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1、第三章課后練習(xí)答案1.解: 如果被解釋變量(因變量)y與k個解釋變量(自變量),之間有線性相關(guān)關(guān)系,那么它們之間的多元線性總體回歸模型可以表示為其中, 是k+1個未知參數(shù),又稱為回歸系數(shù);u是隨機誤差項。2.解: 多元線性回歸模型的基本有:(1)隨機誤差項的條件期望值為零。即,().(2)隨機誤差項的條件方差相同。即,().(3)隨機誤差項之間無序列相關(guān)。即,().(4)自變量與隨機誤差項獨立。即,().(5)隨機誤差項服從正態(tài)分布。即.(6)各解釋變量之間不存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。即,也就是說矩陣X的秩等于參數(shù)個數(shù),換句話說就是自變量之間不存在多重共線性.3. 解:的無偏估計量的計算公式為:
2、 4. 解:如果一個樣本回歸方程的樣本決定系數(shù)為0.98,我們不能判定這個樣本回歸方程就很理想.因為對于多元模型而言,樣本決定系數(shù)接近1,只能說明模型的擬合度很高,總體線性性顯著,但模型中每個解釋變量是否是顯著的無法判定,所以還需要進行單個解釋變量的顯著性檢驗,即t檢驗.5解:根據(jù)例3.1數(shù)據(jù),得到OLS的正規(guī)方程組:求解得到:所以樣本回歸方程為:6. 解:(1)利用OLS對數(shù)據(jù)進行回歸得到回歸方程如下:(2)由上述檢驗數(shù)據(jù)可以看出方程總體線性性顯著,單單個解釋變量并不顯著。(3)因為方程擬合程度較高,總體線性性顯著,所以模型可以用來進行預(yù)測:當(dāng)工業(yè)產(chǎn)量達到130000億元,農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值達到25
3、000億元時,貨運量能達到:(萬噸)7. 解:案例的方差分解結(jié)果所缺數(shù)據(jù)如下:ANOVAModel 1Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Regression42555.46176079.3524.785 .002 Residual29221.490231270.502 Total71776.95130 8. 解:從該案例的分析數(shù)據(jù)來看,結(jié)果不滿意。因為但從模型的擬合優(yōu)度(R2=0.8528)和總體線性顯著性(F=11.5874,F(xiàn)-statistic=0.0066)來看,結(jié)果還令人滿意,但具體到每個解釋變量的顯著性時,可以看到x1(t=0.5788,P=0.583
4、8)和x3(t=-1.4236,P=0.1978)甚至都無法通過=15%的顯著性檢驗,所以這兩個解釋變量顯然不顯著。 第四章課后練習(xí)答案1. 解:古典線性回歸模型的一個很重要的假定是隨機項的同方差性,即對于每個,的方差都是同一個常數(shù),當(dāng)此假定不能滿足時,則的方差在不同次的觀測中不再是一個常數(shù),而是取得不同的數(shù)值,即常數(shù) 1,2,則稱隨機項具有異方差性(Heteroscedasticity)。例如,考慮家庭的可支配收入和儲蓄的關(guān)系,如建立如下模型其中,為第個家庭的儲蓄,為第個家庭的收入。從二者的關(guān)系不難看出,當(dāng)收入增加時,儲蓄平均也會隨之增加。如果我們對不同收入水平家庭的儲蓄進行觀察,同樣也會發(fā)
5、現(xiàn),低收入的家庭儲蓄差異性較小,而高收入的家庭儲蓄的差異性較大。這是因為低收入的家庭,其收入中扣除必要的生活支出以外,用于其他支出和儲蓄的部分也較少,因此隨機項波動的程度小,即方差小;而高收入家庭,其收入中扣除必要的生活支出以外,剩余的就較多,就有更大的使用選擇余地,這樣儲蓄的差異就較大,因而隨機項波動的程度就大,即方差大。因此,對于家庭儲蓄模型,隨機項具有異方差性。2. 解:模型(1)無法使用OLS進行參數(shù)估計,因為隨機誤差項,即隨機誤差項與解釋變量的平方之間有著顯著地相關(guān)關(guān)系,這樣會造成隨機誤差項的異方差現(xiàn)象,所以O(shè)LS不可以使用。3. 解: 樣 本 是否存在異方差(a)公司利潤(b)嬰兒
6、死亡率(c)通貨膨脹率(d)收入水平(e)差錯率凈財富人均收入貨幣增長率年齡上機時間財富前500強100個發(fā)達國家和發(fā)展中國家美國、加拿大和15個拉美國家1000名經(jīng)濟學(xué)家200名電腦初學(xué)者存在不存在不存在存在存在4. 解:對某沿海地區(qū)家庭每年生活開支和每年收入進行抽樣研究,調(diào)查了20個家庭,其中每五個家庭收入相同,共分作四組,數(shù)據(jù)列表如下:組 家庭生活開支(千元)家庭收入(千元)11.82222.15233.23.53.53.61034.24.24.55.851544.855.766.220家庭生活開支模型設(shè)定為 式中:表示家庭生活開支,表示家庭收入利用求回歸方程: 。做散點圖,觀察家庭生活
