滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上22.2相似三角形的判定典型例題及練習(xí)（無(wú)答案）

1、.相似三角形的斷定1 知識(shí)點(diǎn)講解1. 相似三角形的定義1相似三角形定義：假如兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，我們就稱這兩個(gè)三角形相似。如下圖，與相似,記作“，讀作相似于 。 2相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比。3注意：假如兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。 相似三角形相似比是有順序的。 全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 用字母表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。2.平行線截三角形相似的定理1平行線截三角形相似的定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線相交，截得的三角形與原三角形相似。（2） 數(shù)

2、學(xué)表達(dá)式：3.相似三角形的斷定定理1斷定定理1：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形假如一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)記為：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。2斷定定理2：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形假如一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)記為：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。3斷定定理3：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形假如一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)記為：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。4斷定定理4：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形假如一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊

3、和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)記為：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。4. 相似三角形的根本類型相似三角形的根本類型字型字型雙垂直型一線三等角型一線三等角型是以等腰三角形或者等邊三角形為背景，三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一直線上，其中，可根據(jù)，得圖中兩個(gè)陰影部分三角形相似。一線三垂直型5. 相似三角形斷定思路斷定思路有平行截線平行線截三角形相似的定理用平行線的性質(zhì)，找等角有一組等角找另一對(duì)等角找該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例直角三角形找一組銳角相等兩組邊對(duì)應(yīng)成比例等腰三角形找頂角相等一組底角相等底和腰對(duì)應(yīng)成比例有兩組邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等第三組邊也對(duì)應(yīng)成比例有一組直角2 考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：利用相似三角形的

4、定義斷定兩三角形相似1. 如下圖，在中，.1求,的值； 2與相似嗎？為什么？考點(diǎn)2：利用相似三角形的定義確定相似比2. 如圖，,且,.求：1與的相似比；2BD的長(zhǎng)。變式練習(xí)：如下圖，,以下式子不成立的是 A. B. C. D.考點(diǎn)3：利用平行線識(shí)別相似三角形3.如下圖，在ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長(zhǎng)線于E，那么圖中的相似三角形有A3對(duì) B4對(duì) C5對(duì) D6對(duì)變式練習(xí)：如圖，ABC中，DEBC，EFAB，那么圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是 A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)考點(diǎn)4：利用證相似三角形求線段的長(zhǎng)4.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，EF交AC于G

5、，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，那么AC的長(zhǎng)為A9cm B14cm C15cm D18cm變式練習(xí)：如圖，在平行四邊形中，,，那么 .考點(diǎn)5：利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等證明線段成比例5.如下圖，是平行四邊形的邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，分別交和于點(diǎn)和.求證：.變式練習(xí)：如圖，在梯形中，且,點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).1求證：; 2假設(shè)，求的長(zhǎng)。考點(diǎn)6：利用兩角分別相等證明兩三角形相似6.如下圖，在中，是的平分線，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：.變式練習(xí):如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且ADE=60求證：ADCDEB考點(diǎn)7：利用相似三角形證明等積式7.

6、如下圖，在中，,的垂直平分線交于點(diǎn),交于,交的延長(zhǎng)線于.求證：.變式練習(xí)：如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且,連接。求證：；2假如，求證：.考點(diǎn)8：利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等斷定兩個(gè)三角形相似8.如圖，在ABC中，AB=AC，D、E、B、C在同一條直線上，且AB=BDCE，求證：ABDECA變式練習(xí)：如下圖，在正方形中，是上的點(diǎn)，且,是的中點(diǎn)。求證：考點(diǎn)9：利用三邊對(duì)應(yīng)成比例斷定三角形相似9.如圖，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點(diǎn)求證：ABCDEF變式練習(xí)：如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，那么以下圖中的三角形陰影部分與ABC相似的是A B C D考點(diǎn)10

