戈德菲爾德匡特檢驗的討論

1、2005年中國數量經濟學會年會征文戈德菲爾德-匡特檢驗的討論張荷觀 (江南大學 商學院，江蘇 無錫 214063)摘要：本文通過對G-Q檢驗的分析，指出了G-Q檢驗所存在的問題，并提出了解決的方法.關鍵詞：線性回歸模型 異方差 G-Q檢驗 一、引言 在目前流行的國內外經濟計量學教材中，例如Greene(2000)、Gujarati(2000)、賀鏗(2000)和高煒宇(2002)等，都把戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(以下簡稱G-Q檢驗)作為異方差檢驗的主要方法. 并且，近期仍有學者對其進行推廣(龔秀芳，2005). 為便于討論，考慮一元線性回歸模型 (1)并假定模型滿

2、足古典假定. 當 (2)即隨機項 不滿足等方差的假定時，則稱隨機項 存在異方差. 若回歸模型的隨機項存在異方差，不僅回歸系數的最小二乘估計不再具有最優(yōu)性，并且回歸系數顯著性檢驗時的t檢驗也不再適用. 因而，異方差的檢驗是經濟計量學的一個重要內容. 本文通過對G-Q檢驗的分析，指出了G-Q檢驗在理論上所存在的問題，同時提出了解決的方法. 二、G-Q檢驗犯第一類錯誤的概率與略去的數據c有關G-Q檢驗的主要步驟如下:(1) 把解釋變量x按從小到大的順序排列，而被解釋變量y保持原對應關系. 略去位于中間的c對數據后，把數據等分為前后兩組，分別稱為較小組和較大組. 一般取 且使n-c為偶數，即較小組和較

3、大組各包含(n-c)/2對數據.(2) 假定較小組和較大組的隨機項都具有等方差，分別記為和. G-Q檢驗的原假設為 (3)即假定回歸模型(1)滿足等方差. 并對較小組和較大組數據分別采用最小二乘法建立樣本回歸方程，較小組和較大組的殘差平方和分別記為和.(3) 用RSS大表示和中的較大者，而用RSS小表示其中的較小者，則G-Q檢驗統計量為RSS大/RSS小 (4)當時，G-Q檢驗拒絕，認為線性回歸模型(1)的隨機項存在遞增(或遞減)異方差. 否則，就認為隨機項不存在異方差，即隨機項滿足等方差.G-Q檢驗實際上按解釋變量的大小把數據劃分為三組，可分別稱為較小組、中間組和較大組. 并假定各組的隨機項

4、滿足等方差，若分別用、和表示較小組、中間組和較大組的隨機項方差，則G-Q檢驗的原假設(3)式可改寫為 (5)(5)式與(3)式都表示線性回歸模型(1)的隨機項滿足等方差，即(5)式與(3)式等價. 并且，當殘差平方和遞增時，和就是這三組數據中殘差平方和的最小值和最大值，即=RSS小，=RSS大. 于是根據(4)式，當殘差平方和遞增時有 (6)即這時的G-Q檢驗統計量為最大殘差平方和與最小殘差平方和之比. 特別，當，即三組數據個數都相等時，則(6)式實際上就是哈特利(Hartley)的最大F比檢驗統計量. 這就是說，當已知殘差平方和遞增且時，那么G-Q檢驗統計量和最大F比檢驗統計量相同. 而根據

5、最大F比檢驗，當時拒絕，可以認為隨機項存在異方差. 否則，就認為隨機項不存在異方差，即滿足等方差. 根據最大F比檢驗的臨界值表(Sachs 1984)，對于給定的顯著性水平，總有. 所以當已知殘差平方和遞增時，G-Q檢驗按臨界值作檢驗時，必使G-Q檢驗犯第一類錯誤的概率超過規(guī)定的顯著性水平(當殘差平方和遞減時可得相同結論). 表1給出了G-Q檢驗的臨界值和最大F比檢驗的臨界值的比較表. 表1 和的比較表 n 30333642516696 3.44 6.00 3.18 5.34 2.98 4.85 2.69 4.16 2.40 3.54 2.12 2.951.84 2.406.03 9.95.3

6、5 8.54.85 7.44.16 6.13.52 4.92.94 3.82.39 3.0 例1 30戶家庭收入x(單位:美元)與消費支出y(單位:美元)的數據如下(Gujarati，2000). 已知殘差平方和遞增，試檢驗隨機項是否存在異方差. 表2 30戶家庭收入x與消費支出y的數據 x y x y x y80 5585 70 90 75100 65105 74110 80115 84120 79125 90130 98 140 95145 108150 113160 110165 125180 115185 130190 135200 120205 140210 144220 15222

