戈德菲爾德匡特檢驗(yàn)的討論

1、2005年中國數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)會(huì)年會(huì)征文戈德菲爾德-匡特檢驗(yàn)的討論張荷觀 (江南大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 無錫 214063)摘要：本文通過對(duì)G-Q檢驗(yàn)的分析，指出了G-Q檢驗(yàn)所存在的問題，并提出了解決的方法.關(guān)鍵詞：線性回歸模型 異方差 G-Q檢驗(yàn) 一、引言 在目前流行的國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)教材中，例如Greene(2000)、Gujarati(2000)、賀鏗(2000)和高煒宇(2002)等，都把戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)(以下簡稱G-Q檢驗(yàn))作為異方差檢驗(yàn)的主要方法. 并且，近期仍有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行推廣(龔秀芳，2005). 為便于討論，考慮一元線性回歸模型 (1)并假定模型滿

2、足古典假定. 當(dāng) (2)即隨機(jī)項(xiàng) 不滿足等方差的假定時(shí)，則稱隨機(jī)項(xiàng) 存在異方差. 若回歸模型的隨機(jī)項(xiàng)存在異方差，不僅回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)不再具有最優(yōu)性，并且回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)時(shí)的t檢驗(yàn)也不再適用. 因而，異方差的檢驗(yàn)是經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容. 本文通過對(duì)G-Q檢驗(yàn)的分析，指出了G-Q檢驗(yàn)在理論上所存在的問題，同時(shí)提出了解決的方法. 二、G-Q檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率與略去的數(shù)據(jù)c有關(guān)G-Q檢驗(yàn)的主要步驟如下:(1) 把解釋變量x按從小到大的順序排列，而被解釋變量y保持原對(duì)應(yīng)關(guān)系. 略去位于中間的c對(duì)數(shù)據(jù)后，把數(shù)據(jù)等分為前后兩組，分別稱為較小組和較大組. 一般取 且使n-c為偶數(shù)，即較小組和較

3、大組各包含(n-c)/2對(duì)數(shù)據(jù).(2) 假定較小組和較大組的隨機(jī)項(xiàng)都具有等方差，分別記為和. G-Q檢驗(yàn)的原假設(shè)為 (3)即假定回歸模型(1)滿足等方差. 并對(duì)較小組和較大組數(shù)據(jù)分別采用最小二乘法建立樣本回歸方程，較小組和較大組的殘差平方和分別記為和.(3) 用RSS大表示和中的較大者，而用RSS小表示其中的較小者，則G-Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為RSS大/RSS小 (4)當(dāng)時(shí)，G-Q檢驗(yàn)拒絕，認(rèn)為線性回歸模型(1)的隨機(jī)項(xiàng)存在遞增(或遞減)異方差. 否則，就認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)不存在異方差，即隨機(jī)項(xiàng)滿足等方差.G-Q檢驗(yàn)實(shí)際上按解釋變量的大小把數(shù)據(jù)劃分為三組，可分別稱為較小組、中間組和較大組. 并假定各組的隨機(jī)項(xiàng)

4、滿足等方差，若分別用、和表示較小組、中間組和較大組的隨機(jī)項(xiàng)方差，則G-Q檢驗(yàn)的原假設(shè)(3)式可改寫為 (5)(5)式與(3)式都表示線性回歸模型(1)的隨機(jī)項(xiàng)滿足等方差，即(5)式與(3)式等價(jià). 并且，當(dāng)殘差平方和遞增時(shí)，和就是這三組數(shù)據(jù)中殘差平方和的最小值和最大值，即=RSS小，=RSS大. 于是根據(jù)(4)式，當(dāng)殘差平方和遞增時(shí)有 (6)即這時(shí)的G-Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為最大殘差平方和與最小殘差平方和之比. 特別，當(dāng)，即三組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)都相等時(shí)，則(6)式實(shí)際上就是哈特利(Hartley)的最大F比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量. 這就是說，當(dāng)已知?dú)埐钇椒胶瓦f增且時(shí)，那么G-Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和最大F比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量相同. 而根據(jù)

