三角形培優(yōu)訓練100題集錦(學生用)

1、三角形培優(yōu)訓練專題【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線?！境Ｒ娸o助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線

2、，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6、 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。7、特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識

3、解答。ECABD1、已知，如圖中，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個三角形當中。解:延長AD到E，使，連接BE又， (三角形三邊關系定理)即2、如圖，中，E、F分別在AB、AC上，D是中點，試比較與EF的大小。證明：延長FD到點G，使，連接BG、EG，GFECABD在中，3、如圖，中，E是DC的中點，求證：AD平分.證明方法一：利用相似論證。證明：ECABDE是DC中點，即AD平分MECABD證明方法二：利用全等論證。證明：延長AE到M，使，連結(jié)DM易證，又，又，即AD平分4、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分

4、別是BC、DE的中點。探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系。（1）如圖1 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關系是 ；（2）將圖1中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)（）后，如圖2所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由。圖 1MNCABDNECABDM圖 2解：（1），；證明：延長AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形GCHABDMNE，又再證：，延長MN交DE于H（2）結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點P，并連接BF，F(xiàn)CPABDMNE在和中（SAS），又，且，5、如圖，中，AD平分，且，求證：證明：過D作，垂足為MMC

5、ABD又，AD平分在和中，即: 6、如圖，EA，EB分別平分，CD過點E，求證：證明：在AB上截取，連接EF在和中FEDABC即在和中（ASA）7、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：證明：延長AB到D，使，連接PD則AP，BQ分別是，的角平分線，45232DQPCAB1又在與中，（AAS）即 8、如圖，在四邊形ABCD中，BD平分.求證： 解：過點D作于E，過點D作交BA的延長線于FBD平分EFDCAB，在和中（HL）9、如圖，在中，P為AD上任意一點。求證：EDAPCB證明：如圖，在AB上截取AE，使，連接PE在和中（SAS）在中，即10、在四

6、邊形ABCD中，點E是AB上一個動點，若，且，判斷與的關系并證明你的結(jié)論。分析：此題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。DEACB解：有連接AC，過E作并AC于F點則可證為等邊三角形即，DEACBF又，又在與中，點評：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。FNMDEACB11、如圖D為的角平分線，直線于A.E為MN上一點，周長記為，周長記為.求證：.證明：延長BA到F，使,連接EFAD為的角平分線，BC+BE+CEAB+AC+BC的周長小于的周長，即12、已知：ABC和

7、ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，聯(lián)結(jié)EC，取EC的中點M，聯(lián)結(jié)BM和DM（1）如圖1，如果點D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關系與位置關系是 ； （2）將圖1中的ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由 解：（1）BM=DM且BMDM 2分（2）成立 3分 理由如下：延長DM至點F，使MF=MD，聯(lián)結(jié)CF、BF、BD9 易證EMDCMF4分 ED=CF，DEM=1AB=BC，AD=DE，且ADE=ABC=90， 2=3=45, 4=5=45 BAD=2+4+6=90+68=360-5-7-1，7=180-6-9，

8、8=360-45-（180-6-9）-（3+9）=360-45-180+6+9- 45-9 =90+6 8=BAD 又AD=CF ABDCBF BD=BF，ABD=CBF DBF=ABC=90MF=MD， BM=DM且BMDM13、如圖，已知在中，的角平分線AD，CE相交于點O.求證：FODEACB證明：在AC上取點F，使，連接OFAD是的平分線 ，CE是的平分線 ，即：14、如圖，中，AD平分，且平分BC，于E，于F. （1）說明的理由；（2）如果，求AE、BE的長。（1）證明:連接DB，DCGFDEACB且平分BC，AD平分（2）解: ，即，15、如圖，OP是的平分線，請你利用該圖形畫一對

9、以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在中，是直角，AD、CE分別是、的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；（2）如圖，在中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。證法一：如圖1，在AC上截取，連結(jié)FG ，AF為公共邊， FBEACD圖 12143G，AD、CE分別是、的平分線及FC為公共邊證法二：如圖2，過點F分別作于

10、點G，于點H FBEACD圖 22143HG，AD、CE分別是、的平分線可得，F(xiàn)是的內(nèi)心，又 可證 16、正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，求的度數(shù)。GFDEACB解：將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，至又，又17、D為等腰斜邊AB的中點，DM，DN分別交BC，CA于點E，F(xiàn)。（1）當繞點D轉(zhuǎn)動時，求證：；（2）若，求四邊形DECF的面積。分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分，則，由得，根據(jù)等角的余角相等得到，根據(jù)全等三角形的判定易得，即可得到結(jié)論；（2）由，則，于是四邊形DECF的面積，由而可得，根據(jù)三角形的面積公式易求得，從而得到四邊形DECF的面積。解：（1）連