7、：利用直角三角形相似的斷定方法斷定兩直角三角形相似10.在與中，,，。求證.變式練習(xí)：在和中，,，當(dāng) 時(shí)，.3 根底題型講解根底題型1：添加條件來(lái)說(shuō)明三角形相似1.如圖，點(diǎn)P在ABC的邊AC上，假如添加一個(gè)條件后可以得到ABPACB，那么以下添加的條件中，不正確的選項(xiàng)是AABP=C BAPB=ABC CAB=APAC D 變式練習(xí):如圖，添加一個(gè)條件 ，使得根底題型2：尋找圖形中相似三角形的對(duì)數(shù)2.如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)的直線與對(duì)角線,邊分別交于點(diǎn)，。過(guò)點(diǎn)E作,交于點(diǎn)，那么圖中相似三角形有 A.4對(duì) B.5對(duì) C.6對(duì) D.7對(duì)變式練習(xí)：如下圖，為線段上一點(diǎn)，與交于,交于,交于，那么圖中相

8、似三角形有 A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)根底題型3：相似三角形斷定定理的應(yīng)用3. 如下圖，在中，是高，1求證：。2假設(shè)與交于點(diǎn)，那么.變式練習(xí)：如下圖，RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)不能到達(dá)點(diǎn)B，C，過(guò)點(diǎn)D作ADE=45，DE交AC于點(diǎn)E1求證：ABDDCE； 2當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)根底題型4：與相似三角形有關(guān)的分類討論題4. 如下圖，點(diǎn)是銳角三角形中邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線不與直線重合截，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有 條。變式練習(xí)：如下圖是的斜邊上異于的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線截,使截得的三角形與相似，這樣的直線共有 A

9、.1條 B.2條 C.3條 D.4條根底題型5：相似三角形與函數(shù)的綜合題5.如下圖，在正方形中，,是邊上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，（1） 試說(shuō)明；（2） 當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段也隨之變化。設(shè)，求與之間的函數(shù)表達(dá)式。變式練習(xí)：如下圖，為正三角形，分別是上的點(diǎn)不在頂點(diǎn)，.（1） 求證：;（2） 假設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為4，并設(shè)，試求與之間的函數(shù)表達(dá)式。4 拔高題型講解拔高題型1：利用“三點(diǎn)定形法找相似的三角形解決問(wèn)題1.：如下圖，是斜邊上的高，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：.拔高題型2:利用相似三角形的知識(shí)解決與反比例函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題2. 如下圖，是直角三角形，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上。假設(shè)點(diǎn)在

10、反比例函數(shù)的圖像上，那么的值為 A.-4 B.4 C.-2 D.23如圖，一條直線與反比例函數(shù)y的圖象交于A1，4、B4，n兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，ACx軸，垂足為C1如圖甲，求反比例函數(shù)的解析式；求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；2如圖乙，假設(shè)點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，連接CE，作CEF=45，EF交AC于F點(diǎn)試說(shuō)明CDEEAF；當(dāng)ECF為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出F點(diǎn)坐標(biāo)拔高題型3：利用相似三角形的斷定和定義建立函數(shù)關(guān)系4.如下圖，在矩形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合，連接,過(guò)點(diǎn)作,與線段交于點(diǎn)，設(shè)，。（1） 寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2） 假設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？拔高題型4：利用相似三角形的定義進(jìn)

11、展規(guī)律探究5.如圖，在ABC中，C=90，BC=16cm，AC=12cm，點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C挪動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)，以1cm/s的速度向A挪動(dòng)，假設(shè)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，CPQ與CBA相似？6.如下圖，ABBD,CDBD,AB=6，CD=4，BD=k，點(diǎn)P在BD上挪動(dòng)，保持APC=90,但不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重合。1當(dāng)k=14時(shí)，請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABP相似？并求BP的長(zhǎng)2在BD上至少存在一個(gè)P點(diǎn)，使以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABP相似，求k的取值范圍 7.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=

12、8cm點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蚺矂?dòng)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停頓挪動(dòng)設(shè)挪動(dòng)開(kāi)場(chǎng)后第t秒時(shí)，EFG的面積為Scm21當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？2寫(xiě)出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；3假設(shè)點(diǎn)F在矩形的邊BC上挪動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由拔尖題型5：和相似有關(guān)的存在型問(wèn)題8.如下圖，在中，,，且,將與重合在一起，不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)在邊上沿到的方向運(yùn)動(dòng)，且始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1） 求證：；（2）