5、最大F比檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)拒絕，可以認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)存在異方差. 否則，就認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)不存在異方差，即滿足等方差. 根據(jù)最大F比檢驗(yàn)的臨界值表(Sachs 1984)，對(duì)于給定的顯著性水平，總有. 所以當(dāng)已知?dú)埐钇椒胶瓦f增時(shí)，G-Q檢驗(yàn)按臨界值作檢驗(yàn)時(shí)，必使G-Q檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率超過規(guī)定的顯著性水平(當(dāng)殘差平方和遞減時(shí)可得相同結(jié)論). 表1給出了G-Q檢驗(yàn)的臨界值和最大F比檢驗(yàn)的臨界值的比較表. 表1 和的比較表 n 30333642516696 3.44 6.00 3.18 5.34 2.98 4.85 2.69 4.16 2.40 3.54 2.12 2.951.84 2.406.03 9.95.3

6、5 8.54.85 7.44.16 6.13.52 4.92.94 3.82.39 3.0 例1 30戶家庭收入x(單位:美元)與消費(fèi)支出y(單位:美元)的數(shù)據(jù)如下(Gujarati，2000). 已知?dú)埐钇椒胶瓦f增，試檢驗(yàn)隨機(jī)項(xiàng)是否存在異方差. 表2 30戶家庭收入x與消費(fèi)支出y的數(shù)據(jù) x y x y x y80 5585 70 90 75100 65105 74110 80115 84120 79125 90130 98 140 95145 108150 113160 110165 125180 115185 130190 135200 120205 140210 144220 15222

7、5 140230 137240 145245 175250 189260 180265 178 270 191已知，取c=10，即較小組和較大組各包含10對(duì)數(shù)據(jù). 求得 則根據(jù)(4)式得 在時(shí)，查F分布表得臨界值. 由于，從而根據(jù)G-Q檢驗(yàn)認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)存在異方差. 但事實(shí)上，由于本例的殘差平方和遞增且，則 即這時(shí)G-Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和最大F比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值相等. 從而在時(shí)，根據(jù)表1可得最大F比檢驗(yàn)的臨界值. 因，則根據(jù)最大F比檢驗(yàn)應(yīng)接受，可以認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)不存在異方差，即滿足等方差.由于已知例1的殘差平方和遞增， 因而也可采用斯皮爾曼(Spearman)等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn). 根據(jù)表1求得 在時(shí)，查t分布表得

8、臨界值，從而同樣可以認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)滿足等方差.由于當(dāng)殘差平方和遞增且時(shí)，即這時(shí)G-Q檢驗(yàn)和最大F比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值相等. 但因總有，所以這時(shí)采用G-Q檢驗(yàn)會(huì)使犯第一類錯(cuò)誤的實(shí)際概率大于規(guī)定的顯著性水平. 對(duì)于例1，最大F比檢驗(yàn)的臨界值應(yīng)為6.00，但G-Q檢驗(yàn)卻取3.44作為臨界值，則使G-Q檢驗(yàn)增大了犯第一類錯(cuò)誤的概率. 這就是說，對(duì)于例1，當(dāng)G-Q檢驗(yàn)規(guī)定，即取臨界值為6.00時(shí)犯第一類錯(cuò)誤的實(shí)際概率才是0.05.顯然，當(dāng)殘差平方和遞增(或遞減)時(shí)， 略去的數(shù)據(jù)c愈多，則G-Q檢驗(yàn)的F值愈大，從而愈容易發(fā)現(xiàn)遞增(或遞減)異方差，但同時(shí)也使G-Q檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率愈大. 三、G-Q檢驗(yàn)犯第二

