不定積分的基本公式和運算法則直接積分法

1、復(fù)習(xí)1原函數(shù)的定義。2不定積分白定義。3不定積分的性質(zhì)。4不定積分的幾何意義。引入在不定積分的定義、性質(zhì)以及基本公式的基礎(chǔ)上，我們進一步來討論不定積分的計算問題，不定積分的計算方法主要有三種：直接積分法、換元積分法和分部積分法。講授新課第二節(jié)不定積分的基本公式和運算直接積分法一基本積分公式由于求不定積分的運算是求導(dǎo)運算的逆運算，所以有導(dǎo)數(shù)的基本公式相應(yīng)地可以得到積分的基本公式如下：導(dǎo)數(shù)公式微分公式積分公式1(kx)=kd(kx)=kdxJkdx=kx+C(k?。)八/12、，2(x)=xd(1x2)=xdx1,12xdx=x+C21,13(一)個xx,1、1,d(_72dxxx.111-2dx

2、=十Cxx14(ln|x)=一xII1d(ln|x|)=dxx，1，.fdx=In|x|+CxxG5()H=xad()=x0dxa+1xot+Jx%x+C1+1()xx6(e)=ed(ex)=exdxJexdx=ex+Cxa/a*x7(,)=aInaxaxd()=adxlnaxfadx=+CIna8(sinx)=cosxd(sinx)=cosxdxJcosxdx=sinx+C9(-cosx)r=sinxd(-cosx)=sinxdxJsinxdx=-cosx+C01(tanx)=se(2xdx2d(tanx)=secxdx1122-f_2-dx=|secxdx=tanx+C,cosx11(-c

3、otx)*=csc?x2d(-cotx)=cscxdx1122_dx=fcscxdx=-cotxK；Jsinx.21(secx)*=se(xtanxd(secx)=secxtanxdxjsecxtanxdx=secx+C31(-cs(x)*=cs(xcotxd(-cso)=csacotxdxcscxcotxdx=-cscx+C41(arctanx)11d(arctanx)=21+xr1,一21+x2jx1QdxarctanxCM+x251(arcsinx)r=v1+xz.、12d(arcsinx)-1dxfdxarcsinx+C71+x2以上十五個公式是求不定積分的基礎(chǔ)，必須熟記，不僅要記右端

4、的結(jié)果，還要熟悉左端被積函數(shù)的的形式。求函數(shù)的不定積分的方法叫積分法。例1.求下列不定積分.（1）dx（2）Jx4xdxx2121斛：（1）J2dx=jxdx=+C=+Cx-21x34535（2）fxvxdx=x2dx=2x2+C5此例表明，對某些分式或根式函數(shù)求不定積分時，可先把它們化為x的形式，然后應(yīng)用募函數(shù)的積分公式求積分。法則1兩個函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即f(x)_g(x)dx=f(x)dxg(x)dx法則1對于有限多個函數(shù)的和也成立的.法則2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外，即fkf(x)dx=kJf(x)dx(k=0)_3x.一例2求J(2x+1-e)d

5、x解(2x31ex)d關(guān)2x3dx+dx-exdx14x=-x+xe+C。2注其中每一項的不定積分雖然都應(yīng)當(dāng)有一個積分常數(shù)，但是這里并不需要在每一項后面加上一個積分常數(shù)，因為任意常數(shù)之和還是任意常數(shù)，所以這里只把它的和C寫在末尾，以后仿此。注檢驗解放的結(jié)果是否正確，只把結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)就行了。如上例由于(lx4x-exC)=2x31-ex,所以結(jié)果是正確的。2三直接積分法在求積分的問題中，可以直接按基本積分公式和兩個基本性質(zhì)求出結(jié)果(如上例)但有時，被積函數(shù)常需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?包括代數(shù)和三角的恒等變形)再利用積分的性質(zhì)和公式求出結(jié)果，這樣的積分方法叫直接積分法。例3求

6、下列不定積分.不定積分的基本運算法則(1)J(Vx+1)(x-=)dx!=dxx1解：(1首先把被積函數(shù)(4+1x(-上x作為和式，然后再逐項積分得dx)dx=(x弋/xx1%xx+jxdx-dx-f-dx、x注：(1)求函數(shù)的不定積分時積分常數(shù)C不能丟掉，否則就會出現(xiàn)概念性的錯誤。(2)等式右端的每個不定積分都有一個積分常數(shù)，因為有限個任意常數(shù)的代數(shù)和仍是一個常數(shù)，所以只要在結(jié)果中寫一個積分常數(shù)C即可。(3)檢驗積分計算是否正確，只需對積分結(jié)果求導(dǎo)，看它是否等于被積函數(shù)。若相等，積分結(jié)果是正確的，否則是錯誤的。=fdx-2fdx=x-2arctanx+C。x414Jsin2xdx25x251

7、x2-x2-2x2+C。2_x21-2x21dx=(1x21)dx上例的解題思路是設(shè)法化被積函數(shù)為和式,然后再逐項積分,是一種重要的解題方法,須掌握。練習(xí)32x3-3x22x42x21x2(x21)dx,31x2dx。答案124-x-3x2ln|x|-C,arctan(2)x=3-xarctanxC22解：(1)/tanxdx=J(secx-1)dx2secxdx-dx=tanx-xC1-cosx1dx=22上例的解題思路也是設(shè)法化被積函數(shù)為和式，然后再逐項積分,的恒等變換。例4求下列不定積分.(1)tan2xdx2x(2)fsindx21sin2不過它實現(xiàn)化和是利用三角式一，2,練習(xí)1cot

8、xdx一2xcos2dx31，.、一2(xsinx)C23sinx-cosxC2.,、，、，x/f(x)=J(1-x)dx=x-+C.小結(jié)基本積分公式，不定積分的性質(zhì)，直接積分法。練習(xí)求下列不定積分.一一2一，12一(1)f(1-2sinx+-)dx(2)(2-+2-)dx,xcosxsinx(t1)223.xR.(3)f-dt,(4)f(-=-2)dt,(5)/(6+x)dx,t,.1-t21t2x-1cos2x.(6)f2-dx,(7)fcsc(cscx-cotx)dx,(8)1dx,1 -xsinxo-2ef(tan2x-1)dx,(11)fex(3x-2e=)dxo.1-x2答案1x+2cosx+2ln|x|*C,2tanx-cotx+C,123t2tln111C,42arcsirt-3arctatiC,2617c13-5xC,6x-xC,7-cotxcscxC,8-cotx-2C,一一一(3e)一.一9t_cost+C,10tanx_2x+C,112arcsinx+C。1ln3答案1cotx-xCcos2x,dxcosx-sinx2.例5設(shè)f(sinx)2一一=cosx,求f(x).解：由于f(sin2x)22=cosx=1sinx,所以f(x)=1x,故知f(x)是1-x的原函數(shù),因此(9),t.t