新編基礎(chǔ)物理學(xué)第二版第五章習(xí)題解答

1、5-1有一彈簧振子，振幅A 2.010習(xí)題五m ,周期T1.0s ,初相.試寫出它的振動(dòng)位4移、速度和加速度方程。解：振動(dòng)方程為x Acos( tAcos(2 tT代入有關(guān)數(shù)據(jù)得x 0.02 cos(23利)振子的速度和加速度分別是dxvdt0.04sin(24)(ms 1)d2x3 dt20.082cos(23?(m s2)5-2 一彈簧振子的質(zhì)量為max0.500kg，當(dāng)以35.0cm的振幅振動(dòng)時(shí)，振子每 0.500st、頻率v解：由題意可知T0.500s ；所以頻率V1/T2.00Hz ；角頻率2 v=4 =12.6(rad s 1)；倔強(qiáng)系數(shù)km 20.500 12.6279.4(N

2、m 1)；最大速率VmaxA 0.35 12.6 4.41(m s 1)最大作用力Fmaxmamax mA 20.500 0.35 12.6227.8(N)角頻率3、彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k、物體運(yùn)動(dòng)的最大速率Vmax、和彈簧給物體的最大作用力 F5-3質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)，按方程x 0.2cos(5t )(m)沿著x軸振動(dòng)求:61t 0時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大??；2作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置解：1跟據(jù)牛頓第二定律d2xm2dt20.2cos(5t)(m)6將t 0代入上式中，得:5.0N22由f m x可知，當(dāng)0.2m時(shí)，質(zhì)點(diǎn)受力最大，為10.0N5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以漲落高度

3、d從最高水平到最低水平做簡諧運(yùn)動(dòng)處下降了 d/4高度需要多少時(shí)間？解：從最高水平到最低水平為2倍的振幅，由題可得旋轉(zhuǎn)矢量圖,從解圖5-4中可見arc cos(d/4)d?2)t - 廠T 尹2528(h)解圖5-45-5 一放置在水平桌面上的彈簧振子,2其振幅A 2.0 10 m，周期T 0.5s，當(dāng)t 0時(shí),那么：1物體在正方向端點(diǎn)；2物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；3物體在x 1.0 10 m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；4物體在x 1.0 10 2m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng) 求以上各種情況的振動(dòng)方程。解：設(shè)所求振動(dòng)方程為x2Acos(Tt )0.02cos(4 t )由旋轉(zhuǎn)矢量圖解圖5-5可求出初相位10,

4、2/2, 3/3, 42 /31x0.02cos 4t(m)2x0.02cos(4t)(m)23x0.02cos(4t -)(m)解圖5-5r、24x 0.02cos(4 t )(m)5-6在一輕彈簧下端懸掛 mb 100g砝碼時(shí)，彈簧伸長 8cm.現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛m 250g的物體，構(gòu)成彈簧振子.將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給以向上的21cm s的初速度令這時(shí)t 0.選x軸向下為正，求振動(dòng)方程.解：彈簧的勁度系數(shù)k m° g / I該彈簧與物體 m構(gòu)成彈簧振子，起振后將做簡諧運(yùn)動(dòng)，可設(shè)其振動(dòng)方程為x Acos( t )角頻率為.k / m代入數(shù)據(jù)后求得7rad s 1以平

5、衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，那么1x O.O4m,v00.21m s由 A 、x。2 (v。/ )2 得A 0.05m據(jù) cos 1 得A0.64rad由于v。 0,應(yīng)取0.64rad，于是，所求方程為x 0.05cos(7t0.64)(m)5-7某質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的x-t曲線如題圖5-7所示.求:1質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；2質(zhì)點(diǎn)從t 0的位置到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)位置所需的最短時(shí)間解：()設(shè)所求方程為：x Acos( to)從圖中可見，t O,Xo A/2,vo 0由旋轉(zhuǎn)矢量法可知;又丁 t故：x1s, t325650.1cos(t 3)(m)(2) t P點(diǎn)的相位為05tp otp0 tp 0.4s63即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)

6、狀態(tài)所要的最短時(shí)間為0.4s5-8有一彈簧，當(dāng)下面掛一質(zhì)量為 m的物體時(shí)，伸長量為9.8 10 2m .假設(shè)使彈簧上下振動(dòng),且規(guī)定向下為正方向.1當(dāng)t 0時(shí)，物體在平衡位置上方8.0 10 2m，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程 .1(2)當(dāng)t 0時(shí)，物體在平衡位置并以0.6m s的速度向上運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程.解：設(shè)所求振動(dòng)方程為其中角頻率k/ m(1)以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有x00.08m,v00據(jù) A x。2 (v。/)2 得A 0.08m據(jù) cos 1匹得A，由于V0 = 0,不妨取于是，所求方程為x 0.08cos(10)(m)(2)以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有X 0,