11、CD，如圖，D為等腰斜邊AB的中點CD平分，NMFDEACB在和中（2）四邊形DECF的面積而四邊形DECF的面積點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)。18、 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，求的周長。解：是等腰三角形，且MANMDCB是邊長為3的等邊三角形順時針旋轉(zhuǎn)使DB與DC重合在和中 的周長為619、已知四邊形ABCD中，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC（或它們的延長

12、線）于E、F（1）當繞B點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證圖 1ABCDEFMNABCDEFMN圖 2FEANMDCB圖 3（2）當繞B點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明。解：（1），（SAS）；，為等邊三角形，（2）圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長DC至點K，使，連接BKKABCDEFMN圖 2則， 即圖3不成立，AE、CF、EF的關系是20、已知: ，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)。（1）如圖，當時，求AB及PD的長；（2）當變化，且其它條件不變時，

13、求PD的最大值，及相應的大小。分析：（1）作輔助線，過點A作于點E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長，進而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；（2）將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當、P、B三點共線時，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此

14、時EPADCB解：（1）如圖，作于點E中， 在中，PPACBDE解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，；解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設DA的延長線交PB于GGFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如圖所示，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值中，且P、D兩點落在直線AB的兩側(cè)當、P、B三點共線時，取得最大值（如圖）PPACBDPPACBD此時，即的最大值為6 此時21、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且，. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、M

15、N之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系。圖 1NMADCB圖 2NMADCB圖 3NMADCB（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是 ； 此時； （2）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若，則（用、L表示）分析：（1）如果，因為，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因為，根據(jù)HL定理，兩三角形全等。那么，三角形NCD中，在三角形DNM中，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此，三角形AMN的周長，三角形ABC的周長，因此（2）

16、如果，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E，使，連接DE（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，因此兩三角形全等，那么，三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為，因此Q與L的關系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。（3）我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因為，因此，因為，那么，因此

17、，這樣就構(gòu)成了兩三角形全等的條件三角形MDN和DNH就全等了那么，三角形AMN的周長因為，因此三角形AMN的周長解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系：；此時圖 1NMADCB（2）猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖2，延長AC至E，使，連接DE，且E圖 2NMADCB又是等邊三角形在與中H圖 3NMADCB（SAS），在與中（SAS） 故的周長而等邊的周長 （3）如圖3，當M、N分別在AB、CA的延長線上時，若，則（用x、L表示）點評：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)的，當題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條

18、件相關的全等三角形。22、如圖2-7-1，ABC和DCE均是等邊三角形，B、C、E三點共線，AE交CD于G，BD交AC于F。求證： AE=BD; CF=CG.思路 證明ACEBCD。證明 ABC和DCE都是等邊三角形， CB=CA， CD=CE，BCA=ECD=， BCD=ACE=， BCDACE， AE=BD。思路 證明FCDGCE。證明 由BCDDCE都是等邊三角形可知 CD=CE，BCA=ECD= ACD=-BCA-ECD= FCDGCE， CF=CG說明證明兩條線段相等的重要方法之一就是證明它們所在的兩個三角形全等。23、如圖2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中點，MNMD，B

19、N平分CBE。求證：MD=MN。思路：取AD的中點P，連結(jié)PM，證明DMPMNB。證明：取AD的中點P，連結(jié)PM，則有DP=MB。 DMMN， DMA+BMN=，又由正方形ABCD 知A=， DMA+MDA=， BMN=MDA又 BN平分CBE， MBN=又由P、M分別為AD、AB的中點，ABCD是正方形，得PAM是等腰直角三角形，故DPM=。 DPM=MBN， DPMMBN， DM=MN。說明：本題中DM和MN所在的三角形不全等，這時就要考慮作出它們所在的新三角形，證明這兩個新三角形全等。24、如圖2-7-3，ABC中，ABC=2C，BAC的平分線交BC于D。求證：AB+BD=AC思路1：延

20、長AB到E，使BD，證明AEDACD。證法1：延長AB到E，使BE=BD，連結(jié)ED，則E=BDE。 ABD=E+BDE=2CE又 ABC=2C， C=E AD平分BAC， 1=2，又 AD=AD， ADEADC， AC=AE。即 AC=AB+BE=AB+BD。思路2：在AC上取一點E，使AE=AB，證明AEDABD。證法2：在AC上取點E，使AE=AB，連結(jié)CD。由AD平分BAC 得1=2又 AD=AD，ADBADE， AED=ABC，DE=DB，又 ABC=2C， AED=2C又 AED=EDC+C， EDC=C， ED=EC， EC=BD， AB+BD=AE+EC+AC。說明：要證明AB+