13、在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？假設(shè)能，求出的長(zhǎng)；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。拔尖題型6：相似三角形與折疊問(wèn)題9.如圖，先把一矩形ABCD紙片對(duì)折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到ABE過(guò)B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕PQ1求證：PBEQAB；2你認(rèn)為PBE和BAE相似嗎？假如相似，給出證明；假設(shè)不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。5 課后作業(yè)一選擇題。1.如圖，直線AB與MNPQ的四邊所在直線分別交于A、B、C、D，那么圖中的相似三角形有 A4對(duì) B5對(duì) C6對(duì) D7對(duì)2.與圖中相似的是 3.如下圖，在平行四邊形ABCD中,那么的長(zhǎng)為 A. B.8 C.10 D.164.如圖，點(diǎn)C、D在

14、線段AB上，PCD是等邊三角形，當(dāng)ACPPDB時(shí)，APB的度數(shù)為 A100 B120 C115 D1355.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，那么AC的長(zhǎng)為 A9cm B14cm C15cm D18cm6.如圖，在中，是中線，,那么線段的長(zhǎng)為 A.4 B. C.6 D.7.如圖，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得PAD與PBC相似，那么這樣的P點(diǎn)共有 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)8.如圖，在內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為的三個(gè)正方形，那么滿足的關(guān)系式是 A. B. C. D.9.以下各組三角

15、形中，兩個(gè)三角形可以相似的是 10ABC的三邊長(zhǎng)分別為6cm，7.5cm，9cm，DEF的一邊長(zhǎng)為4cm，當(dāng)DEF的另兩邊長(zhǎng)是以下哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似A2cm，3cm B4cm，5cm C5cm，6cm D6cm，7cm 11. 如下圖，在中，分別在，上，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，假設(shè)為的中點(diǎn)，那么折痕的長(zhǎng)為 A. B.2 C.3 D.412. 如下圖，在中，,，平分交于點(diǎn)，假設(shè)，那么的長(zhǎng)是 A. B. C. D.13. 如下圖，正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，的平分線分別交于兩點(diǎn)。假設(shè),那么線段的長(zhǎng)為 A. B. C.1 D.14. 如下圖，中，,，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，假設(shè)以為頂點(diǎn)的三

16、角形和以為頂點(diǎn)的三角形相似，那么的長(zhǎng)為 A.3 B.3或 C.3或 D.2 填空題。15.在中，為邊上一點(diǎn)，且，那么 。16.如圖，在ABC中，ABACD、E分別為邊AB、AC上的點(diǎn)AC=3AD，AB=3AE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件： ，可以使得FDB與ADE相似只需寫(xiě)出一個(gè)17如圖，A=D，要使ABCDEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是 。 只需寫(xiě)一個(gè)條件，不添加輔助線和字母18如下圖，D，E分別在ABC的邊AB、AC上，DE與BC不平行，當(dāng)滿足 條件時(shí)，有ABCAED只需寫(xiě)一個(gè)條件即可19如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ADP與BCP相似時(shí)，D

17、P= 。20如圖，直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一點(diǎn)C，使B、O、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與AOB相似，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為 。 21.如圖，ABCB于點(diǎn)B，ACCD于點(diǎn)C，AB=6，AC=10，當(dāng)CD= 時(shí)，ABCACD22.如圖，：ACB=ADC=90，AD=2，CD=，當(dāng)AB的長(zhǎng)為 時(shí)，ACB與ADC相似23四邊形ABCD中，ADBC，A=90，AD=2cm，AB=7cm，BC=3cm，試在AB邊上確定P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似那么AP的長(zhǎng)是 22.2019蘆溪縣二模如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A4，0和點(diǎn)B0，3，點(diǎn)C是AB

18、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB上，直線CP截AOB，所得的三角形與AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是 。24. 如圖，在中，,，.四邊形是的內(nèi)接正方形點(diǎn)在三角形的邊上，那么此正方形的面積是 。3 解答題。25.如圖，在ABC中，AD=DB，1=2求證：ABCEAD26.如下圖，中，是邊上的高，且.（1） 求證：;（2） 求的大小。27.如圖，AC/EF/BD,求證：.28.在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE垂直AC交AC于點(diǎn)F，求證：DEFBED29.如下圖，在等腰三角形中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，。（1） 求證：；（2） 假設(shè),求的度數(shù)。30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，是線段的中點(diǎn)。請(qǐng)問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？假設(shè)存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。31.如