7、v00.6m s據(jù) A .'Xo2 (Vo/ )2 得A 0.06m據(jù) cos 1竺得一，由于v。 0 ,應(yīng)取 一，于是，所求方程為A22x20.06cos(10t)(m)5-9 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)方程為x 4 10 2 cos(2 t -)(m)，求：從t 0時(shí)3刻起到質(zhì)點(diǎn)位置在x 2cm處，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的最短時(shí)間.t 2 (t° 0)解圖5-9解：依題意有旋轉(zhuǎn)矢量圖解圖 5-9，從圖中可得到故所求時(shí)間為t°5-10兩個(gè)物體做同方向、同頻率、同振幅的簡諧運(yùn)動(dòng)，在振動(dòng)過程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng) 過位移為A/ 2的位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過

8、此位置，但向遠(yuǎn)離平衡位置 的方向運(yùn)動(dòng)，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差解：由于x10 A/ 2、v10 0可求得/4由于x20A/ 2、v200可求得2如解圖5-10所示，相位差/4解圖5-105-11 一簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)曲線如題圖/2110片0.05/J</ 劃-5t/-105-11所示，求振動(dòng)方程題圖5-11解：設(shè)所求方程為 x Acos( t )當(dāng)t 0時(shí)，為 5cm,v10由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可得23當(dāng)t 2s時(shí)，從x-t圖中可以看出X20,V2據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出32解圖5-11所以，2秒內(nèi)相位的改變量t可求出rad120-1cos( 1!)(m)于是，所求振動(dòng)方程為，彈簧的勁度系數(shù)為k

9、,物體的質(zhì)量為m，振.求:解：1設(shè)物體通過平衡位置時(shí)的速度為v，那么由機(jī)械能守恒5-12在光滑水平面上有一做簡諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子幅為A.當(dāng)物體通過平衡位置時(shí)，有一質(zhì)量為m'的泥團(tuán)豎直落到物體上并與之粘結(jié)在一起1m'和m粘結(jié)后，系統(tǒng)的振動(dòng)周期和振幅2假設(shè)當(dāng)物體到達(dá)最大位移處，泥團(tuán)豎直落到物體上，再求系統(tǒng)振動(dòng)的周期和振幅kA21mv22 2當(dāng)m'豎直落在處于平衡位置 m上時(shí)為完全非彈性碰撞，且水平方向合外力為零，所以mv (m m')umuvm m'此后，系統(tǒng)的振幅變?yōu)?A'，由機(jī)械能守恒，有系統(tǒng)振動(dòng)的周期為kA22(m m')u22m m&#

10、39;k2當(dāng)m在最大位移處 m'豎直落在m上，碰撞前后系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量均為零，因而系統(tǒng)的振幅仍為A,周期為5-13設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為 m,半徑為R,掛在墻上的釘子上求它微小振動(dòng)的周期.解：如解圖5-13所示，轉(zhuǎn)軸0在環(huán)上，設(shè)角度以逆時(shí)針為正，那么振動(dòng)方程為dt2mgRsin當(dāng)環(huán)作微小擺動(dòng)sin時(shí)，得因?yàn)閐2dt2mgRJ得d2 dt2J 2mR2，所以解圖5-135-14 輕彈簧在60 N的拉力下伸長30 cm .現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并 使之靜止，再把物體向下拉10 cm，然后由靜止釋放并開始計(jì)時(shí).(1) 求物體的振動(dòng)方程；(2) 求物體在平衡位置上方5 cm時(shí)

11、彈簧對(duì)物體的拉力；(3)物體從第一次越過平衡位置時(shí)刻起到它運(yùn)動(dòng)到上方5 cm處所需要的最短時(shí)間.解： 如解圖5-14所示，選平衡位置為原點(diǎn)，取向下為x軸正方向。由f kx得fik200N mxk/m . 507.07rad s(1)由題意可知 A 10cm,0所以振動(dòng)方程x 0.1cos(7.07t)(m)解圖5- 14物體在平衡位置上方5 cm時(shí)，彈簧對(duì)物體的拉力f m(ga)而2ax22.5m s所以f 29.2N(3)因?yàn)閠 0時(shí)刻的初相位0，所以物體從第一次越過平衡位置時(shí)，對(duì)應(yīng)的相位為12物體在平衡位置上方 5cm處，此時(shí)x 5cm，即5 Acos 2,因?yàn)榇藭r(shí)物體向上運(yùn)動(dòng)，v 0,所