21、BD=AC，一般來說有兩種方法，一種方法是作出一條線段，使其長度為AB+BD，如證法1就采用此法；另一種方法是把AC分成兩部分，使其分別等于AB、BD，如證法2就采用此法。25、 如圖2-7-4，ABC中，ACAB，AD平分BAC，P為AD上任一點，連結(jié)PB、PC。求證：PC-PBAC-AB。思路： 通過構(gòu)造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)來證明本題結(jié)論。證明：在AC上取點E，使AE=AB，連結(jié)PE，由AD平分ABC得1=2。又 AE=AB， AP=AP，APEAPB， PE=PB，在 EPC中，PC-PEEC， 即PC-PBAC-A

22、E。 PC-PBAC-AB。說明：當要證明式子的線段比較分散時，常通過構(gòu)造全等三角形，把相關線段集中起來，這樣便于利用三角形的三邊不等關系。26、如圖2-7-5，從等腰RtABC的直角頂點C向中線BD作垂線，交BD于F，交AB于E，連結(jié)DE。求證：CDF=ADE。思路1：作BCA的平分線交BD于G，證明CDGADE。 證法1：作BCA的平分線交BD于G， BC=AC，BCG=A=， CBG=-CDF=ACE， BCGCAE， CE=AE，CDG和ADE中， CD=AD，DCE=A=，CE=AE， CDGADE， CDF=ADE，思路2：過A作ANAC，交CE延長線于N，證明 ADEANE。證法

23、2：過A作ANAC，交CE延長線于N。 ACN=CBD，AC=CB， RtACNRtCBD， CDF=ANE，CD=AN=AD，又 CAE=EAN=，AE=AE， ADEANE， ADE=ANE， CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90，ACBC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E. （1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ADCCEB；DEADBE； （2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DEADBE； （3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明。 分析：（1）ADMN BEMN AD

24、CCEB90 DACDCA90 又ACB90 DCAECB90 DACECBACBC ADCCEB DCBE ADCE DEDCCE BEAD （2）與（1）同理 ADCCEB CDBE ADCE DECECD ADBE （3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時 與（1）（2）同理可知 CEAD，BECD DECDCE BEAD28、已知：ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點A，且60角的頂點E在BC上滑動，（點E不與點B、C重合），斜邊和ACM的平分線CF交于點F（1）如圖（1）當點E在BC邊得中點位置時（6分） 1) 猜想AE與EF滿足的數(shù)量關系是 。（分）

25、 2) 連結(jié)點E與邊得中點，猜想和滿足的數(shù)量關系是（分）3) 請證明你的上述猜想（分）（）如圖（）當點在邊得任意位置時：（分）此時和有怎樣的數(shù)量關系，并說明你的理由？E29、已知AC平分MAN，MAN=120，（1）在圖（1）中，若ABC=ADC=90，求證：AB+AD=AC 。(4分)（2）在圖（2）中，若MAN=120，ABC+ADC=180，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立請你給出證明，若不成立請說明理由？（4分）30、如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，若點在直線的異側(cè)，直線于點，直線于點，連接（1）延長交于點（如圖2），求證：；求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點在直

26、線的同側(cè)，其它條件不變.此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷還成立嗎？不必說明理由.題圖1題圖2題圖3分析（1）證明：如圖2.直線于點，直線于點，又為邊中點，又 在中， （2）成立.如圖3. 證明：延長與的延長線相交于點.直線于點，直線于點，又為中點， 又 則在中， （3）成立. 31、如圖1，已知正方形的邊在正方形的邊上，連接（1）試猜想與有怎樣的位置關系，并證明你的結(jié)論.（2）將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上，如圖2，連接和你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

27、.解：（1）答：（1分）證明：延長交于點在正方形與正方形中，（3分）（5分）（2）答：成立.（6分）證明：延長和相交于點在正方形與正方形中，8分又又（10分）99、已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點（1）如圖1，當點P與點Q重合時，試判斷AE與BF的位置關系，QE與QF的數(shù)量關系；（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明；（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；直

28、角三角形斜邊上的中線分析：（1）證BFQAEQ即可；（2）證FBQDAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；（3）證AEQBDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可解答：解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如圖1，Q為AB中點，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ，在BFQ和AEQ中 BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案為：AEBF，QE=QF（2）QE=QF，證明：如圖2，延長FQ交AE于D，AEBF，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中 FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，QE=

29、QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖3，延長EQ、FB交于D，AEBF，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，F(xiàn)Q是斜邊DE上的中線， QE=QF100、 (1) 如圖(1)，已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD直線m, CE直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.(2) 如圖(2)，將(1)中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.(3)