7、開支離差量的變化情況。由圖形可以看出隨著收入的增加,家庭生活開支的波動幅度逐漸增大。把數(shù)據(jù)分作兩個子樣本,第一子樣本包括收入為5000元與10000元的家庭,即低收入家庭。第二個子樣本包括收入為15000元和20000元的家庭,即高收入的家庭。進行檢驗。設(shè),其中為一非零常數(shù),變換原模型求回歸方程。5. 解:在古典假設(shè)下,線性回歸模型中參數(shù)的最小二乘估計量具有線性、無偏和有效性。其中,有效性不僅依賴于古典假設(shè)中關(guān)于隨機項的同方差假定,還依賴與隨機項不存在序列自相關(guān)假定,即 這表明隨機項在不同觀測點下取值不相關(guān)。若這個假定違背,,即在不同觀測點下的取值相關(guān)聯(lián),則稱存在序列相關(guān)或叫自相關(guān)(Autor
8、egression)。自相關(guān)產(chǎn)生的原因很多,主要有:(1)被解釋變量的自相關(guān),許多經(jīng)濟變量往往會有自相關(guān),使用時間序列數(shù)據(jù)更是如此,其本期值往往受滯后值的影響。(2)模型省略了自相關(guān)的解釋變量。在建立回歸模型時,總是要略去某些次要的解釋變量。如果略去的解釋變量有一些存在自相關(guān),它必然在隨機項中反映出來,從而使隨機項具有自相關(guān)性。(3)隨機項本身存在自相關(guān)。在許多情況下,隨機因素(如干旱、暴風(fēng)雨、戰(zhàn)爭、地震等)所產(chǎn)生的影響,常常持續(xù)好長時間。(4)回歸模型的數(shù)學(xué)形式不正確。若回歸模型所采用的數(shù)學(xué)形式與所研究問題的真實關(guān)系不一致,隨機項就可能存在自相關(guān)。(5)經(jīng)濟變量的慣性作用。大多數(shù)的經(jīng)濟時間序
9、列都有一個明顯的特點,就是他們的慣性。由于經(jīng)濟變量的慣性,使得許多經(jīng)濟變量前后期總是相互關(guān)聯(lián)的。自相關(guān)產(chǎn)生的后果,如果模型中的隨機項存在自相關(guān),仍然采用普通最小二乘法,會有以下后果:(1)最小二乘估計量仍然是線性的和無偏的,但不具有最小方差性,即不是最優(yōu)的。(2)最小二乘估計量的方差估計是有偏的,用來估計隨機項的方差和回歸參數(shù)的方差公式會嚴重低估真實的方差和標準差,導(dǎo)致值偏大,使得某些參數(shù)顯著不為零,即高估了部分參數(shù)的顯著性。(3)因變量的預(yù)測精度降低。6. 利用以下給定的統(tǒng)計量進行序列相關(guān)檢驗。(=自變量數(shù)目,=樣本容量)(1)=0.81,=3,=21,顯著性水平=5%:DL=1.03, D
10、U=1.67,因為=0.814-DL, 所以存在一階負自相關(guān)。(3)=1.56,=5,=30,顯著性水平=5%:DL=1.07, DU=1.83,因為DL=1.56DU, 所以無法判斷。(4)=2.64,=4,=35,顯著性水平=5%:DL=1.22, DU=1.73,因為(4-DU)=2.64(4-DL), 所以無法判斷。(5)=1.75,=1,=45,顯著性水平=5%:DL=1.48, DU=1.57,因為DU =1.75(4-DU), 所以不存在自相關(guān)。(6)=0.91,=2,=28,顯著性水平=5%:DL=1.26, DU=1.56,因為=0.91 DL, 所以存在一階正自相關(guān)。(7)
11、=1.03,=5,=26,顯著性水平=5%:DL=0.98, DU=1.88,因為DL=1.03DU, 所以無法判斷。7. 解: 用估計關(guān)于的回歸方程為:用檢驗分析隨機項的一階自相關(guān)性:因為DW=1.662,DL=1.20,DU=1.41,DU DW(4-DU), 所以不存在自相關(guān)。用兩步法估計回歸模型的參數(shù);直接用差分法估計回歸模型參數(shù)。8. 解:古典線性回歸模型的假定之一是,模型中包含的解釋變量的觀測值矩陣(包括常數(shù)項)其秩等于模型中解釋變量的個數(shù)加1,即,此時就稱解釋變量1,2 , ,之間不存在多重共線性。但如果,說明觀測值矩陣是降秩的,即矩陣的列向量存在某種線性相關(guān)關(guān)系,也就是解釋變量
12、之間存在某種線性相關(guān),稱為存在多重共線性(Multicollinearity)。多重共線性存在的原因主要是經(jīng)濟活動經(jīng)濟變量之間復(fù)雜的相互聯(lián)系。另外在計量經(jīng)濟學(xué)的研究中,將某些解釋變量的滯后值作為單獨的新解釋變量包含在模型中,已得到廣泛的應(yīng)用。這樣由于解釋變量的前后期數(shù)值相關(guān)使得產(chǎn)生多重共線性。后果:多元線性回歸模型中如果存在完全的多重共線性(Complete Multicollinearity,或Exact Multicollinearity)則參數(shù)的最小二乘估計量是不確定的,其標準差為無窮大;如果存在接近的多重共線性(Near Multicollinearity),則參數(shù)的最小二乘估計量是確