12、以223由327.070.074(s)5-15在一平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0kg的重物.現(xiàn)使平板沿豎直方向做上下簡諧運(yùn)動(dòng)，周期為，振幅為 2.0 10 2m，求：1平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對(duì)板的作用力；2假設(shè)頻率不變，那么平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？3假設(shè)振幅不變，那么平板以多大的頻率振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板?解：重物與平板一起在豎直方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)，向下為正建立坐標(biāo)，振動(dòng)方程為x 0.02cos(4 t )設(shè)平板對(duì)重物的作用力為N，于是重物在運(yùn)動(dòng)中所受合力為mg N ma,而 a2x跟據(jù)牛頓第三定律，重物對(duì)平板的作用力N'為N' N m(g 2x)1在最低點(diǎn)

13、處：x A,由上式得N'12.96N2頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)锳',在最高點(diǎn)處A'重物與平板間作用力最小，設(shè)N'0可得A'g/20.062m振幅不變時(shí)，設(shè)頻率變?yōu)?#39;，在最高點(diǎn)處A'丨重物與平板間作用力最小，設(shè)N'0可得冷/A5-16 一物體沿x軸做簡諧運(yùn)動(dòng)，振幅為，周期為, 運(yùn)動(dòng)，求：'/23.52Hz當(dāng)t=0時(shí)位移為0.03m，且向x軸正方向1時(shí)，物體的位移、速度和加速度;2物體從x0.03m處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)開始，到達(dá)平衡位置，至少需要多少時(shí)間?解：設(shè)該物體的振動(dòng)方程為x Acos( t )依題意知2 /T (rad s

14、1), A 0.06m由于V00，應(yīng)取解圖5-16可得0.06cos( t3)(m)10.5s時(shí)，振動(dòng)相位為Acos , v Ax 0.052m, v2由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可知,A矢量轉(zhuǎn)過的角度為sin ,0.094m物體從2A cos2x得a 0.512m0.03m處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)平衡位置時(shí),，該過程所需時(shí)間為60.833s5-17 一單擺的角振幅0=0.010 ，周期T 0.50s，求1最大的擺動(dòng)角速度；2當(dāng)角位移是角振幅一半時(shí)，角速度的大小解：(1)因1(rad s )，設(shè)振動(dòng)的表達(dá)式為0 cos( t )2當(dāng)ddt(Jmaxdt0時(shí)，有cos(所以角速度的大小d dt0 sin( t

15、 )sin(°sin( t0.040 2 (rad s 1)0 J 0.02.3 2(rad s 1)5-18有一水平的彈簧振子，如題圖5-18所示，彈簧的勁度系數(shù)k 25N m ，物體的質(zhì)量m 1.0kg,物體靜止在平衡位置.設(shè)以一水平向左的恒力 F 10N作用在物體上(不計(jì)一切 摩擦)，使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了 0.05m,此時(shí)撤除力F,當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最左邊開始計(jì)時(shí)，求物體 的運(yùn)動(dòng)方程.解：設(shè)所求方程為x Acos( t )5rad s題圖5-18因?yàn)椴挥?jì)摩擦，外力做的功全轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)的能量，故所以又因?yàn)閠 O，XoA，所以故所求物體的運(yùn)動(dòng)方程為x 0.2cos(5t)(m)5-19

16、 一質(zhì)點(diǎn)在x軸上做簡諧運(yùn)動(dòng)，如題圖 5-19所示，選取該質(zhì)點(diǎn)向 右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t = 0 )，經(jīng)過2s后質(zhì)點(diǎn)第一次通過AVX題圖5-19B點(diǎn)，再經(jīng)過2s后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B點(diǎn)，假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)在 A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且AB = 10 cm，求:(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率.解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖解圖5-19和 |vA|vB| 可知T 8sHz(1)以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),2rad s4x軸指向右方.t 0時(shí)5cm A cost 2s時(shí)x 5cm Acos(2 ) Asin由上面二式解得tg 1因?yàn)樵贏點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度大于零，所以取A x/cos5 2(cm)所以振動(dòng)

17、方程2cos(-t - )(m)44速率 vd xdt5210t sin( 41)當(dāng)t = 0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速率為d xdt2 si n(令)3.93 102/ 1 (m s )5-20 一物體放在水平木板上，這木板以2Hz的頻率沿水平直線做簡諧運(yùn)動(dòng)，物體和水平木板之間的靜摩擦系數(shù)0.50，求物體在木板上不滑動(dòng)時(shí)的最大振幅Amax.解設(shè)物體在水平木板上不滑動(dòng)豎直萬向Nmg0(1)水平方向fxma(2)且fxsN(3)又因?yàn)閍2Acos( t)(4)由(2)(3)解得amaxsmg/msg再由此式和得Amaxsg/ 2sg/(42 22 2)0.031m5-21 一只擺長為的單擺，試求它在以下