7、5 140230 137240 145245 175250 189260 180265 178 270 191已知，取c=10，即較小組和較大組各包含10對數據. 求得 則根據(4)式得 在時，查F分布表得臨界值. 由于，從而根據G-Q檢驗認為隨機項存在異方差. 但事實上，由于本例的殘差平方和遞增且，則 即這時G-Q檢驗統計量和最大F比檢驗統計量的取值相等. 從而在時，根據表1可得最大F比檢驗的臨界值. 因，則根據最大F比檢驗應接受，可以認為隨機項不存在異方差，即滿足等方差.由于已知例1的殘差平方和遞增， 因而也可采用斯皮爾曼(Spearman)等級相關檢驗. 根據表1求得 在時，查t分布表得

8、臨界值，從而同樣可以認為隨機項滿足等方差.由于當殘差平方和遞增且時，即這時G-Q檢驗和最大F比檢驗統計量的取值相等. 但因總有，所以這時采用G-Q檢驗會使犯第一類錯誤的實際概率大于規(guī)定的顯著性水平. 對于例1，最大F比檢驗的臨界值應為6.00，但G-Q檢驗卻取3.44作為臨界值，則使G-Q檢驗增大了犯第一類錯誤的概率. 這就是說，對于例1，當G-Q檢驗規(guī)定，即取臨界值為6.00時犯第一類錯誤的實際概率才是0.05.顯然，當殘差平方和遞增(或遞減)時， 略去的數據c愈多，則G-Q檢驗的F值愈大，從而愈容易發(fā)現遞增(或遞減)異方差，但同時也使G-Q檢驗犯第一類錯誤的概率愈大. 三、G-Q檢驗犯第二

9、類錯誤的概率與異方差類型有關當殘差平方和先隨x的增加而增大，然后又隨x的增加而減小(或殘差平方和先隨x的增加而減小，然后又隨x的增加而增大)時，這時(或). 但只要，即，根據G-Q檢驗，則仍認為隨機項不存在異方差. 這就是說，不管、和之間的差別有多大，只要，G-Q檢驗就認為不存在異方差. 因而，G-Q檢驗不能識別復雜異方差. 于是，在不了解異方差類型時采用G-Q檢驗又會增大犯第二類錯誤的概率. 例2 30名學生的數學成績x(單位:分)與統計學成績y(單位:分)的數據如下，試檢驗是否存在異方差. 表3 30名學生的數學成績x與統計學成績y的數據 x y x y x y38 4842 3045 3

10、453 6156 6360 4562 7363 7964 7368 8570 7571 7071 7674 8075 6977 7179 7779 6983 8083 7985 6588 7989 6789 8991 9492 9792 9593 8995 9296 93仍略去中間的10對數據(c=10)，即較小組和較大組各包含10對數據. 同樣可得 于是由(4)式得 在時，由于，從而G-Q檢驗認為隨機項為等方差. 但根據最大F比檢驗則有 于是，從而根據最大F比檢驗可認為隨機項存在異方差. 實際上，例2的數據顯示隨機項存在復雜異方差現象，但G-Q檢驗不能識別復雜異方差從而誤認為等方差. 所以在

11、不了解異方差類型時采用G-Q檢驗，又會增加犯第二類錯誤的概率. 四、結語 由于遞增(或遞減)異方差是一種常見的異方差類型，從而使G-Q檢驗成為一種常用的異方差檢驗方法. 但因為G-Q檢驗不能識別復雜異方差，從而在隨機項可能存在復雜異方差時采用G-Q檢驗會增大犯第二類錯誤的概率. 所以，當隨機項可能存在復雜異方差時，不宜采用G-Q檢驗，例2給出了這種情況的一個實例.G-Q檢驗的統計量表明，G-Q檢驗適用于檢驗遞增(或遞減)的異方差. 但這時的G-Q檢驗統計量已成為最大殘差平方和與最小殘差平方和之比的最大F比，從而這時G-Q檢驗犯第一類錯誤的概率會隨c增加而增大. 一般，當c很小，即時，G-Q檢驗

12、是適用的. 而當c較大，例如時，G-Q檢驗不再適用. 特別，當時，G-Q檢驗統計量和最大F比檢驗統計量相同(見例1). 所以，當c較大時，為避免G-Q檢驗增大犯第一類錯誤的概率，可以采用Hartley的最大F比檢驗或Cochran的最大方差檢驗. 參考文獻1 William H. Greene，Econometric Analysis，4th ed. Prentice-Hall International Inc.，20002 Damodar N. Gujarati，林少宮譯，計量經濟學(第3版)，中國人民大學出版社，2000.3 賀鏗，經濟計量學教程，中國統計出版社，2000.4 高煒宇、謝識予，高等計量經濟學，高等教育出版社，2002.5 龔秀芳，戈德菲爾德-匡特檢驗的推廣，