30、 拓展與應用：如圖(3)，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為BAC平分線上的一點,且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀.ABCEDm（圖1）（圖2）（圖3）mABCDEADEBFCm分析：（1）因為DE=DA+AE，故通過證，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通過證明，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由得BD=AE，與均等邊三角形，得，F(xiàn)B=FA，所以，即，所以，所以FD=FE，再根據(jù)，得，即，故是等邊三角形.ABCEDm（圖

31、1）證明：(1)BD直線m,CE直線m BDACEA=90BAC90 BAD+CAE=90BAD+ABD=90 CAE=ABD又AB=AC ADBCEA AE=BD，AD=CEDE=AE+AD= BD+CE 3分（圖2）mABCDE(2)BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=180DBA=CAEBDA=AEC=，AB=ACADBCEA AE=BD，AD=CE ADEBFCOm（圖3）DE=AE+AD=BD+CE6分（3）由（2）知，ADBCEA， BD=AE，DBA =CAEABF和ACF均為等邊三角形 ABF=CAF=60DBA+ABF=CAE+CAF DBF=FAEBF=A

32、F DBFEAF DF=EF，BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60 DEF為等邊三角形.點撥：利用全等三角形的性質(zhì)證線段相等是證兩條線段相等的重要方法.三角形培優(yōu)訓練專題【三角形輔助線作法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線?！境Ｒ娸o助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折

33、”。2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形?？梢栽谠摻堑膬蛇吷?，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。4、過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段

34、上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。7、 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出現(xiàn)一對全等三角形。8、 特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答?？傉摚喝热切螁栴}最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的角相等，構(gòu)造二個角之間的邊相等1、已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍.2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點

35、，試比較BE+CF與EF的大小.3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.4、以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系（1）如圖 當為直角三角形時，探究：AM與DE的位置關系和數(shù)量關系；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0AB，AD平分BAC，P為AD上任一點，連結(jié)PB、PC。求證：PC-PBAC-AB。26、如圖2-7-5，從等腰RtABC的直角頂點C向中線BD作垂線，交BD于F，交AB于E，連結(jié)DE。求證：CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90，ACBC

36、，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E. （1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ADCCEB；DEADBE； （2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DEADBE； （3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明。28、已知：ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點A，且60角的頂點E在BC上滑動，（點E不與B、C重合），斜邊和ACM的平分線CF交于點F（1）如圖（1）當點E在BC邊中點位置時 1) 猜想AE與EF滿足的數(shù)量關系是 。 2) 連結(jié)點E與邊得中點，猜想和滿

37、足的數(shù)量關系是3) 請證明你的上述猜想（）如圖（）當點在邊得任意位置時：此時和有怎樣的數(shù)量關系，并說明你的理由？E29、已知AC平分MAN，MAN=120，（1）在圖（1）中，若ABC=ADC=90，求證：AB+AD=AC 。（2）在圖（2）中，若MAN=120，ABC+ADC=180，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立請你給出證明，若不成立請說明理由？30、如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，若點在直線的異側(cè)，直線于點，直線于點，連接（1）延長交于點（如圖2），求證：；求證：；（2）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點在直線的同側(cè)，其它條件不變.此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請

38、說明理由；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷還成立嗎？不必說明理由.題圖1題圖2題圖331、如圖1，已知正方形的邊在正方形的邊上，連接（1）試猜想與有怎樣的位置關系，并證明你的結(jié)論.（2）將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上，如圖2，連接和你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由. 32、已知等邊ABC和點P，設點P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，ABC的高為h。 “若點P在一邊BC上（如圖1），此時h3=0,可得結(jié)論h1+h2+h3h”請直接應用上述信息解決下列問題： AEDCAMPBMAFEDPCB

39、PDMCBFE當點P在ABC內(nèi)（如圖2）、點P在ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，h1、h2、h3與h之間的關系如何？請寫出你的猜想，不需證33、在RtABC中，A90，CE是角平分線，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求證：AEBGABCDEFG34、如圖，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點E，連結(jié)BC（1）求AEB的大小；CBODAEBAODCE（2）若OAB固定不動，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小.35、如圖，圖1等腰與等腰共點于，且，連結(jié)、，若、 求證：； 若將等腰繞點旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時，其余條件不變，與還相等嗎？為什么? （請你用圖2加以證明）36、如圖1，中，點、是線段上兩動點，且，于，交于點，直線交直線于.1 判斷的形狀，并說明理由.2 如圖2，若點、是直線上兩動點，其他條件不變，判斷的形狀，并說明理由.37、