9、類錯(cuò)誤的概率與異方差類型有關(guān)當(dāng)殘差平方和先隨x的增加而增大，然后又隨x的增加而減小(或殘差平方和先隨x的增加而減小，然后又隨x的增加而增大)時(shí)，這時(shí)(或). 但只要，即，根據(jù)G-Q檢驗(yàn)，則仍認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)不存在異方差. 這就是說，不管、和之間的差別有多大，只要，G-Q檢驗(yàn)就認(rèn)為不存在異方差. 因而，G-Q檢驗(yàn)不能識(shí)別復(fù)雜異方差. 于是，在不了解異方差類型時(shí)采用G-Q檢驗(yàn)又會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率. 例2 30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績x(單位:分)與統(tǒng)計(jì)學(xué)成績y(單位:分)的數(shù)據(jù)如下，試檢驗(yàn)是否存在異方差. 表3 30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績x與統(tǒng)計(jì)學(xué)成績y的數(shù)據(jù) x y x y x y38 4842 3045 3

10、453 6156 6360 4562 7363 7964 7368 8570 7571 7071 7674 8075 6977 7179 7779 6983 8083 7985 6588 7989 6789 8991 9492 9792 9593 8995 9296 93仍略去中間的10對(duì)數(shù)據(jù)(c=10)，即較小組和較大組各包含10對(duì)數(shù)據(jù). 同樣可得 于是由(4)式得 在時(shí)，由于，從而G-Q檢驗(yàn)認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)為等方差. 但根據(jù)最大F比檢驗(yàn)則有 于是，從而根據(jù)最大F比檢驗(yàn)可認(rèn)為隨機(jī)項(xiàng)存在異方差. 實(shí)際上，例2的數(shù)據(jù)顯示隨機(jī)項(xiàng)存在復(fù)雜異方差現(xiàn)象，但G-Q檢驗(yàn)不能識(shí)別復(fù)雜異方差從而誤認(rèn)為等方差. 所以在

11、不了解異方差類型時(shí)采用G-Q檢驗(yàn)，又會(huì)增加犯第二類錯(cuò)誤的概率. 四、結(jié)語 由于遞增(或遞減)異方差是一種常見的異方差類型，從而使G-Q檢驗(yàn)成為一種常用的異方差檢驗(yàn)方法. 但因?yàn)镚-Q檢驗(yàn)不能識(shí)別復(fù)雜異方差，從而在隨機(jī)項(xiàng)可能存在復(fù)雜異方差時(shí)采用G-Q檢驗(yàn)會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率. 所以，當(dāng)隨機(jī)項(xiàng)可能存在復(fù)雜異方差時(shí)，不宜采用G-Q檢驗(yàn)，例2給出了這種情況的一個(gè)實(shí)例.G-Q檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量表明，G-Q檢驗(yàn)適用于檢驗(yàn)遞增(或遞減)的異方差. 但這時(shí)的G-Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量已成為最大殘差平方和與最小殘差平方和之比的最大F比，從而這時(shí)G-Q檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率會(huì)隨c增加而增大. 一般，當(dāng)c很小，即時(shí)，G-Q檢驗(yàn)

12、是適用的. 而當(dāng)c較大，例如時(shí)，G-Q檢驗(yàn)不再適用. 特別，當(dāng)時(shí)，G-Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和最大F比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量相同(見例1). 所以，當(dāng)c較大時(shí)，為避免G-Q檢驗(yàn)增大犯第一類錯(cuò)誤的概率，可以采用Hartley的最大F比檢驗(yàn)或Cochran的最大方差檢驗(yàn). 參考文獻(xiàn)1 William H. Greene，Econometric Analysis，4th ed. Prentice-Hall International Inc.，20002 Damodar N. Gujarati，林少宮譯，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(第3版)，中國人民大學(xué)出版社，2000.3 賀鏗，經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)教程，中國統(tǒng)計(jì)出版社，2000.4 高煒宇、謝識(shí)予，高等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，高等教育出版社，2002.5 龔秀芳，戈德菲爾德-匡特檢驗(yàn)的推廣，