13、定的,而且具有無偏性,但其方差較大,常產(chǎn)生以下結(jié)果:(1)參數(shù)估計值不精確,也不穩(wěn)定,樣本觀測值稍有變動,增加或減少解釋變量等都會使參數(shù)估計值發(fā)生較大變化,甚至出現(xiàn)符號錯誤,從而不能正確反映解釋變量對因變量的影響。(2)參數(shù)估計值的標準差較大,使參數(shù)的顯著性檢驗增加了接受零假設(shè)的可能,從而舍去對因變量有顯著影響的解釋變量。(3)難以區(qū)分每個解釋變量的單獨影響。計量經(jīng)濟研究中經(jīng)常需要利用回歸系數(shù)定量分析各個解釋變量對因變量的單獨影響程度。而在多重共線性的情況下,解釋變量的相關(guān)性將無法“保持其他變量不變”,從而也難以分離出每個解釋變量的單獨影響。9. 解:它們之間不存在多重共線性,這是因為雖然和是
14、的函數(shù),但它們之間并沒有顯著地線性相關(guān)關(guān)系。10. 解:(1)將代入原模型得:(2)可以考慮將相對價格引入模型,建立如下模型:11. 解:(1)利用SPSS對上述數(shù)據(jù)進行回歸得到以下結(jié)果:Model Summary(b)ModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.990(a).980.963.23611a Predictors: (Constant), x4, x3, x2, x1b Dependent Variable: yANOVA(b)ModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Re
15、gression13.42243.35660.189.000(a)Residual.2795.056Total13.7019a Predictors: (Constant), x4, x3, x2, x1b Dependent Variable: yCoefficients(a)ModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.Collinearity Statistics BStd. ErrorBeta ToleranceVIF1(Constant)3.9141.952 2.005.101 x1.060.048.480
16、1.246.268.02736.448 x2.089.037.4072.397.062.1417.074 x3-.013.018-.051-.693.519.7381.356 x4.007.018.123.420.692.04820.948a Dependent Variable: y由多重共線性的經(jīng)典判斷法可以看出該模型擬合優(yōu)度及總體線性顯著性都非常好,但單個解釋變量顯著性卻都不理想,所以模型存在多重共線性。此外從解釋變量的方差擴大因子(VIF1=36.448,VIF4=20.948,二者均遠大于10)也可以看出解釋變量之間存在多重共線性。(2)利用SPSS中逐步回歸分析法確定一個較好的回歸
17、模型如下:Model Summary(c)ModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the EstimateDurbin-Watson1.972(a).945.938.30660 2.988(b).975.968.219952.264a Predictors: (Constant), x1b Predictors: (Constant), x1, x2c Dependent Variable: yANOVA(c)ModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression12.949112.949137.751
18、.000(a)Residual.7528.094Total13.70192Regression13.36226.681138.106.000(b)Residual.3397.048Total13.7019a Predictors: (Constant), x1b Predictors: (Constant), x1, x2c Dependent Variable: yCoefficients(a)ModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.Collinearity Statistics BStd. ErrorBetaToleranceVIF1(Constant).942.573 1.645.139 x1.122.010.97211.737.0001.0001.
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