊長(zhǎng)成公比為2 的等比數(shù)列，那么其最大角的余弦值為_(kāi) ?！? 】4考點(diǎn)： 等比數(shù)列和余弦定理。難度： 易。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為等比數(shù)列的定義和余弦定理的應(yīng)用。解答： 設(shè)ABC 三邊為 am,b2m, c2m ，那么可得C 所對(duì)的邊最大，且a2b2c22。cosC2ab13. 數(shù)列 an 的通項(xiàng)

13、公式ann cosn，前 n 項(xiàng)和為Sn ，那么 S2012_。21【 3018】考點(diǎn)： 數(shù)列和三角函數(shù)的周期性。難度： 中。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為三角函數(shù)的周期性和數(shù)列求和，所以先要找出周期，然后分組計(jì)算和。解答：1) cos (4n1)，a4n 1(4n1( 4n1)cos10122(4n2)，a4 n(4n2)1(4n2)cos1( 4n2) 12cos2cos (4n3)cos 3，a4 n3(4n3)1( 4n3)10122cos (4n4)，a4 n 4(4n 4)21 ( 4n4)cos214n 4 1所以 a4n 1a4n 2a4n 3a4 n 46 。即2012。S201

14、26 3018414. 對(duì)于實(shí)數(shù) a, b，定義運(yùn)算 “”：a 2ab, ab ，設(shè) f ( x)( 2x 1) ( x 1) ，ab2ab, abb且關(guān)于 x 的方程為f ( x)m(mR) 恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1, x2 , x3，那么x1 x2 x3 的取值范圍是 _?！?13】(,0)16考點(diǎn)： 演繹推理和函數(shù)。難度： 難。分析： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)為新定義的理解，函數(shù)與方程中根的個(gè)數(shù)。解答： 由題可得，x( 2x1), x0f ( x)x( x1), x01 1(,)ymxx1(0,0) xx2xx3(1,0)可得m (0, 1 ), x21 , x1，x3042且1 , x2

15、x3m, | x1 |4所以1 時(shí)，| x1x2 x3 |max13 ，m164所以 m13。(16,0)【三】解答題：本大題共6 小題，共84 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15. 本小題總分值 13 分受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)， 某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車， 保修期均為 2 年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取 50 輛，統(tǒng)計(jì)書數(shù)據(jù)如下：將頻率視為概率，解答以下問(wèn)題： I 從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； II 假設(shè)該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌

16、轎車的利潤(rùn)為X 1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X 2，分別求 X 1， X 2的分布列； III 該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車， 假設(shè)從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮， 你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說(shuō)明理由?？键c(diǎn)： 統(tǒng)計(jì)概率及隨機(jī)變量。難度： 易。分析：解答： I 首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為231P1050 II 隨機(jī)變量 X1的分布列為隨機(jī)變量X 2的分布列為X1123X 21.82.9 III13919EX11123392.86P255010P50101010(萬(wàn)元)25EX 21.812.991010(萬(wàn)元)EX1EX 2所以應(yīng)該生產(chǎn)甲品牌汽車

17、。16. 本小題總分值 13 分某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)。 1 sin2 130cos2 17 0sin130cos170 ； 2 sin2 150cos2 150sin 150cos150 ； 3 sin2 180cos2 12 0sin18 0 cos120 ； 4sin2020sin(00；(13 )cos4818)cos48 5 sin2 (250 )cos2550sin(25)0 cos550 。 I 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； II 根據(jù)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。考點(diǎn)： 三角恒等變換。難度： 中

18、。分析：解答： I 選擇 2：cos2 150sin15 0 cos1501 sin 30 03sin 2 150124 II 三角恒等式為：cos2 (30 0cos(3003sin 2) sin)4sin 2cos2 (300) sincos(300)lbylfxsin 2( 3 cos1 sin)2sin( 3 cos1 sin )22223 sin 23 cos2344417. 本小題總分值 13 分如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1 D1中， AA1AD1，E為CD中點(diǎn)。求證： B1 EAD1；在棱 AA1上是否存在一點(diǎn)P ，使得 DP / 平面 B1 AE ？假設(shè)存在，求AP 的長(zhǎng)

19、；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。假設(shè)二面角A B1E A1的大小為 300 ，求 AB 的長(zhǎng)?？键c(diǎn)： 立體幾何。難度： 中。分析：解答：長(zhǎng)方體 ABCDA1 B1C1D1中， AA1AD1得： AD1 A1D, AD1A1B1, A1D A1B1A1A1D面 A1B1CDB1E面 A1B1CDB1E AD1取 AA1的中點(diǎn)為 P ， AB1中點(diǎn)為 Q ，連接 PQ在AA1 B1中，11面PQ/ /2A1B1,DE/ /2A1B1PQ/ /DEPD /QE PD / /B1 AE此時(shí)1 AA11AP22設(shè) A1D AD1 O ，連接 AO ，過(guò)點(diǎn) O 作 OHB1E 于點(diǎn) H ，連接 AHA1O面 A1