18、情況下單擺的周期 1在室內(nèi)；2在以a為加速度上升的電梯里.(1)為正。mgl sind2解：設(shè)單擺的擺線在平衡位置的右方時(shí)，角度 那么對(duì)室內(nèi)的單擺，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得,有mglJ5 時(shí)，sind2 dt2ml2代入上式，得d2 dt2£dt2所以，單擺的周期2在以a為加速度上升的電梯里因?yàn)殡娞菔欠菓T性系，需要加一個(gè)慣性力，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得(mgma)l sind2 j dt當(dāng)5時(shí)，sin,有d2 dt2(mg ma)lJ0同理，可得單擺的周期T 2zga5-22 一氫原子在分子中的振動(dòng)可視為簡諧運(yùn)動(dòng).氫原子質(zhì)量 m 1.68 10 27kg，振動(dòng)頻率 1.0 1014Hz，振幅 A 1.0 1

19、0 11m.試計(jì)算：(1)此氫原子的最大速度；與此振動(dòng)相聯(lián)系的能量解：(1)最大振動(dòng)速度vm A 2 A 6.28 103m s 1(2) 氫原子的振動(dòng)能量為E mvm23.31 10 20J25-23 一物體質(zhì)量為0.25kg，在彈性力作用下做簡諧運(yùn)動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)k 25N m如果物體起始振動(dòng)時(shí)具有勢能0.06J和動(dòng)能0.02J，求：(1) 振幅；(2) 動(dòng)能恰等于勢能時(shí)的位移；(3) 經(jīng)過平衡位置時(shí)物體的速度.1 2 解：(1) E Ek EP - kA21/2A 2(Ek EP)/k0.08m(2)因?yàn)?E Ek EpIkA22，當(dāng)Ek Ep時(shí)，有2EP E，得2丄kx222即xA/

20、 20.0566(m)(3) 過平衡點(diǎn)時(shí)，x 0，此時(shí)動(dòng)能等于總能量1 2E Ek EP mv2v 2(Ek Ep)/m0.8ms1題圖5-245-24 一定滑輪的半徑為 R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,其上掛一輕繩，繩的一端系 一質(zhì)量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如題圖 5-24所示. 設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為 k，繩與滑輪間無滑動(dòng)，且忽略軸的摩擦力及空氣 阻力現(xiàn)將物體m從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體做簡諧運(yùn)動(dòng)，并求出其角頻率.解：如解圖5-24所示，取x坐標(biāo)，平衡位置為原點(diǎn) 0，向下為正，m在平衡位置時(shí)彈簧已伸長 x0，那么mg kxo(1)T2 k(x x°)由牛頓第一疋律和轉(zhuǎn)

21、動(dòng)疋律列方程：mgma(3)T；R T2R Ja R(5)設(shè)m在x位置，分析受力，這時(shí)彈黃伸長 x x0聯(lián)立(1)(2)(3)(4)(5)解得解圖5-24ka 2x(J / R ) m由于x系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡諧運(yùn)動(dòng)，其角頻率為 k kR2(J/R2)m , JmR25-25兩個(gè)同方向的簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程分別為1求合振動(dòng)的振幅和初相位;2假設(shè)另有一同方向同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)4 10 2 cos2 (t Z)(m),82x3 5 10 cos(2 t)(m)，貝U 為多少時(shí),% X3的振幅最大？又為多少時(shí)，X2 X3的振幅最小?解：1x x1 x2 Acos(2 t )按合成振動(dòng)公式代入量，可

22、得合振幅及初相為A42 32 24cos( /2/4) 10 2 6.48 10 2(m)a 4sin( /4) 3sin( /2) 4cos( /4) 3cos( /2)所以，合振動(dòng)方程為x 6.48 10 2 cos(2 t 1.12)(m)當(dāng)i 2k ，即 2k /4時(shí)，Xi X3的振幅最大.當(dāng) 2(2k 1)，即 2k 3 /2 時(shí)，x25-26有兩個(gè)同方向同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為 動(dòng)的相位差為/6，第一個(gè)振動(dòng)的振幅為差。解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖解圖 5-26求解 取第一個(gè)振動(dòng)的初相位為零，那么合振動(dòng)的相位為據(jù)A A1 A2可知A2 A Ai，如圖：AA2 A2 2AA1 cos0.1mx3的振幅最小.0.2m，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)振0.173m，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位由于A、A、A的量值恰好滿足勾股定理， 故A與a2垂直.即第二振動(dòng)與第一振動(dòng)的相位差為/ 25- 27 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為X10.05cos