20、B1CD ， OH B1EAH B1E得：AHO 是二面角 AB1E A1的平面角AHO30在 Rt AOH 中，AHO30 ,AOH90 ,AH262OH2在矩形 A1B1CD 中， CDx, A D21S B1OE1x1212x32x2x222x22282212x26224x2得：AB218. 本小題總分值 13 分如圖，橢圓x2y2的左焦點(diǎn)為 F1，右焦點(diǎn)為 F2，離心率1 。E :a2b2 1(a b0)e2過(guò) F1的直線交橢圓于A, B 兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為 8。求橢圓E 的方程。設(shè)動(dòng)直線l : ykxm 與橢圓 E 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) P ，且與直線 x 4 相交于點(diǎn) Q 。試

21、探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M ，使得以 PQ 為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) M ？假設(shè)存在， 求出點(diǎn)M 的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。考點(diǎn)： 三角恒等變換。難度： 難。分析：解答：設(shè) ca2b2那么ec1a2c3a24b2a2ABF2的周長(zhǎng)為ABAF2BF28AF1AF2 BF1 BF2 84a 8a2, b3, c 1橢圓 E 的方程為 x2y2143由對(duì)稱性可知設(shè)P( x0 , y0 )( y00) 與 M ( x,0)x2y21y3x2y3x3x034 3 3 x2k4 344 y04直線3x0Q (4, 3(1x0 ) )l : yy0( xx0 )4 y0y03(1x0 )* MPMQ 0x

22、0 (x 1) (x 1)( x 3)( x x0 )( x 4) y00y0 * 對(duì) x0(2, 2) 恒成立x1，得 M (1,0)19. 本小題總分值 14 分函數(shù) f ( x) exax 2ex, aR假設(shè)曲線 yf ( x) 在點(diǎn) (1, f (1) 處的切線平行于x 軸，求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間；試確定 a 的取值范圍，使得曲線yf ( x) 上存在唯一的點(diǎn)P ，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P 。考點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)。難度： 難。分析：解答： f (x)exax2exf ( x)ex2ax e由題意得： f(1)e2a e0a0f (x) exe 0x 1, f ( x)

23、0x 1得：函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,) ，單調(diào)遞減區(qū)間為 (,1)設(shè)P(x0 , f (x0 ) ；那么過(guò)切點(diǎn)P 的切線方程為 yf ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )令 g( x)f ( x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ；那么 g(x0 )0切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)Pg ( x) 0 只有一個(gè)根 x0g ( x)f (x) f ( x0 ) exex02a( x x0 ) ，且 g ( x0 ) 0 1當(dāng) a 0 時(shí)， g ( x) 0x x0 , g ( x) 0x x0得：當(dāng)且僅當(dāng) xx0時(shí)， g(x)ming(x0 ) 0由 x0的任意性

24、，a0 不符合條件 lbylfx 2當(dāng) a0 時(shí)，令h( x) exex02a( xx0 ) h ( x)ex2a0x xln(2a)當(dāng) xx0 時(shí)， h (x) 0x x0 , h (x) 0x x0當(dāng)且僅當(dāng) xx0時(shí)， g (x)g ( x0 )0g( x) 在 xR上單調(diào)遞增g( x)0 只有一個(gè)根 x0當(dāng) xx0 時(shí)， h (x) 0x x , h (x) 0x x得： g ( x )g ( x0 ) 0 ，又 x, g (x), x, g ( x)存在兩個(gè)數(shù)x0x 使， g ( x0 )g (x )0得： g ( x)0x0x xg( x ) g (x0 ) 0 又 x, g (x)

25、存在 x1x使 g( x )0 ，與條件不符。當(dāng) xx0時(shí)，同理可證，與條件不符從上得： 當(dāng) a 0 時(shí)，存在唯一的點(diǎn) P(ln(2a), f (ln(2a) 使該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) P20. 此題設(shè)有 1、 2、 3三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2 題作答，總分值 14分。如果多做，那么按所做的前兩題計(jì)分。作答時(shí)，先用2B 鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)右邊的方框圖黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。 1本小題總分值7 分選修 4-2 ：矩陣與變換設(shè)曲線 2x 22xyy21 在矩陣a 0(a0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲Ab 1線為 x2y 21 。求實(shí)數(shù) a, b 的值。求 A2的逆矩陣。解： 設(shè)曲線 2x22xyy21上任一點(diǎn)P( x, y) 在矩陣 A 對(duì)應(yīng)變換下的像是P ( x , y )那么 xa0xaxxax(